换元积分法

1、1,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分表,2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,复习4-1 不定积分的概念与性质,2,二、第二类换元法,一、第一类换元法,4-2 换元积分法,3,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,复合函数求导,4,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即, 凑微分法),5,注：,定理说明：若已知,则,因此该定理的意义就在于把,又称为积分的形式不变性,故扩展了基本积分表的。

2、5.2换元积分法,解决方法,将积分变量换成,令,?,因为,第一换元积分法,例5.6求下列不定积分,定理,第一类换元公式,（凑微分法）,可导,则有换元公式,设,具有原函数,注 “凑微分”的主要思想是:将所给出的积分凑成积分表里已有的形式,合理选择 是凑微分的关键.,小结,常见的凑微分类型有,小结,例5.7求下列不定积分,例5.7（4）,解:因为,原式=,例5.7 （5）,解：,原式=,例5:8求下列积分,例5.10 求下列积分,补充例题 求,法一,法二,解,法三,同一个积分用不同的方法计算,可能得到表面上不一致的结果,但是实际上都表示同一族函数.,第二换元积分法,有根式。

3、3-4 定积分的分部积分法与换元积分法则,1. 定积分的分部积分公式,定理1.,或简写为,2. 定积分的换元积分法则,定理2.,则,证明,例 若f(x)在0, 1上连续, 证明,(2)令xpt. 因为,例 若f(x)在0, 1上连续, 证明,证明,3. 偶函数,奇函数及周期函数的定积分,偶函数,奇函数,周期函数,命题1,练习,命题2,设 是实轴上的连续函数,并且以T为周期,则对任意实。

4、3.3.1 第一类换元积分法,课前复习,一、基本积分公式（熟记）,二、直接积分法求不定积分的具体方法和技巧,（2）先展后积,（3）先约后积,（4）三角恒等变形,（5）拆项：假分式=整式+真分式 按分母的因式拆项,作业解析：P124 2题,作业解析：P124 5题,3.3.1 第一类换元积分法（凑微分法）,当被积函数为复合函数时，不能简单的套用基本积分公式。对于某些复合函数的不定积分，可以按如下法则计算：,一、定理3.2,如果,则,例如：,注意：被积函数是复合函数时，只有当“积分变量=复合函数的中间变量”时，才能直接套用基本积分公式,P131 习题3.3,。

5、一、第一换元积分法(凑微分法),直接验证得知,计算方法正确,，我们可以把原积分作下列变形后计算：,换和计算：,. 换元积分法,还成立?回答是肯定的,我们有下述定理：,可一般化为下列计算程 序：,下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧,例 6 求下列积分：,解 （1）,本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用,例 7 求下列积分：,解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被 积函数做适当变形,本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式 的积分结果,二、第二换元积分法,一般地说，当被积函数含有,思考题,第一换元法（即凑微分法。

6、一、第一换元法(或称凑微分法),第四节 换元积分法,二、第二换元法,利用积分性质和简单的积分表可以求出 不少函数的原函数, 但实际上遇到的积分凭 这些方法是不能完全解决的.,现在介绍与复合函数求导法则相对应的 积分方法 不定积分换元法. 它是在积分 运算过程中进行适当的变量代换, 将原来的 积分化为对新的变量的积分, 而后者的积分 是比较容易积出的.,引例,(因为 d(3x) = 3dx).,一、第一换元法(或称凑微分法）,令 u = 3x，,则上式变为,那么，,也就是说上述结果正确.,一般地，能否把公式,定理 1 回答这个问题.,第一换元法,且 u = j (x) 。

7、定理,一、换元公式,定积分的换元法和,分部积分法,下页,上页,首页,证,下页,上页,首页,下页,上页,首页,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,下页,上页,首页,应用换元公式时应注意:,例1 计算,解,令,原式,下页,上页,首页,例1,例2 计算,解,下页,上页,首页,例2,例3 计算,解,原式,令,下页,上页,首页,例3,例4 计算,解,令,原式,下页,上页,首页,例4,证,下页,上页,首页,例5,下页,上页,首页,例5,奇函数,例6 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,下页,上页,首页,例6,证,（1）设,下页,上页,首页,例7,（2）设,下页,上页,首页,例7,下页,上页,首页,例7,推导,二。

8、第三节 换元积分法,直接积分法能算出的积分比较有限。如tgx , lnx , cos2x的积分都不能求得，需要找新的积分方法。,一、第一类换元积分法,一般地，若不定积分的被积表达式可写为,的形式，则令 。当积分 =F(u)+C容易用直接积分法求得时，则可按下法计算不定积分：,（第一类换元法）（也叫凑微分法）,例1 求,例2 求,例3 求,注：方法熟练后，可不写出中间变量u,例4 求,例5 求,例6 求,例7 求,例8 求,例9 求,例10 求,例11 求,例12 求,例13 求,例14 求,例15 求,例17 求,例16 求,例18 求,例19 求,例20 求,说明：同一积分，可以有几种不同的结果，。

