竞赛常用定理-数学

1、三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 数联天地 9 Y6 3 f$ n7 V6 1 8 F* 4 z; actg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 数学论坛 - 数联天地# L P倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga 数学论坛 - 数联天地% L8 u, $ j; T& Scos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a . E. D: S, I0 c s V# n半角公式 数联天地# l T(。

2、1竞赛专题讲座几个重要定理1.正弦定理 ABC 中，设外接圆半径为 R，则2.余弦定理 ABC 中，有关系a2=b2+c2-2bccosA； a=ccosB+bcosC；b2=c2+a2-2cacosB； 有时也用它的等价形式 b=acosC+ccosA；c2=a2+b2-2abcosC； c=acosB+bcosA.3.梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏。

3、初中数学常用的定理大全1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成 2：1 的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形 ABC 的外心为 O，垂心为 H，从 O 向 BC 边引垂线，设垂足不 L，则 AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、 （九点圆或欧拉圆。

4、初中数学常用公式1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 提供以交流互动的形式学习数学相关知识的数学论坛 6 L; c5 M4 W U3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 提供以交流互动的形式学习数学相关知识的数学论坛$ : K5 r2 r/ J; A/ N: O$ P7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 数学论坛 - 数联天地: b0 j, S4 x 6 j6 d/ a( o) V$ ; E8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同。

5、初中数学竞赛专题选讲 勾股定理 一 内容提要 1 勾股定理及逆定理 ABC中 C Rt a2 b2 c2 2 勾股定理及逆定理的应用 作已知线段a的 倍 计算图形的长度 面积 并用计算方法解几何题 证明线段的平方关系等 3 勾股数的定义 如果三个正整数a b c满足等式a2 b2 c2 那么这三个正整数a b c叫做一组勾股数 4 勾股数的推算公式 罗士琳法则 罗士琳是我国清代的数学家1789 1。

6、 射影定理一、射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 RtABC 中,BAC=90,AD 是斜边 BC 上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)2;=BDDC, (2)(AB)2;=BDBC , (3)(AC)2;=CDBC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)目录直角三角形射影定理的证明 任意三角形射影定理射 影 所 谓 射 影 ， 就 是 正 投 影 。 直 角 三 角 形 射 影 定 理 （ 又 叫 欧 几 里 德(Euclid)定 理 ） ： 直 角 三 角 形 中。

7、1重 心 定义：重心是三角形三边中线的交点，可用燕 尾 定 理 证明，十分简单。证明过程又是 塞 瓦 定 理 的特例。 已知：ABC 中，D 为 BC 中点，E 为 AC 中点，AD 与 BE 交于 O，CO 延长线交 AB于 F。求证：F 为 AB 中点。 证明：根据燕尾定理，SAOB=SAOC，又 SAOB=SBOC，SAOC=SBOC，再应用燕尾定理即得 AF=BF，命题得证。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1。 2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 4、三角形内到三边距离之积最大的点。 5。

8、1三角函数部分定理1.正弦定理： （其中 为三角形外接圆半径）R2余弦定理：a 2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB；c 2=a2+b2-2abcosC3. 三角形面积公式三角函数形式：几何部分定理1.广勾股定理：在任一三角形中，(1)锐角对边的平方，等于两夹边的平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的投影乘积的两倍证明：设ABC 中，BC 是锐角 A 的对边作 CHAB 于 H，根据勾股定理：BC2 = BH2 + CH而 BH = AB-AH , CH2 = AC2 - AH2带入后有：BC2 = (AB-AH)2 + A。

9、1初中数学常用公式定理1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数如：3，-，0.231，0.737373， ， 无限不环循小数叫做无理数如：， ，0.1010010001(两个1之间依次多1个0)有理数和无理数统称为实数2、绝对值：a0 丨a丨a；a0 丨a丨a如：丨 丨 ；丨3.14丨3.143、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，04、把一个数写成a10 n的形式(其中1a10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法如。

10、- 1 -中学常用数学几何定理1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的。

11、 1中考数学常用公式定理 整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数如：3，-，0.231，0.737373， ， 无限不环循小数叫做无理数如：， ，0.1010010001(两个1之间依次多1个0)有理数和无理数统称为实数 绝对值：a0 丨a丨a；a0 丨a丨a如：丨 丨 ；丨3.14丨3.14 一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0 把一个数写成a10 n的形式(其中1a10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法如：407004。

12、欧拉（Euler）线： 同一三角形的 垂心、 重心、 外心三点共线，这条直线称为三角形的 欧拉线； 且 外心 与 重心的距离等于 垂心 与 重心 距离的 一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点 与 垂心间线段 的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与 垂心 所连 线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。 费尔马点： 已知P为锐角AB。

13、欧拉（Euler）线：同一三角形的 垂心 、 重心、 外心三点共线，这条直线称为三角形的 欧拉线；且 外心 与 重心的距离等于 垂心 与 重心 距离的 一半。九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点 与 垂心间线段 的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与 垂心 所连 线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。费尔马点：已知 P 为锐角 ABC 内一点，当APB BPCCPA120 时，PA PBPC 的值最小， 这个点 P 称为ABC 的费尔马点。海伦（Heron ）公式：塞瓦（Ceva）定理：在ABC 中，过ABC 的顶点作相交于。

