1、12009 年全国初中数学竞赛讲座 数与式、方程、应用性问题数与式、方程、应用性问题是初中竞赛的主体内容，比重占到二分之一强.涉及到这部分内容的选择题、填空题特点是“小、巧、活”，解答题则基础、厚重.复习这部分内容的有效方法是对照中国数学会普及工作委员会制定的初中数学竞赛大纲(2006 年修订试用稿)，逐条训练、理解、掌握.下面选取近几年的全国初中竞赛试题对这部分内容作一些剖析，以重难点、解题方法为主线，期望既能在试题的剖析中领悟、消化这些方法，又能把握全国初中数学竞赛试题的脉络.以下例题中(2001-2)指的是(2001 年全国初中竞赛第2 题) ，其他类同.一、数与式问题1.奇偶性分析、整
2、除性分析例 1 (2001-2)如果 是三个任意整数，那么 ( )cba, 2,acba(A)都不是整数 (B)至少有两个整数 (C)至少有一个整数 (D)都是整数解答三个整数中至少有两个同奇偶，这两个数的和即为偶数，和的一半即为整数，故选 C.点评近年来单独考查奇偶性的试题较少，多数是将奇偶性分析、整数问题融入到其他知识中去解决问题，是一个重要的“题眼”，更多的例题可参考后面的“方程的整数根问题”.例 2 (2007-5)方程 323652xy的整数解 (x，y) 的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)3 (D)无穷多解答原方程可化为 (1)(1)2xy（ ） ，因为三个连续整数的乘积是
3、 3 的倍数，所以上式左边是 3 的倍数，而右边除以 3 余 2，这是不可能的所以，原方程无整数解故选(A).点评本题的 “题眼”有两个：一是对方程两边“局部分解因式”，构造三个连续整数的乘积；二是对方程两边作 3 的整除性分析.2.把握结构，代数式的整体处理代数式的结构千变万化，我们便于解决（能够解决）的总是那些结构特殊的代数式，这就意味着：我们总是要整体把握问题中代数式的特殊结构.具体来讲，又可细分为：(1)整体用元(换元)，整体化简、求值例 3 (2006-2)已知 ，21m， =8，则 a 的值等于( ) 21n )763)(472na(A)5 (B)5 (C)9 (D)9 解答由已知
4、可得 ， 212又 =8，所以 ,解得 a=9.选)(2 8)73(C点评本题整体代入 与 ，回避了根式运算，这是根式2m2n问题的一个常用手段（根式问题的常用手段还有分母、分子有理化等）.例 4 (2001-12)已知实数 满足 ，那么 tba, 22,1batba且2的取值范围是 .解答题中两式相加，得 ；两式相减，得 .21abt21tab因为 ，所以 且 ，解得 .2ab12tt3t点评本题视 为两个独立的整体，利用它们之间的关系2,ab构造不等式，获得 t 的范围. 关于变量 的几种常见代数结构之2 ,ab间存在特定的不等关系：，即均值不等式；2,01ab还存在特定的等量关系：，22
5、221ab2214ab同学们都应有所了解.(2)整体实施相加、相乘、相除例 5 (2003-7)若实数 x， y，z 满足 ， ， ，则yx1z37xxyz 的值为 . 解答本题的参考答案是：解法 1：因为 ，347137114 xxzxyx所以 ，解得 .37)()3(2从而 ， .5217xz 5zy于是 .3y显然不及下面的方法简单、漂亮：解法 2：三式相加，得 ；123xyzz三式相乘，得 .8yzxy两式相减，得 ，则 .12x1z点评参考答案是用消元法解三元方程组，思路简单、过程复杂；我们的解法思路巧妙、过程简洁，这其实要归功于对三元结构的理解与把握，三个变量 的常见代数结构有：,
6、xyz等.221,xyzxyzxyzxyz3例 6(2007-4)已知三个关于 x 的一元二次方程 02cbxa，02acxb， 02bacx恰有一个公共实数根，则2ab的值为( )(A) 0 (B)1 (C)2 (D)3解答设 是它们的一个公共实数根，则 020cbxa， 02acxb， 02baxc把上面三个式子相加，并整理得 ()(1)因为 220013()4，所以 b于是2 33()abcabcac()3abc选(D)3. 判定代数式的符号与配方法例 7 (2002-4)设 a、b、c 为实数，xa 22b ，yb 2 2c ，zc 22a ，则 x、y、z 中至少有一个值( ) 33
7、3(A)大于 0 (B)等于 0 (C)不大于 0 (D)小于 0解答因为 x+ y + za 22a +b 22b +c 22c ，配方，得 ，113xbc所以，x、y、z 中至少有一个值大于 0，选 A.点评配方法的基本功能是构造非负式、构造平方式. 本题通过对和式配方，判定和式为正，从而说明其中至少有一个加式为正.例 8 (2005-2)若 M3x 28xy+9y 24x+6y+13(x,y 是实数)，则 M 的值一定是( ).(A)正数 (B) 负数 (C)零 (D)整数解答因为 M3x 28xy+9y 24x+6y+132 28469xyxy，30显然 不能同时成立，0,2所以， ，
8、选 A.点评配方是数学竞赛的一项基本功，需要借助一定的拆项、凑配技巧.4.分解因式例 9(2004-8)已知实数 a、b、x、y 满足 ， ，则2yxba5byax.)()(22xaby解答由 ，两式相乘，得 ，4)( ， .51bxy分解因式，得 .5)()()(22 byaxya点评本题用到了将对称式分解因式，分解起来规律性很强，即分解的结果也一定对称.再比如，前面例 6 中得到 201bc，也是对称式4分解因式的结果.例 10 (2007-5)见例题 2.解答见例题 2.点评本题对方程两边作 “局部分解因式”，目的是为了构造三个连续整数的乘积，很有特色.5.数列求和问题与裂项相消法例 1