9、5.2 换元积分法,问题,？,解决方法:,利用复合函数，设置中间变量.,5.2.1 第一类换元法,一阶微分形式的不变性,第三章第五节中有如下结论：,第一类换元公式,关键思路：,定理1,也称“凑微分法”,解（一）,解（二）,解（三）,常见凑微分形式一,常见凑微分形式二,解,使用三角恒等变形,说明：1. 当被积函数是三角函数奇次时， 拆开奇次项去凑微分. 2. 当被积函数是三角函数偶次时， 通过降次求积分.,例10 求,解,例 求,解,例5 求,联合凑微分法,例6 求,例7 求,练习：,5.2.2 换元积分法,第一类换元法（凑微分法）,定理1,解决方法：,利用复合函数，设。

10、第二节 换元积分法,本节内容提要,一、第一类换元积分法（凑微分法）,二、第二类换元积分法,教学目的：使生熟练掌握凑微分法求不定积分、掌握第二类 换元积分法中的根式置换法，了解三角置换法求不定积分重点： 凑微分法、根式置换法求不定积分难点： 凑微分法求不定积分教学方法：启发式教学手段：多媒体课件和面授讲解相结合教学课时：6课时,返回,第二节 换元积分法,引例：求 解: 错在哪里？,一、第一类换元积分法（凑微分法）,定理1、若 则这种将 利用中间变量 化为 ，则可直接（或稍微变形就可）应用基本积分公式求得结果，再将 还原成。

11、12 换元积分法与分部积分法教学目的：掌握第一、二换元积分法与分部积分法教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题(2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法教学程序：一. 第一类换元法 凑微法：有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分.例如，求不定积分 cos2xd，如果凑上一个常数因子 2，使成为11cos2xxd令 2xu则上述右端积分 11cos2cosin2xdudC然后再代回原来的积分变量 。

12、 第四节 定积分的换元积分法和分部积分法 , 求定积分 b 从上节微积分学的基本公式知道 f ( x) dx 的问题可以转化为求被积函数 a f ( x) 在区间 a, b 上的增量问题 . 从而在求不定积分时应用的换元法和分部积分法在求定积分时仍适用 , 本节将具体讨论之 , 请读者注意其与不定积分的差异 . 内容分布图示 定积分换元积分法 例 1 例 2 例 3 例 。

13、1,第二节,换元积分法,2,问题,？,一、第一换元积分法 (凑微分法),3,一般地，凑微分法步骤如下：,4,Th5.2,第一换元积分法 (凑微分法),5,例1求下列不定积分,例2求下列不定积分,6,例3求下列不定积分,7,8,例4.,例5.,9,例6.,另外：,10,例7求下列不定积分,类似地，,11,例7求下列不定积分,12,类似地，,13,基本积分公式,14,例8求下列不定积分,15,解:,16,注. 求,（1）,（2 ）,17,例9求下列不定积分.,或解,18,例10求下列不定积分.,积化和差,19,例11.,20,例12.,解法1,解法2,21,例13.,22,常用的凑微分形式:,23,24,作业,P176-8,25,二、第二换元积分法,26。

14、4.2 换元积分法和分部积分法,第四章,一、第一类换元积分法,三、分部积分法,（Integration by Substitution and Integration by Parts ）,二、第二类换元积分法,第二类换元法,第一类换元法,设,可导,则有,基本思路,在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”,给出了“基本积分公式表” 。,但是，,对于形如,这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表,我们就无能为力了。,为此，,一、第一类换元积分法,定理4.2.1,则有换元,公式,(也称配元法, 凑微分法),例4.2.1 1）求,2）求,补充例题1 求,解: 令,则,故,原式 =,补充例题2求,答案：。

15、数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院18.2 换元积分法与分部积分法教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题(2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法教学过程：一、第一类换元法 凑微分法：有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分 cos2xd，如果凑上一个常数因子 2，使成为11cos2xxd令 2xu。

16、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学 A3.1.4 不定积分的换元积分法3.1 不定积分第 3章 一元函数积分学3.1 不定积分3.1.4 换元积分法第二换元积分法第一换元积分法第二换元积分法应用习例 18-20第一换元积分法应用习例 1-17常见的一些凑微分形式基本积分表 2小结与思考题换元积分法3.1.4 不定积分的换元法利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数 , 但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的 .现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 不定积分换元法 . 它是在积分运算过程中进行适当的变量代换 , 将原。