1、1,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分表,2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,复习4-1 不定积分的概念与性质,2,二、第二类换元法,一、第一类换元法,4-2 换元积分法,3,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,复合函数求导,4,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即, 凑微分法),5,注：,定理说明：若已知,则,因此该定理的意义就在于把,又称为积分的形式不变性,故扩展了基本积分表的适用范围,凑微分,6,凑微
2、分法的基本思路：,与基本积分公式相比较，将不同的部分中间变量和积分变量变成相同,步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量,例1 求,解（一）,解（二）,解（三）,注：形式不一样，实质差常数,7,例2. 求,解:,令,则,联想公式,例2-例4类型相同,8,例3. 求,想到,解:,(直接配元),9,例4,解,注：拆项是常用的技巧,10,例5. 求,解:,类似,例5-例6类型相同,11,例6 求,解（一）,（使用了三角函数恒等变形）,12,解（二）,13,类似地可推出,解（三）,14,常用的几种配元形式:,15,例7 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,16,例8 求,解,
3、积化和差,17,例9 求,原式,解,分母有理化,18,例10 求,凑微分,配方,19,解,例11 设 求 .,令,20,例12 求,解: 原式,21,第一类换元法常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙换元或配元,凑幂法,利用积化和差; 分式分项;,利用倍角公式 , 如,22,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法 .,难求，,23,定理2 . 设,是单调可导函数 , 且,具有原函数 ,证:,令,则,则有换元公式,24,例1. 求,解: 令,则, 原式,取单调区间,
4、25,例2. 求,解: 令,则, 原式,取单调区间,26,例3. 求,解:,令,则, 原式,取单调区间,27,令,于是,28,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,注：所作代换的单调性。对三角代换而言，取单调区间即可。,29,说明(2),积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,例 中, 令,30,说明(3),积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,（三角代换很繁琐，采用根式代换）,解,令,31,说明(4),当分母的阶较高时, 可采用倒代换,例 求,解,令,32,例 求,解,令,33,第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,后讲,令,(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换,34,基本积分表,35,36,解: 原式,例1. 求,例2. 求,解:,37,小 结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),38,作 业,P 237 1(17,23,31)2 (6,9,10) 3(5) P368 (1-22) 背公式,
