1、2018 届河南省天一大联考高中毕业班阶段性测试（四）理科数学（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题得： ，故2. 复数 （是虚数单位）的共轭复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题可得：3. 已知在等边三角形 中， 是 的中点，点 是 内任意一点，则 的面积大于 的面积的2 倍的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 的面积大于 的面积的 2 倍可知，即 ,点 P 的运动范围只
2、能在 的角平分线上和如图所示的三角形 CEB 的内部，而角平分线也是等边三角形的中线和高故 ,所以概率为4. 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为：“有 5 个人分 60 个橘子，他们分得的橘子个数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少橘子.”根据这个问题，有下列 3 个说法：得到橘子最多的人所得的橘子个数是15；得到橘子最少的人所得的橘子个数是 6；得到橘子第三多的人所得的橘子个数是 12.其中说法正确的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】由题可设这五人的橘子个数分别为：
3、，其和为 60，故 a=6，由此可知得到橘子最少的人所得的橘子个数是 6；得到橘子第三多的人所得的橘子个数是 12 是正确的，故选 C5. 已知向量 ， ，若 ，则向量与 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题可知： ，所以向量与 的夹角为6. 执行如图所示的程序框图，则输出的 的值满足（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据此流程图进行运算，第一次输出： ，第二次输出： ，第三次输出：，第四次输出： ，按此规律可得输出的 的值满足7. 设 为空间两条不同的直线， 为空间两个不同的平面，给出下列命题： 若 ，则 ；若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 .其中正
4、确命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】一根直线同时垂直两个不相同的平面，显然这两个平面平行，故正确；因为两条平行直线中有一条垂直于一个平面，则另外一条直线也垂直这个平面，故正确；若 ，则必存在直线，所以由面面垂直的判定可知 ，故正确；若 ，则由线面垂直的判定可知 ，故正确8. 已知 ，则下列区间为函数 的单调递增区间的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 = ，所以 ，由得 ，当 k=0 时，选 A9. 过点 作直线 （ 不同时为零）的垂线，垂足为 ，点 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,整理为： 得直
5、线恒过点 Q（1，-2），画出图像可知 或者 M 与 P,Q 之一重合， ,故点M 在以 PQ 为直径的圆上运动，设该圆的圆心为 F，则线段 MN 满足的范围为 ,所以：的取值范围是10. 已知双曲线 的渐近线上有一点 ， 是双曲线的两个焦点，且点 在以 为直径的圆内，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题可知： ,渐近线为 ，所以 ，点 在以 为直径的圆内，故11. 在四面体 中，若 ， ， ，则四面体 的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，该四面体的为长方体的四个顶点 ，设长 、宽、高分别为 a，b，c 则 三式相加得：所
6、以该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，故外接球体积为：点睛：外接球的问题目的是求出求的半径，根据题意先分析几何体的外接球能否放入长方体中，然后求长方体体对角线即可12. 关于 的方程 的不等实根的个数为（ ）A. 1 B. 3 C. 5 D. 1 或 5【答案】B【解析】设 ，所以函数在 上单调递增，在递减，且当 ， ，当 由此画出函数草图，如图所示：，关于 x 的方程令 ，故有两个不同的解 ，又 ，所以无论如何与函数图像都有 3 个交点.点睛：根据题意此题属于复合方程求零点的问题，解复合方程首先要分析此方程中函数的草图，然后将函数 f(x)看成一个变量去求解二次函数的解的个数，然后再研
7、究 f(x)图像与二次函数的解的交点个数即为复合方程的解的个数.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 在 的展开式中，常数项是_【答案】-8【解析】第一个括号取 ，第二个括号为常数项是故答案为：14. 若 满足约束条件 则 的取值范围为 _【答案】【解析】画出如图可行域： 设 z=x+y,则 y=-x+z 表示斜率为-1 的一组平行线，显然如图当目标函数过 A 时取得最大值 1，无最小值，所以 的取值范围为15. 设函数 则满足 的 的取值范围是_【答案】【解析】当 不成立，当 ，不成立；当 ，得解集为（0,1;当 解集为 x1,综上所得 的
