1、初中数学竞赛专题选讲勾股定理一、内容提要1. 勾股定理及逆定理：ABC 中 CRt a2b 2=c22. 勾股定理及逆定理的应用 作已知线段 a 的 ， ， 倍235 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 证明线段的平方关系等。3. 勾股数的定义：如果三个正整数 a,b,c 满足等式 a2b 2=c2，那么这三个正整数 a,b,c 叫做一组勾股数.4. 勾股数的推算公式 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家 17891853）任取两个正整数 m 和 n(mn),那么 m2-n2，2mn, m 2+n2 是一组勾股数。 如果 k 是大于 1 的奇数，那么 k, , 是一组勾股数。1k 如果
2、 k 是大于 2 的偶数，那么 k, , 是一组勾股数。2K12 如果 a,b,c 是勾股数，那么 na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。二、例题例 1.已知线段 a a a 2a 3a a 55求作线段 a a 5分析一： a 2a 224 a 是以 2a 和 a 为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二： a5292 a 是以 3a 为斜边，以 2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）例 2.四边形 ABCD 中DA
3、B60 ，B D Rt ，BC1，CD2求对角线 AC 的长 解：延长 BC 和 AD 相交于 E，则E30 CE2CD4， 21DA BCE在 Rt ABE 中 设 AB 为 x,则 AE2x 根据勾股定理 x2+52=(2x)2, x2= 35在 Rt ABC 中，AC 21213例 3.已知ABC 中，AB AC ，B2A求证：AB 2BC 2ABBC 证明：作B 的平分线交 AC 于 D， 则AABD， BDC2A CADBDBC 作 BMAC 于 M，则 CM DM AB2BC 2（BM 2AM 2）（ BM2CM 2） AM 2CM 2（AM CM ） （AM CM） ACADAB
4、BC例 4.如图已知ABC 中，ADBC，ABCDACBD求证：ABAC 证明：设 AB，AC，BD ，CD 分别为 b,c,m,n 则 c+n=b+m, c-b=m-n ADBC，根据勾股定理，得 AD2c 2-m2=b2-n2 c 2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b) =(m+n)(c-b) (c+b)(c-b) (m+n)(c-b)0(c-b)(c+b)(m+n)0c+bm+n, c-b=0 即 c=bABAC例 5.已知梯形 ABCD 中，ABCD，ADBC求证：ACBD证明：作 DEAC，DFBC，交 BA 或延长线于点 E、FACD
5、E 和 BCDF 都是平行四边形DEAC，DFBC ，AECDBF 作 DHAB 于 H，根据勾股定理 AH ，FH 2-DA2-DHFADBC，AD DF AHFH，EHBH DE ，BD 2E2BDEBD即 ACBD例 6.已知：正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 EFGH 内接于 ABCD，AEa，AFb,且B CADMc bnmAB CDjA BCDEFHAB CDFGHESEFGH 32求： 的值 ab（2001 年希望杯数学邀请赛，初二） 解：根据勾股定理 a 2+b2=EF2S EFGH ; 34S AEF S ABCDS EFGH 2ab= 31 得 （a-b） 2= 31
6、ab三、练习1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数： 7， 8， 9，10， 11， 12，2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值： 25224 2， 5 212 2， ， 1815-3. ABC 中，AB 25，BC20，CA15，CM 和 CH 分别是中线和高。那么 SABC， CH，MH 4. 梯形两底长分别是 3 和 7，两对角线长分别是 6 和 8，则 S 梯形 5.已知：ABC 中，AD 是高，BEAB，BECD，CF AC，CFBD求证：AEAF6.已知：M 是ABC 内的一点，MDBC，MEAC，MFAB，且 BDBF，CDCE 求证：AEAF 7.在ABC 中，C 是钝角
7、，a 2-b2=bc 求证A 2 B8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。 （用反证法）9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长10 等腰直角三角形 ABC 斜边上一点 P，求证：AP 2BP 22CP 211.已知ABC 中，ARt，M 是 BC 的中点，E，F 分别在 AB，ACMEMF求证：EF 2BE 2CF 212.Rt ABC 中，ABC90 ，C60 ，BC 2，D 是 AC 的中点，从 D 作 DEAC0(5)AB CE FDEAB CMDF与 CB 的延长线交于点 E，以 AB、BE 为邻边作矩形 ABEF，连结 DF，则 DF 的长是。 （20
8、02 年希望杯数学邀请赛，初二试题）13.ABC 中，AB AC2，BC 边上有 100 个不同的点 p1，p 2，p 3，p 100,记 mi=APi2+BPiPiC (I=1,2，100) ，则 m1+m2+m 100=_(1990 年全国初中数学联赛题 )练习题参考答案3. 150，12，35 4. 24（作 CEBD 交 AB 延长线 E）5. 利用勾股定理证明 AE，AF 的平方都等于 m2+n2+AD26.利用勾股定理: AE 2，AF 2 7.作 CDAB 于 D， bc=a 2-b2=BD2-AD2=(BD+AD)(BD-AD) b=BD-AD 8.（用反证法）设 a,b,c 都是奇数， 那么 a2,b2,c2 也都是奇数，a 2b 2 是偶数,而 c2 是奇数， 这与 a2b 2c 2 相矛盾，故这种假设不能成立，a,b,c 中至少有一个数是偶数9. 正整数解有221cba13,02.865.,cb答：各边长是 5，12，13 或 6，8，1011.延长 EM 到 N，使 MNEM，连结 CN，显然MNCMEB ，NCBE ，NF EF 12. 可证 DFDE2 ， 313. 400 (mi=4)(11)BACMFE(12)AB CEFDAB CDEab
