1、1欧拉定理、费马小定理、孙子定理 函 数 ；互 质 的 个 数 ， 称 为 欧 拉中 与，是 个有互 质 ， 这 样 的 同 余 类 共中 每 一 个 数 均 与互 质 ， 那 么与如 果 个 剩 余 类有， 则 模、 设 mm mmMi iZkii 21)( ,)(1,20,|0 );(od1,),()(a则，、 欧 拉 定 理 ： 设kimMmbMbxbmxmMki Mmmkppnamxmxmai ai kkk kii ikkpii ,21),(od1 )(od)(od,2,1( ,6)1()1()(5 );(od4,1),()3);(,(od2)1(3 2211 2122 2121 其
2、中有 唯 一 解 则 同 余 方 程 组 设个 两 两 互 质 的 正 整 数 ，是、 孙 子 定 理 ： 设 ， 则 ：的 标 准 分 解 为 ：、 若 为 素 数 ， 则、 费 马 小 定 理 ： 若 的 缩 系 ；也 是 通 过 模的 缩 系 ， 则是 通 过 模且、 若的 充 要 条 件 是 的 一 组 缩 系是 模、互 质 的 整 数 ， 则个 与是、 若 个 数 ；的 一 组 缩 系 含 有、 模、 缩 系 的 几 种 性 质 ： ）（ 原 命 题 成 立 ；上 式 不 成 立 ， 则 有 ：也 是 一 组 完 全 剩 余 系 ，另 一 方 面又 同 理 有 ： ：的 一 组 完
3、全 剩 余 系 ， 则是、证 ： 的 一 组 完 全 剩 余 系 。不 是、求 证 ： ，的 一 组 完 全 剩 余 系 ， 且分 别 是、和、 设例 ,20| )(mod)( )(0)()(od2)()1( |2111112212nbannbnniaab nnaniiiiiniiiini nn 选自奥林匹克数学高三分册 P612321,),(mod,)(32 ,1)( )(1)1 2122111 inkiu iuuk kn ukx ukkkk 互 素 的 无 穷 子 数 列中 一 定 有 一 个 任 意 两 项数 列 依 此 方 法 一 直 下 去项 两 两 互 素 的 子 数 列 ，是、数
4、 列 理 有 ：是 欧 拉 函 数 ， 由 欧 拉 定其 中作 项 是 两 两 互 素 的 ， 记 为中 已 有证 明 ： 设 数 列 其 中 任 意 两 项 互 素 ；中 有 一 个 无 穷 子 数 列 ，、 证 明 ： 数 列例 ） )1()( 32,21 )(,1 11pp pppp 互 质其 他 的 数 均 与 个共 有，的 倍 数 有 ：中 是在又 互 质 ， 并 求中 有 多 少 个 数 是 与问 题 即 为 ：为 素 数解 为 素 数 。互 质 ， 并 求中 有 多 少 个 数 是 与、 在例 不 可 能 成 立 ；【 练 习 】 证 明 ： n4)(1|240|5365316|
5、),(),(16421)(,1, )(,724014 4224244ppppp两 两 互 素 ， 则与，又 费 马 小 定 理 有 ：又 整 除能 被 是 相 邻 的 偶 数 ， 则 ：和均 为 偶 数 ，且 又 是 奇 数素 数证 ： 整 除 ；能 被时 ，、 证 明 当 素 数例 )(,|731Nn【 练 习 】 证 明 ： 选自世界数学奥林匹克解题大辞典数论卷 P343选自数学竞赛研究教程上册P154选自奥林匹克数学高三分册 P633jilnmqpkkpqanmNkapapq qpnmljipnml nkmkjijilji l,1),(),(1,1,|)(,od0,1),( 1|1,|,
6、5即 ： 也 不 成 立同 理 ，产 生 矛 盾 ， 假 设 不 成 立另 一 方 面 ：又 且使 得 ： ，整 数由 孙 子 定 理 有 ： 存 在 正假 设 ， 只 需 证 明， 使为 证 明 存 在 某 个 整 数 为 非 负 整 数 ， 且其 中证 ： 设 。， 使在 某 个 整 数的 最 大 公 约 数 ， 证 明 存 具 有 相 同与和与，意 自 然 数是 自 然 数 ， 满 足 ： 对 任和、 设例 某 个 素 数 平 方 所 整 除 。 ， 即 能 被个 都 含 有 二 重 的 素 因 子个 连 续 整 数 ， 使 得 每 一【 练 习 】 是 否 存 在 0不 可 能 成 立
7、 假 设 不 成 立上 式 不 成 立 ，左 边 是 一 个 奇 数 ，上 式 右 边 是 一 个 偶 数 ，又即 ：即 ： 为 奇 质 数 ， 则 ：设 成 立 ， 则证 ： 若 不 可 能 成 立 ；【 练 习 】 证 明 ：nppp pnppnnkk kkkkk41)( )1()(1 )1()(2241)( ,),(,|4)(1)( 2221 11221 选自数学竞赛研究教程上册P155选自世界数学奥林匹克解题大辞典数论卷 P3684)(|273013752),(13752 |),(|,| )(,)( )1)()11),(|13 ),(,)(37520,| 41 23527 622636
8、 131 nfnf fnff ffnfnf NnfNn两 两 互 素 ， 故，且均 整 除，即由 费 马 小 定 理 可 知 ： 的 因 式都 是故由 于可 知 则 由 费 马 小 定 理 ， 若 记证 明 ：【 练 习 】 证 明 ： 个 连 续 整 数 ；的则 可 得 到 满 足 条 件 要 求取 子 ， 即 有每 个 都 有 一 个 二 重 素 因个 连 续 整 数则 存 在 一 解 ， 设 此 解 为定 理 ， 下 列 同 余 式 组个 相 异 的 素 数 ， 由 孙 子是证 明 ： 令某 个 素 数 平 方 所 整 除 。 ， 即 能 被个 都 含 有 二 重 的 素 因 子个 连 续 整 数 ， 使 得 每 一【 练 习 】 是 否 存 在 10,10 |,2)(mod2)(1,0 221 s inpsnnnpxsp is 选自中国华罗庚学校数学课本P218选自世界数学奥林匹克解题大辞典数论卷 P360