14、初中数学竞赛专题选讲勾股定理一、内容提要1. 勾股定理及逆定理：ABC 中 CRt a2b 2=c22. 勾股定理及逆定理的应用 作已知线段 a 的 ， ， 倍235 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 证明线段的平方关系等。3. 勾股数的定义：如果三个正整数 a,b,c 满足等式 a2b 2=c2，那么这三个正整数 a,b,c 叫做一组勾股数.4. 勾股数的推算公式 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家 17891853）任取两个正整数 m 和 n(mn),那么 m2-n2，2mn, m 2+n2 是一组勾股数。 如果 k 是大于 1 的奇数，那么 k, , 是一组勾股数。1k 如果 k 是大于 2 的偶数。

15、正 弦 定 理定 理 概 述在 一 个 三 角 形 中 ， 各 边 和 它 所 对 角 的 正 弦 的 比 相 等 。 即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（ 2R 在 同 一 个 三 角 形 中 是 恒 量 ， 是 此 三 角 形 外 接 圆的 直 径 ） 这 一 定 理 对 于 任 意 三 角 形 ABC， 都 有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R 为 三 角 形 外 接 圆 半 径 证 明步 骤 1. 在 锐 角 ABC 中 ， 设 BC=a,AC=b,AB=c。 作 CH AB 垂 足 为 点 H CH=asinB CH=bsinA asinB=bsinA 得 到 a/sinA=b/sinB 同 理 ， 在 ABC 中 ， b/sinB=c/sinC 步 骤 2. 证 明 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如 图。

16、1数学竞赛中几个重要定理1、 梅涅劳斯定理：如果在ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 D、E、F 且 D、E、F三点共线，则 =1FBAECD2、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在ABC 的三边 BC、CA 、AB 或其延长线上有点 D、E、F，且满足 =1，则 D、E、F 三点共线.FBAECD【例 1】已知ABC 的重心为 G，M 是 BC 边的中点，过 G 作 BC 边的平行线 AB 边于 X，交 AC边于 Y，且 XC 与 GB 交于点 Q，YB 与 GC 交于点 P. 证明：MPQABCjMQGACBX YP2【例 2】 以ABC 的底边 BC 为直径作半圆，分别与边 AB，AC 交于点 D 和 E，分别过点D，E 作 BC 的垂线，垂。

17、 定理 1.1 等系数和线 我们熟知，若 =x +y ， x+y=1 那么 C点在 AB上，即 A， B， C三点共线 . 类似地，若 x+y=m (m为常数 )，就可以写成 ， =1 不难发现， C点在与 AB平行的直线 AB上 . 其中 A为 向量 的终点， B为向量 的终点 . 这样向量问题就被赋予几何含义，从而简便 地解决这一类问题 . 进一步探索，令 x = 0或 y = 0 可以得到 . 例题 1.1 在扇 形 AOB中， OA=OB=1， AOB=60， C为 (不包括端点 )上的一点，且 =x +y . (1) 求 x+y的取值范围； (2) 若 t=x+y存在最大值 ， 求 的取值范围 . 解 (1)如图 1， C所在的 在 m=1和 m= 的两条。

18、数学竞赛中几个重要定理1、 梅涅劳斯定理：如果在ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 D、E、F 且 D、E 、F 三点共线，则 =1FBAECD2、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在ABC 的三边 BC、CA 、AB 或其延长线上有点 D、E、F ，且满足 =1，则 D、E、F 三点共线。FBAECD3、 塞瓦定理：设 O 是ABC 内任意一点，AO、BO、CO 分别交对边于 N、P、M，则 1PANB4、 塞瓦定理的逆定理：设 M、N、P 分别在ABC 的边 AB、BC、CA 上，且满足 ，则 AN、BP、CM 相交于一点。1ACB5、 广勾股定理的两个推论：推论 1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。。

19、1勾股定理毕达哥拉斯定理 2射影定理欧几里得定理 3三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成 2：1 的两部分 4四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。6三。

20、几何篇梅涅劳斯定理：当直线交三角形 ABC 三边所在直线 BC、AC 、A 于点 D、E、F 时，（AF/FB）（BD/DC ）（ CE/EA）=1以及逆定理：在三角形 ABC 三边所在直线上有三点 D、E、F，且（AF/FB）（BD/DC ） （CE/EA ）=1，那么 D、E、F 三点共线。角元形式梅捏劳斯定理：（sinBAD/sinDAC）(sinACF/sinFCB)(sinCBE/sinEBA)=1塞瓦定理：指在ABC 内任取一点 O，直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F ，则 (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1。角元塞瓦定理：AD,BE,CF 交于一点的充分必要条件是： (sinBAD/sinDAC)*(sinACF/sin FCB)*(sinCBE/sinEBA)=1逆定。