费马小定理和欧拉定理的应用.pdf

1、n l x 王连笑(? g L , 300074) m s | : O156null null D S M : Anull null c I | : 1005 - 6416( 2010) 11- 0006- 05null null l : 2010- 07- 28null null (本讲适合高中)n l x d 1 , % “ 5 5 “ 1 B M n a, anull(n) 1 m od n .1null3null 费马小定理! p . (a, p) = 1,5ap- 1 1 m odp .1null4null 威尔逊定理! p .5 p - 1 ! - 1 modp .1null5nu

2、ll 阶数和原根( 1) l . a,m = 1 H , K l Pa 1 m odm ,O null ak null 1 m odm (k= 1, 2, null, - 1).5 a1 m . x A ! null m , |null m . T = null m , a1 m null m ,5 a m . , a= 3,m = 10, null 10 = 4, 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81 1 mod 10,5 31 10 null 10 = 4, 3 10 . , a= 3,m = 8, null 8 = 4, 32 = 9 1 m od 8 ,5

3、2 31 8 ,7 3 8 .6 y Z 1 8 1 , , 8 i .( 2) .( i) T a1 m ,5 a1, a2,null, a - 1 m .( ii) a1 m ,5at 1 m odm |t.2null 5 1null : a, b = 1, p , Op |(a2 + b2 ),5 pnull - 1 m od 4 . null Q E .L ! p= 4k- 1(k N+ ). a, b = 1,5 aab V ? $ p “ .(1) a b B ? $ p “ H , ! p |a, p b,5 p b2 ! p (a2 + b2 ), .( 2) a b ? $

4、p “ H , n l p |(ap- 1 - 1), p |(bp- 1 - 1).# p | ap- 1 - bp - 1 , p | a4k- 2 - b4k- 2 . p b,5 p b4k - 2 ! p 2b4k - 2. , p a4k - 2 + b4k - 2 ,p a2 + b2 a4k- 4 + a4k- 6b2 + null+ b4k- 4 .y N , p (a2 + b2 ), . , a2 + b2 4k- 1 y .说明# 5 V Z y B 4k+ 1 T ./ 5 B . 2null “ , px2 010 - 2 006= 4y2 009 + 4y2 00

5、8 + 2 007y . 1( 2009, X ) null Z x2 010 + 1= 4y2 009 + 4y2 008 + 2 007y+ 2 007= 4y2 008 + 2 007 y+ 1 . 4y2 008 + 2 007 - 1 m od 4 , 54y2 008 + 2 007A 4k- 1 y .7 x, 1 = 1,5 x2 010 + 1 4k - 1 y , . , 5 . 3null :Z x2 + 5= y3 .( 1979, F X ) null L ! Z x, y .( 1) x H ,5x2 + 5 2 m od 4 . , y3 2 m od 4 .y

6、N , y , y 0 m od 2 .y 7 , y3 0 m od 4 , .( 2) x H , ! x= 2n. y3 = x2 + 5 1 mod 4,5 y 1(mod 4),V ! y = 4m + 1. Z x2 + 4= y3 - 1.5 4 n2 + 1 = x2 + 4= y3 - 1= y - 1 y2 + y+ 1= 4m 16m2 + 12m + 3 .V 7 , n2 + 1= md, ,d= 16m2 + 12m + 3 - 1(mod 4). , d B y 4k - 1( V 1 n2 + 1 V ? 4k - 1 y ,y N , ).! p= 4l- 1

7、 d B y .5n2 + 1= md 0 m odp , null n2 - 1 m od p .# np- 1 = n4l- 2 = n2 2l- 1- 1 m od p . 6 B Z , n l np- 1 1 m odp . %T % .N H ,9 . ,Z .说明# Z x2 + 5= y3 : Z , T y2 = x3 + k.1 : Z B t T :( 1)n , X y2 =x3 - 2 y 0 3, 5 B F .( 2)n , y2 = x3 - 4 y 0 F 2, 2 , 5, 11 , n .( 3) x y2 = x3 + 1 y 0 72010 M 11

8、2, 3B F , . m & : & : ,“ d k= 0, K K F ( K F , O ). : Z , K , ? p 9 4 Y , P k l . k, p , H B 5 . , 1954 M B p V p : Z y2 = x3 + 17 y 0 (x, y ) = - 1, 4 , - 2, 3 , 2, 5 ,4, 9 , 8, 23 , 43, 282 ,52, 375 , 5 234, 378 661 . F . 4null : 2n - 3 ,B B i k 0 . null ! 2n - 3 ,X k ,: u1, u2, null, uk.Tuk+ 1 =