8、取值范围是16. 已知等差数列 的通项公式为 ，前 项和为 ，若不等式 恒成立，则 的最小值为_【答案】【解析】由题可知： 恒成立，即 恒成立，设t=n+1，则 ，因为函数 在， ，所以 ，所以 M 的最小值是点睛：本题首先熟悉等差数列的求和与基本不等式的应用，根据题意将恒成立问题转化为最值问题去求解即可得出结论三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知 的内角 满足 .（1）求角 ；（2）若 的外接圆半径为 1，求 的面积 的最大值.【答案】(1) ;(2) 【解析】试题分析:（1）根据题意 ，根据正弦定理角化边得，再借助余弦定理即
9、得角 A 的值；（2）先根据正弦定理，而面积 = ，求出 bc 的最大值即可，可利用基本不等式来求最值解析：（1）设内角 所对的边分别为 .根据可得 ，所以 ，又因为 ，所以 .（2） ，所以 ，所以 （ 时取等号）.点睛：三角函数问题在求解时要注意结合正弦定理的边角互化关系快速转换求解，涉及面积最值时明确面积公式结合基本不等式求解是借此题第二问的关键.18. 现在的人基本每天都离不开手机，许多人手机一旦不在身边就不舒服，几乎达到手机二十四小时不离身，这类人群被称为“手机控” ，这一群体在大学生中比较突出.为了调查大学生每天使用手机的时间，某调查公司针对某高校男生、女生各 25 名学生进行了调
10、查，其中每天使用手机时间超过 8 小时的被称为：“手机控” ，否则被称为“非手机控”.调查结果如下：手机控 非手机控 合计女生 5男生 10合计 50（1）将上面的列联表补充完整，再判断是否有 99.5%的把握认为“手机控”与性别有关，说明你的理由；（2）现从被调查的男生中按分层抽样的方法选出 5 人，再从这 5 人中随机选取 3 人参加座谈会，记这 3人中“手机控”的人数为 ，试求 的分布列与数学期望.参考公式： ，其中 .【答案】(1) 有 99.5%的把握认为“手机股”与性别有关;(2)见解析.【解析】试题分析：(1)现根据题意补充完整列联表然后根据 计算对照表格即可得结论（2）用分层抽
11、样的方法选出的 5 人中有“手机控”2 人， “非手机控”3 人. 再从这 5 人中随机选取 3 人， “手机控”的人数可能为 0,1,2，所以 的所有可能取值为 0,1,2， ； ，列出分布列求期望即可解析;（1）因为男生、女生各 25 名，于是将列联表补充如下：因为 ，所以有 99.5%的把握认为“手机股”与性别有关.（2）用分层抽样的方法选出的 5 人中有“手机控”2 人， “非手机控”3 人.再从这 5 人中随机选取 3 人， “手机控”的人数可能为 0,1,2，所以 的所有可能取值为 0,1,2，； ； .所以 的分布列是0 1 2所以 的数学期望 .19. 棱台 的三视图与直观图如
12、图所示.（1）求证：平面 平面 ；（2）在线段 上是否存在一点 ，使 与平面 所成的角的正弦值为 ？若存在，指出点 的位置，若不存在，说明理由.【答案】 （1）见解析；（2）点 在 的中点位置，理由见解析.【解析】试题分析：（1）首先根据三视图特征可得 平面 ， 为正方形，所以 .再由即可得线面垂直从而得出面面垂直（ 2）直接建立空间坐标系写出各点坐标求出法向量，在根据向量的交角公式得出等式求出解析：（1）根据三视图可知 平面 ， 为正方形，所以 .因为 平面 ，所以 ，又因为 ，所以 平面 .因为 平面 ，所以平面 平面 .（2）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所
13、示，根据三视图可知 为边长为 2 的正方形， 为边长为 1 的正方形，平面 ，且 .所以 ， ， ， ， .因为 在 上，所以可设 .因为 ，所以 .所以 ， .设平面 的法向量为 ，根据令 ，可得 ，所以 .设 与平面 所成的角为，所以 .所以 ，即点 在 的中点位置.20. 已知椭圆 的离心率 ，左、右焦点分别为 ，且 与抛物线 的焦点重合.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过 的直线交椭圆于 两点，过 的直线交椭圆于 两点，且 ，求 的最小值.【答案】 （1）椭圆的标准方程为 ；（2） 的最小值为 .【解析】试题分析：（1）由题可知）抛物线 的焦点为 ，所以 ，然后根据离心率可得 a 值，从而得出椭圆标准方程（2）根据题意则需求出 AC 和 BD 的长度表达式，显然可以根据直线与椭圆的弦长公式求得，所以设 ， ，直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，同理求出 AC 的长度，然后化简即得.解析：（1）抛物线 的焦点为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
