1、AOPlBAO12PQ巧用“三余弦定理”解题“三余弦定理”的内容：如图，直线 AO 是平面的斜线，AQ 是 AO 在平面内的射影，直线 AP 在平面 内.设 ，有以21, QAPOAP下结论： .我们可以形象地2coscos把这个结论称为“三余弦定理” ，应用“三余弦定理”可以使我们的很多立体几何问题的解决变得简单. 图应用“三余弦定理”解题的步骤如下：1. 明确三线：平面内的直线（以下简称“内线” ） ，平面的斜线和斜线在平面内的射影.2. 明确三角：斜线与“内线”所成为 ，斜线与射影所成的角为 ，射影与“内线”1所成的角为 .23. 定理运算.例 1.如图,已知 AO 是平面 的一条斜线,
2、OB ,B 是垂足,AP 是 内一直线,OAP=60 o, BAP=45o,求斜线 AO 与平面 所成的角.分析：AP 是“内线” ，AO 是斜线，AB 是射影，所以 ，直接利用21, BAPOAP“三余弦定理”求解.解题过程略.略解：点评：斜线与平面所成的角即斜线与射影所成的角，明确了“三线”与“三角” ，直接代定理求解.图变式 1：已知OAB=45 o,BAP=45 o,求直线 AO 与 AP 所成的角；分析：同例 1.变式 2：已知OAB=45 o,BAP=45 o, l/AP, 求直线 AO 与 l 所成的角；分析：因为 l/AP，直线 AO 与 AP 所成的角同 AO 与 l 所成的
3、角相等.我们在解题时，只需要明确“三线” ，这时 l 是“ 内线” ，AO 是斜线，AB 是射影，然后斜线 AO 与“内线”l所成为 ，斜线 AO 与射影 AB 所成的角为 ，射影 AB 与“内线”l 所成的角为 , 问题12迎刃而解.例 2如图，在棱长为 1 正方体 ABCD- A1B1C1D1 中，E、F 分别是 B1C1 和 CC 1 的中点，求异面直线 A1B 与 EF 所C1A BCDA1 B1D1FEPAB CDE成角的余弦值. 分析：直线 BA1 是平面 BCC1B1 的斜线，BB 1 是射影，EF 为“内线” ，这样就明确是三线 ， 再明确三角，然后定理计算即可.解：由题意可知
4、，直线 BA1 是平面 BCC1B1 的斜线，BB1 是 BA1 在平面内的射影，EF 为平面内的直线，所以 BA1 与 EF 所成的角为 ， ，EF 与 BB1 所成的角为 11CA2图 又因为 ， ， ，21coscos4512所以 2即异面直线 A1B 与 EF 所成角的余弦值为 2点评：只要明确了“三线” ，不管他们的位置怎样，斜线与“内线”所成为 ，斜线与射影所成的角为 ，射影与“内线”所成的角为 ，明确了“三角” ，公式的应用水到渠成.12变式：若 E、F 是 B1C1 和 CC 1 上的点，满足 EC1= ，FC 1= ，求异面直线 A1B 与 EF3所成角的余弦值.分析：明确“
5、三线” ，直线 BA1 是斜线，BB 1 是射影，EF 为“内线” ，然后按规则找出“三角” ，定理计算即可.BACS图 图练习：1.如图，S 是 ABC 所在平面外一点，SA，SB ，SC 两两垂直，求证： ABC是锐角三角形2.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形， BAD=90o，AD/BC ，AB=BC=a,AD=2a,且 PA底面 ABCD，PD 与底面成 30o，且AEPD，E 为垂足,求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小“三余弦定理”是一个容易让人忽视的问题，可能有一些同学的记忆中几乎没有它的位置.但如果我们能够准确的理解这个定理，并巧用定理去解题，就会取得事半功倍的效果，提高解题的速度并最终取得理想的成绩.所以要深刻理解“三余弦定理”应用的几个典型的例题，然后举一反三，学以致用.
