高中数学竞赛题之平面几何

1、兰州成功私立中学高中奥数辅导资料（内部资料）21 平面几何名定理四个重要定理：梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 P、Q、R，则 P、Q、R共线的充要条件是 。塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）ABC 的三边 BC、CA、AB 上有点 P、Q、R，则 AP、BQ、CR 共点的充要条件是 。托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。例题讲解1设 AD 是ABC 的边 。

2、数学竞赛辅导讲稿平面几何1第八讲 圆幂定理一、知识要点：1、 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。即：如图，PAPC=PBPDBADCPO2、 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。即：如图，PA 2=PBPCPABC3、 割线定理：从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A、B、C、D ，则有 PAPB=PCPD。 PABCD二、要点分析：1、相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理。其可统一地表示为：过定点的弦被该点内分（或外分）成的两条线段的积为定值（该点到圆心的距离。

3、第 1 页 共 4 页第四讲 四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路 .判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材几何二册所介绍的两种（即 P89 定理和 P93 例 3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用 .1 “四点共圆”作为证题目的例 1给出锐角ABC，以 AB 为直径的圆与 AB 边的高 CC及其延长线交于M，N .以 AC 为直径的圆与 AC 边的高 BB及其延长线将于 P，Q .求证：M，N，P，Q 四点。

4、1平面解析几何初步：圆与直线一、选择题1、设 ， ，则 M 与 N、 与202011,MN20201199,PQP的大小关系为 ( )QA. B.,P,MNC. D.解：设点 、点 、点 ，则 M、 N 分别表示直线 AB、 AC(1,)A201(,)B201(,)C的斜率，BC 的方程为 ，点 A 在直线的下方， ，即 MN；yxABCK同理，得 。 答案选 B。 仔细体会题中 4个代数式的特点和“数形结合”的好PQ处2、已知两圆相交于点 ，两圆圆心都在直线 上，则 的(1,3)(,1)Am和 点 :0lxyccm值等于 ( )A-1 B2 C3 D0解：由题设得：点 关于直线 对称, ；, 0cyx415ABlkmk线段 的中点 在直线 上， ，答案选 C。(1)23c。

5、平面几何中几个重要定理及其证明一、 塞瓦定理1塞瓦定理及其证明定理：在 ABC 内一点 P，该点与 ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交 ABC 三边AB、 BC、CA 于点 D、E 、F，且D、E 、F 三点均不是 ABC 的顶点，则有1ABECFDA证明：运用面积比可得 ADCADPBBS根据等比定理有，ADCADCADPAPCADPBBBBBSS 所以 同理可得 ， APCBS APCEPASF三式相乘得 1DEF注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底” ，这样就可以产生出“边之比” 2塞瓦定理的逆定理及其证明A B C D E F P 定理：在 ABC 三边 AB、BC 、CA 上各有一。

6、第 1 页 共 4 页第四讲 四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路 .判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材几何二册所介绍的两种（即 P89 定理和 P93 例 3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用 .1 “四点共圆”作为证题目的例 1给出锐角ABC，以 AB 为直径的圆与 AB 边的高 CC及其延长线交于M，N .以 AC 为直径的圆与 AC 边的高 BB及其延长线将于 P，Q .求证：M，N，P，Q 四点。

7、高中数学竞赛平面几何知识点基础1、相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边( 或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似;(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.);(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.);(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等( 或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相。

8、高中数学竞赛平面几何讲座第二讲 巧添辅助妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例 1 如图 1,在ABC 中,ABAC,D 是底边 BC 上一点,E 是线段 AD 上一点且BED2 CEDA.求证：BD 2CD .分析：关键是寻求BED2CED 与结论的。

9、1全国高中数学联赛平面几何题1.(2000) 如图，在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F，满足BAE=CAF，作FMAB，FNAC（M、N 是垂足） ，延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D证明：四边形AMDN 与三角形 ABC 的面积相等2. (2001) 如图， ABC 中， O 为外心，三条高 AD、 BE、 CF 交于点 H，直线 ED 和 AB 交于点 M， FD 和 AC 交于点 N求证：(1) OB DF， OC DE；(2) OH MN3.(2002)4.(2003) 过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线，切点为 A，B 所作割线交圆于 C，D 两点，C 在 P，D 之间，在弦 CD 上取一点 Q，使DAQPBC求证：DBQ PAC AB CDE F。