9、2null(u1u2nulluk) + 1 - 3, , null x x f . x 2null(u1u2nulluk) = 2null(u1)null(u2) nullnull(uk)1(m od ui )( 1! i! k).# 2null(u1u2nulluk)+ 1 - 3- 1(m od ui ) (1! i! k). , u1, u2, null, uk+ 1 k + 1 0 .G N / , 2n - 3 ,B B i k 0 . 5null ! Q n V U n . p Q Q Q 2 0112 011 . null A , Q n n m od 9 .5 2 0112 0

10、11 = 9 223+ 4 2 01142 011 = 46335+ 1 m od 9 . x 4null(9) = 46 1 m od 9! 2 0112 011 4 m od 9! Q Q Q 2 0112 011 4 m od 9 . 2 0112 011 5, 5 1 P pq |5p + 5q = 5 5p- 1 + 5q- 1 ,V 7 ,pq | 5p - 1 + 5q- 1 . n l 5p - 1 1 m od p . % T a%5q- 1 - 1 m odp . )! p - 1= 2k 2r- 1 ,q- 1= 2l 2s- 1 (kalaras N+ ). k! l,

11、5 T % a) 1 12l- k(2s- 1) 5p - 1 2l- k(2s- 1)52k(2r- 1) 2l- k( 2s- 1)52l(2s- 1)( 2r- 1) 5q- 1 2r- 1- 1 2r- 1 - 1 m odp , null 2 0 m odp . p( 2 . , k+l H , .N H , i 1 p p, q .8 # paq , 5 “ 1 p p, q = 2, 3 , 3, 2 , 2, 5 , 5, 2 ,5, 5 , 5, 313 , 313, 5 . F . 7null : i n 1, n N+ , n ( 2n - 1). null Q E .L

12、 ! i n 1, P n |(2n - 1).y 2n - 1 , , n .! p n K l y .5(p, 2) = 1, (n, p- 1) = 1. n l p |( 2p - 1 - 1).! d 21 n ,d= m in m p |(2m - 1), m N+ .5 d |(p - 1), d |n. n, p- 1 = 1,5 d= 1.N H , p |( 2d - 1) = 21 - 1= 1, .y N , i n 1, n N+, n ( 2n - 1).说明# a 2,5 i k n, P n |(an - 1)./ B , E / B k 9 nk : nk |

13、(ank - 1).( 1) k= 1 H , | n1 = 1, H q .( 2)L ! k N+ , nk |(ank - 1),5 | nk+ 1 = ank - 1= nk q(q N+ ). ,ank+ 1 - 1= ankq - 1= ank - 1 M= nk + 1M (M N+ ). , nk+ 1 |(ank+ 1 - 1). , a 2,5 i k n, P n |(an - 1). 8null ! m . T 2m + 1 + 1“ 32m + 1, : 2m + 1 + 1 .( 2003,b S X ) null ! q= 2m + 1 + 1. q | 32m

14、+ 1 ,532m - 1 m od q . # 3, q = 1. T 32m 2 - 1 2 m od q ,32m + 1 1 m od q . % T a% 31 q 2m+ 1 = q- 1.6 B Z , x 2m+ 1 = (q- 1) |null q . ) null q ! q- 1,7 T ) ,null q +q- 1,5 null q = q- 1.y 7 , q , 2m + 1 + 1 .练习题1. | B ,5 , . : 18, 37, null c .( 2009, F X )提示:n . /2010 M 9 6 H ,A i B k P 6 10k 7- r

15、 m od 7! N 0 m od 7 . ,N .7 n= 4, 5 H ,1 711= 29 59, 11 711= 7 1 673. , n= 1, 2 H ,N .5. n(n 1), n2 |( 2n + 1), : 3 |n.提示: ! p n K l y . 5 2n + 1 , p+3.! 21 p l.52l 1 m od p . n2 |(2n + 1),# p |n,52n - 1 m od p , 22n 1 m od p . % n l 2p - 1 1 m od p . ) T a% a)# l l| 2n, l|(p - 1). n, p- 1 = 1,5 2n, p- 1 = 2. , l= 2.V 7 , p |( 2l - 1) = 22 - 1= 3.I n p ,5 p= 3. , 3 |n. I D : 1null 2009 X J. null 翚null 译. 中等数 , 20109 (= ). 2 null 2009 S X J. , 2009 ( 3). 3 null 1996 S X J. , 1996 ( 2).10