1、几何篇梅涅劳斯定理：当直线交三角形 ABC 三边所在直线 BC、AC 、A 于点 D、E、F 时，（AF/FB）（BD/DC ）（ CE/EA）=1以及逆定理：在三角形 ABC 三边所在直线上有三点 D、E、F，且（AF/FB）（BD/DC ） （CE/EA ）=1，那么 D、E、F 三点共线。角元形式梅捏劳斯定理：（sinBAD/sinDAC）(sinACF/sinFCB)(sinCBE/sinEBA)=1塞瓦定理：指在ABC 内任取一点 O，直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F ，则 (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1。角元塞瓦定理：AD,BE,CF 交于一点的充分
2、必要条件是： (sinBAD/sinDAC)*(sinACF/sin FCB)*(sinCBE/sinEBA)=1逆定理：在ABC 的边 BC，CA，AB 上分别取点 D，E，F，如果(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 那么直线 AD，BE，CF 相交于同一点。 ”正弦定理：在ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c ，三角形外接圆的半径为 R。则有： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R余弦定理：，在ABC 中，余弦定理可表示为：c=a+b-2ab cosCa=b+c-2bc cosAb=a+c-2ac cosB托勒密定理：指圆内接凸四边形两对对边乘积的
3、和等于两条对角线的乘积。三弦定理：由圆上一点引出三条弦,中间一弦与最大角正弦的积等于其余每条弦与不相邻角正弦的积之和。用图表述；圆上一点 A,引出三条弦AB(左) 、AC( 右 )、及中间弦 AD,BC 与 AD 交于 P,根据 三弦定理,有以下关系,ABsinCAP +ACsinBAP= ADsinBAC。西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 （此线常称为西姆松线）斯特瓦尔特定理设已知ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D，则有ABDC+ACBD-ADBC=BCDCBD。张角定理：在ABC 中，D 是 BC 上的一点，连结 AD。那么sinB
4、AD/AC+sinCAD/AB=sinBAC/AD。逆定理： 如果 sinBAD/AC+sinCAD/AB=sinBAC/AD，那么 B,D,C 三点共线。蝴蝶定理：设 M 为圆内弦 PQ 的中点，过 M 作弦 AB 和 CD。设 AD 和 BC 各相交 PQ于点 X 和 Y，则 M 是 XY 的中点。莱莫恩（Lemoine）定理内容：过ABC 的三个顶点A、B 、 C 作它的外接圆的切线，分别和 BC、CA 、AB 所在直线交于 P、Q、 R，则 P、Q、R 三点共线。直线 PQR 称为 ABC 的莱莫恩线。笛沙格同调定理：平面上有两个三角形ABC、 DEF，设它们的对应顶点（A 和D、B
5、和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心（9）三角形的任
6、一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质：垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性质：设ABC 的三条高为 AD、BE、 CF，其中 D、E、F 为垂足,垂心为 H。性质 1 垂心 H 关于三边的对称点，均在 ABC 的外接圆上。性质 2 ABC 中,有六组四点共圆，有三组(每组四个) 相似的直角三角形，且AHHD=BHHE=CHHF。性质 3 H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。性质 4 ABC,ABH,BCH,ACH 的外接圆是等圆。性质 5 在非直角三角形中,过 H 的直线交 AB
7、、AC 所在直线分别于 P、Q，则 AB/APtanB+ AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。性质 6 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍。性质 7 设 O，H 分别为ABC 的外心和垂心，则BAO=HAC， ABH=OBC，BCO=HCA。性质 8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍。性质 9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的 周长最短。内心三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，即三角形三个角平分线的交点。内心有下列优美的性质：性质 1 设 I 为
8、ABC 的内心,则 I 为其内心的充要条件是：到ABC 三边的距离相等。性质 2 设 I 为ABC 的内心，则BIC=90+1/2 A，类似地还有两式；反之亦然。性质 3 设 I 为ABC 内一点，AI 所在直线交 ABC 的外接圆于 D。I 为ABC 内心的充要条件是 ID=DB=DC。性质 4 设 I 为ABC 的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I 在 BC、AC、AB 上的射影分别为 D、E 、F ；内切圆半径为 r，令 p= (1/2)(a+b+c)，则(1)SABC=pr；(2)r=2SABC/a+b+c ； (3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4