10、（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1 勾股定理（毕达哥拉斯定理） （广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍 (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍2 中线定理（巴布斯定理）设ABC 的边 BC 的中点为 P，则有 ；)(222BPACB中线长： 2acbma3 垂线定理： 22DBCACDAB高线长： bBcAabcppha sinisin)()( 4 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如ABC 中，。

11、1第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.1、为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1 、设P、Q为线段BC上两点 ,且BPCQ,A 为BC外一动点(如图1).当点A运动到使BAPCAQ 时,ABC是什么三角形？试证明你的结论.。

12、全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读阅 读 时 必 须 考 虑 的 几 个 问 题 ：1 步 步 皆 要 考 虑 “ 知 其 然 之 其 所 以 然 ” 。2.解 此 题 的 关 键 步 骤 是 什 么 ？ 如 何 想 到 ， 是 否 应 该 想 到 这 样 的 方 法 、 这 样 的 思 路 ？3.画 图 线 条 的 如 何 取 舍 ？4.本 题 有 什 么 特 点 ？ 解 法 是 否 接 触 过 ？5.分 析 思 考 各 类 定 理 的 运 用 时 机 ， 运 用 条 件 。注 意 ： 思 考 过 久 （ 不 超 过 15 分 钟 为 宜 ） 不 知 其 然 ， 思 考 过 久 （ 不 超 过 10 分 钟 为 宜 ） 不 知 所 以 然 ， 跳。

13、高中数学平面几何拓展第一大定理：共角定理（鸟头定理）即在两个三角形中，它们有一个角相等（互补） ，则它们就是共角三角形。它们的面积之比，就是对应角（相等角、互补角）两夹边的乘积之比。内容：若两三角形有一组对应角相等或互补，则它们的面积比等于对应两边乘积的比。即：若ABC 和ADE 中，BAC=DAE ，则 SABCSADE=第二大定理：等积变换定理。1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形（底）高相等，面积之比等于高（底）之比。3、在一组平行线之间的等积变形。如图所示，SACD=SBCD；反之，如果 SACD=SBCD，则可知直线 AB 。

14、（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1 勾股定理（毕达哥拉斯定理） （广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍 (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍2 射影定理（欧几里得定理）3 中线定理（巴布斯定理）设ABC 的边 BC 的中点为 P，则有 ；)(222BPACAB中线长： 22acbma 4 垂线定理： 2DBCACDAB高线长： CbBcAabcpbapha sinsisin)()(2 5 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段。

15、高中数学竞赛专题讲座第 1 页平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1 勾股定理（毕达哥拉斯定理） （广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍 (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍2 射影定理（欧几里得定理）3 中线定理（巴布斯定理）设ABC 的边 BC 的中点为 P，则有 ；)(222BPACB中线长： 2acbma4 垂线定理： 22DBCACDAB高线长： bBcAabcppha sinisin)()( 5 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所。

16、分享智慧泉源 智爱学习 传扬爱心喜乐Wisdom&Love 第 页（共 23 页） 1第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.1 为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例 1 设 P、Q 为线段 BC 上两点,且 BPCQ,A 为 BC 外。

17、1高中数学竞赛平面几何(叶中豪)知识要点几何变换及相似理论位似及其应用复数与几何（1） 复数的意义及运算（2） 复数与复平面上的点一一对应（3） 复数与向量（4） 定比分点（5） 重心和加权重心，三角形的特殊点（6） 面积（7） 90旋转与正方形（8） 相似与复数乘法的几何解释（9） 三次单位根与正三角形例题和习题1 （Sylvester）已知 P 是ABC 所在平面上任一点。求证： ，其中3PABCPGG 是ABC 的重心。2 （Lami 定理）已知 P 是ABC 所在平面上任一点，P 点对于ABC 的重心坐标为。求证： 。123:1230ABC3 （Gergonne）(1) 四边形的两组对。

18、高中数学竞赛讲义平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理 设 分别是 ABC 的三边 BC，CA，AB 或其延长线上的点，若三点共线，则梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若 则 三点共线。塞瓦定理 设 分别是 ABC 的三边 BC，CA，AB 或其延长线上的点，若三线平行或共点，则塞瓦定理的逆定理 设 分别是 ABC 的三边 BC，CA，AB 或其延长线上的点，若 则 三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理 分别是 ABC 的三边 BC，CA，AB 所在直线上的点，则 平行或共点的充要条件是广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形，则 AB?CD+B。

19、- 1 -第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.1 为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例 1 设 P、Q 为线段 BC 上两点,且 BPCQ,A 为 BC 外一动点(如图 1).当点 A 运动到使BAP CAQ 时,ABC 是什么三角形？试。