9、1 (2005-4)设 ，则与 A 最接近的正2221148( )3404A整数是( )(A)18 (B)20 (C)24 (D)25解答当 n 3 时，有 ,222nnn所以 21148( )404A56982 112340,92因为 ，111412099所以与 A 最接近的正整数是 25，选 D.点评数列求和问题是一类基本问题，裂项相消法则是其中一个基本方法，要特别注意裂项后哪些项没有抵消.当然，只有符合一定的特点的式子（数列）才能裂项，常见的裂项有：； 等.11nknk1nn例 12 (2007-10)已知对于任意正整数 n，都有 312na ，则 23101aa 解答当 n 2 时，有
10、 312nan，1()，两式相减，得 3na，所以 ),()(1nn ,432因此 2310aa()()()39 1()305点评本题也属于裂项相消法求和问题，与例 13 不同的是，本题要先找到通式 ，而且求通式的方法也值得我们借鉴：如果记213nan，那么1S 1,2.nnaS二、方程问题1.解方程的基本方法消元法例 13 (2007-1)方程组 1,6xy的解的个数为( )(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)4解答若 x 0，则 ,xy于是 6y，显然不可能若 ，则 1,6于是 8y，解得 9y，进而求得 3x所以，原方程组的解为 ,3x只有 1 个解故选(A)点评解决多元方程、多变量
11、问题的基本方法是消元.本题为消元，果断地对 的符号展开讨论，去掉 中的绝对值符号.x2.二次方程根与系数的关系例 14(2004-1)已知实数 ，且满足 ，ba)1(3)1(2aa.则 的值为( ).2)1(3)(b(A)23 (B) (C) (D)3解答 是关于 x 的方程 的两个根，,a03)1(2x整理此方程，得 ，0152 ， ， .故 a、b 均为负数.045ba因此 .2322 abab选(B).点评设 是二次方程的根，则利用根与系数的关系，可以解决诸如12,x， ， 等问题，但要注意前提条件 .另外，有的竞赛试12kx12 0题还要求我们自己构造二次方程，如本题构造根为 的方程,
12、ab，若构造根为 的方程 则过程要多03)(21,a23x走弯路，读者不妨一试.3.二次方程根的分布问题(留在函数专题讲解)4.三元最值问题与构造判别式法6例 15 (2003-14B)已知实数 a，b，c 满足：a+b+ c=2，abc=4.(1)求 a，b， c 中的最大者的最小值；(2)求 的最小值. 解答 (1)不妨设 a 是 a， b，c 中的最大者，即 ab，ac，由题设知 a0，且 b+c=2-a， .4于是 b，c 是一元二次方程 的两实根，0)2(x0，a4)2(0， 0. 所以 a4. 163a)4(2a又当 a=4，b=c=-1 时，满足题意.故 a，b，c 中最大者的最
13、小值为 4. (2)因为 abc0，所以 a，b，c 为全大于 0 或一正二负.若 a，b，c 均大于 0，则由 (1)知，a，b，c 中的最大者不小于 4，这与a+b+c=2 矛盾 .若 a，b，c 为一正二负，设 a0，b400.由得 12.5x0 时， ，方程 无实根；23x(2)当 x0 时， ，得方程 ，2解得 ，正根舍去，从而 .1x 1于是 .2373y10故 .选(D).134yx4.已知 a，b， c 为整数，且 ab=2006，ca=2005 若 ab，则 abc 的最大值为 .解答由 ， ，得 .206205401acb因为 ，ab，a 为整数，所以 a 的最大值为 10
14、02.于是，ab c 的最大值为 5013.注：本题将三元式 化为一元式 ，只需研究变量 的最大值. bc a5.已知 ， ，则 1n1nnn解答显然 ,对 ，取倒数得， .0aa1n，1231na 即 ， ， ， .nanan6.已知t表示小于或等于 t 的最大整数，则方程x+2x+4x+8x+16x+32x=12345 的实数解有 个.解答设 x=x+y，0y1，则原方程即 63x+2y+4y+8y+16y+32y=12345，从而 63x 1234563x+1+3+7+15+31=63x+57，但 12345=63195+60，因此上式无解故原方程的实数解个数为 0.7.若实数 x、 y
15、、z 满足 x+y+z=5，xy+yz+zx =3，则 z 的最大值是 .解答 ， ，5 35)(3)(32zyxy x、y 是关于 t 的一元二次方程 的两实根.0522tt ，即 ，4zz 012， .0)1(3z13当 时， .故 z 的最大值为 .yxz318.货车在 x 时 y 分从甲地出发，于 y 时 z 分到乙地，途中共用了 z 小时 x分钟，求 x 的所有可能值解答依题意得 z=x+y，或 z=x+y60，因为 x+y24+2460，所以 z=x+y.设货车在途中经历了 k 昼夜，则 y=x+z24k.由得 x=12k因为 0x24，所以 x=0 或 12.这样的 x 值事实上
16、是可能的，例如 x=0，y=z=15；或 x=12，y=15，z=27.9.对多少个实数 a，关于 x 的二次方程 x2+ax+6a=0 只有整数根？解答设 m、 n 是方程二整数根 (mn) 则应有 a=-(m+n)，6amn ，因此，a 也是整数，且 -6(m+n)=mn，即(m+6)(n+6)=36.由于 36=2232，所以(m， n)有 10 组解：(-42，-7)，(-24，-8) ，(-18，-9) ，(-15，-10)，(-12，-12)，(-5，30)，(-4 ，12) ，(-3 ，6)，(-2 ，3)，(0，0)，对应的 a=-(m+n)也有 10 个值： 49，32，27，25， 24，-25，-8，-3，-1，0.11(全文完)
