1、费 马 小 定 理 的 证 明一 、 准 备 知 识 ： 引 理 1 剩 余 系 定 理 2 若 a,b,c 为 任 意 3 个 整 数 ， m 为 正 整 数 ， 且 (m,c)=1,则 当 ac bc(mod m)时 ， 有 a b(mod m) 证 明 ： ac bc(mod m)可 得 acbc 0(mod m)可 得 (a-b)c 0(mod m)因 为 (m,c)=1 即 m,c 互 质 ， c 可 以 约 去 ， ab 0(mod m)可 得 a b(mod m) 引 理 2 剩 余 系 定 理 5 若 m 为 整 数 且 m1,a1,a2,a3,a4,am为 m 个 整 数 ，
2、 若 在 这m 个 数 中 任 取 2 个 整 数 对 m 不 同 余 ， 则 这 m 个 整 数 对 m 构 成 完 全 剩 余 系 。 证 明 ： 构 造 m 的 完 全 剩 余 系 （ 0,1,2,m-1） ， 所 有 的 整 数 必 然 这 些 整数 中 的 1 个 对 模 m 同 余 。 取 r1=0,r2=1,r3=2,r4=3,r=i-1,11， b 是 一 个 整 数 且 (m,b)=1。 如 果a1,a2,a3,a4,am 是 模 m 的 一 个 完 全 剩 余 系 ， 则 ba1,ba2,ba3,ba4,bam也 构 成 模 m 的 一 个 完 全 剩 余 系 。 证 明
3、： 若 存 在 2 个 整 数 ba 和 baj同 余 即 ba baj(mod m)， 根 据 引理 2 则 有 a aj(mod m)。 根 据 完 全 剩 余 系 的 定 义 和 引 理 4（ 完 全 剩 余 系中 任 意 2 个 数 之 间 不 同 余 ， 易 证 明 ） 可 知 这 是 不 可 能 的 ， 因 此 不 存 在 2 个整 数 ba 和 baj同 余 。 由 引 理 5 可 知 ba1,ba2,ba3,ba4,bam构 成 模 m 的 一 个 完 全 剩 余 系 。 引 理 4 同 余 定 理 6 如 果 a,b,c,d 是 四 个 整 数 ， 且 a b(mod m),
4、c d(mod m),则 有ac bd(mod m) 证 明 ： 由 题 设 得 ac bc(mod m),bc bd(mod m)， 由 模 运 算 的 传 递 性 可得 ac bd(mod m) 二 、 证 明 过 程 ： 构 造 素 数 p 的 完 全 剩 余 系 P=1,2,3,4(p-1)， 因 为 (a,p)=1， 由 引理 3 可 得 A=a,2a,3a,4a,(p-1)a也 是 p 的 一 个 完 全 剩 余 系 。 令W=1*2*3*4*(p-1)， 显 然 W W(mod p)。 令 Y=a*2a*3a*4a*(p-1)a,因 为a,2a,3a,4a,(p-1)a是 p 的 完 全 剩 余 系 ， 由 引 理 2 以 及 引 理 4 可 得a*2a*3a*(p-1)a 1*2*3*(p-1)(mod p)即 W*a(p-1) W(modp)。 易 知(W,p)=1， 由 引 理 1 可 知 a(p-1) 1(modp）