9、)abcr=pAIBICI。性质 5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若 I 为ABC 的A 平分线 AD(D 在ABC 的外接圆上)上的点，且 DI=DB，则 I 为ABC 的内心。性质 6 设 I 为ABC 的内心，BC=a，AC=b，AB=c，A 的平分线交 BC 于 K,交ABC 的外接圆 于 D，则 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a。外心三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心.即三角形三边中垂线的交点。外心有如下一系列优美性质：性质 1 三角形的外心到三顶点的距离相等，反之亦然。性质 2 设 O 为ABC 的外心，则
10、 BOC=2A，或 BOC=360-2A(还有两式) 。性质 3 设三角形的三条边长，外接圆的半径、面积分别为 a、b、c,R、S，则R=abc/4S。性质 4 过ABC 的外心 O 任作一直线与边 AB、AC(或延长线)分别相交于 P、Q 两点，则 AB/AP sin2B+ AC/AQsin2C=sin2A+sin2B+sin2C。性质 5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。重心性质 1 设 G 为ABC 的重心，ABC 内的点 Q 在边 BC、CA、AB 边上的射影分别为 D、E 、F，则当 Q 与 G 重合时 QDQEQF 最大；反之亦然。性质 2 设 G 为
11、ABC 的重心，AG、BG、CG 的延长线交ABC 的三边于 D、E、F,则 SAGF=SBGD=SCGE；反之亦然。性质 3 设 G 为ABC 的重心，则 SABG=SBCG=SACG= (1/3)SABC；反之亦然。旁心1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边的距离相等。圆幂与根轴：与圆幂定理相关的另一个概念是根轴。 首先我们有幂的定义：从一点 A 作一圆周的任一割线，从 A 起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对于圆周的幂。 若 A 点在圆外，A 点的幂等于从 A 点所引圆周切线的平方，由相交弦定理及割线
12、定理，知道点 A 的幂为定值。 （1）：两圆周相交，交点处的切线成直角，则每一圆半径的平方等于它的圆心对于另一圆周的幂，反之亦然。2）：点 A 对于以 O 为圆心的圆周的幂，等于 OA 及其半径的平方差。定理 1：对于两已知圆有等幂的点的轨迹， 是一条垂直于连心线的直线。定义：两圆等幂点的轨迹，称为两圆的根轴或等幂轴。圆外切四边形四边分别与圆相切的四边形称为圆外切四边形。 四边形是圆外切四边形的重要条件是四边形的对边和相等四边形是圆外切四边形的充要条件是该四边形被其对角线所分成的四个小三角形的四个内心共圆圆内接四边形圆内接四边形的对角互补2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相
13、邻的内角的对角） 。如四边形 ABCD 内接于圆 O，延长 AB 至E，AC、BD 交于 P，则 BAD+DCB=180，ABC+ADC=180(圆周角的度数等于所对弧的度数的一半)ABD=ACD（同弧所对的圆周角相等） 。CBE=ADC（外角等于内对角 ）设 AC 与 BD 交于 PABPDCP（三个内角对应相等）APCP=BPDP（相交弦定理 ）ABCD+ADCB=ACBD（托勒密定理）代数篇算术基本定理：算术基本定理可表述为：任何一个大于 1 的自然数 N ，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 同余：给定一个正整数 m，如果两个整数 a 和 b 满足 a-b 能被 m 整除，即 m|(a-
14、b)，那么就称整数 a 与 b 对模 m 同余，记作 ab(mod m)。性质1 反身性 aa (mod m)2 对称性 若 ab(mod m)，则 ba (mod m)3 传递性 若 ab (mod m)，bc (mod m)，则 ac (mod m)4 同余式相加 若 ab (mod m)，cd(mod m)，则 a+-cb+-d (mod m)5 同余式相乘 若 ab (mod m)，cd(mod m)，则 acbd (mod m)4 线性运算如果 a b (mod m)，c d (mod m),那么(1)a c b d (mod m)，(2)a * c b * d (mod m)5 除
15、法若 ac bc (mod m) c0 则 a b (mod m/gcd(c,m) 其中 gcd(c,m)表示 c,m 的最大公约数特殊地 ,gcd(c,m)=1 则 a b (mod m)6 幂运算如果 a b (mod m)，那么 an bn (mod m)7 若 a b (mod m)，n|m,则 a b (mod n)8 若 a b (mod mi) (i=1,2.n) 则 a b (mod m1,m2,.mn) 其中m1,m2,.mn表示m1,m2,.mn 的最小公倍数9 欧拉定理设 a,mN,(a,m)=1,则 a(m)1(mod m)(注:(m) 指模 m 的简系个数， (m)=
16、m-1, 如果 m 是素数；(m=q1r1 * q2r2 * .*qiri)=m (1-1/q1)(1-1/q2).(1-1/qi)推论: 费马小定理: 若 p 为质数，则 ap a (mod p) 即 a(p-1) 1 (mod p)（但是当 p|a 时不等价）10 中国剩余定理设整数 m1,m2,m3,mn 两两互素，令 m=m1m2m3m4m5.mn（mi 的连乘） 。则对于任意的 J 在（1,n)整数，下列联立的 同余式有解：xj1(mod mj)xj0(mod mi) i 不等于 j令 x 为从 1 到 najxj 的和，则 x 适合下列联立同余式xaj（mod mj）, j=1,2,3,.,n另：求自然数 a 的个位数字，就是求 a 与哪一个一位数对于模 10 同余
