1、1平面解析几何初步：圆与直线一、选择题1、设 ， ，则 M 与 N、 与202011,MN20201199,PQP的大小关系为 ( )QA. B.,P,MNC. D.解：设点 、点 、点 ，则 M、 N 分别表示直线 AB、 AC(1,)A201(,)B201(,)C的斜率，BC 的方程为 ，点 A 在直线的下方， ，即 MN；yxABCK同理，得 。 答案选 B。 仔细体会题中 4个代数式的特点和“数形结合”的好PQ处2、已知两圆相交于点 ，两圆圆心都在直线 上，则 的(1,3)(,1)Am和 点 :0lxyccm值等于 ( )A-1 B2 C3 D0解：由题设得：点 关于直线 对称, ；,
2、 0cyx415ABlkmk线段 的中点 在直线 上， ，答案选 C。(1)23cc3、三边均为整数且最大边的长为 11 的三角形的个数为 ( )A.15 B.30 C.36 D.以上都不对解：设三角形的另外两边长为 x,y,则；注意“=”号，等于 11的边可以多于一条。01xy点 应在如右图所示区域内：(,)x当 x=1 时，y=11；当 x=2 时，y=10,11；当 x=3 时，y=9,10,11；当x=4 时，y=8,9,10,11；当 x=5 时，y=7,8,9,10,11。以上共有 15 个，x,y 对调又有 15 个。再加(6，6） ，(7，7） ，(8 ，8） ，(9 ，9）
3、，(10，10） 、(11， 11） ，共 36 个，答案选 C。4、设 ，则直线 与圆 的位置关系为 （ ）0m2()10m2xymA.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切解：圆心 到直线的距离为 ，圆半径 。(,)dr2 ，211()02mdr直线与圆的位置关系是相切或相离，答案选 C。 5、已知向量 若 与 的夹角为 ，则直线(cos,in),(3cos,in),mn60与圆 的位置关系是（ 1:cosi02lxy221:)(xy） A相交但不过圆心 B相交过圆心 C相切 D相离解： ，06(scosin)cos()cs632|mn圆心 到直线 的距离 ，(cs,i)Cl rd
4、1|)(|直线与圆相离，答案选 D。 复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式6、已知圆 和点 ,若点 在圆上且 的面积为22:(3)(5)36Oxy(2,)1)ABCAB,则满足条件的点 的个数是 （ ）25CA.1 B.2 C.3 D.4解:由题设得： ， ， 点 到直线 的距离 , 5AB2ABSC1d直线 的方程为 ,与直线 平行且距离为 1 的直线为034yx12:4307lxy得：圆心 到直线 的的距离 ,到直线 的距离为 ,(,5)O1l16dr2l24dr圆 与直线 相切；与直线 相交, 满足条件的点 的个数是 3，答案选 C1l2C7、若圆 始终平分圆 的周长,则实数21
5、:()()Cxayb222:(1)()xy应满足的关系是 ( )b,A B 032 05baC D132解：公共弦所在的直线 方程为： ，l222()(1)-4()()-1=0xyxyb即： ，0)()1(aybxa圆 始终平分圆 的周长， 圆 的圆心 在直线 上,2C2,l，即 ，答案选 B。1205ba8、在平面内,与点 距离为 1, 与点 距离为 2 的直线共有 ( ),(A),3(BA.1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条解：直线 与点 距离为 1，所以直线 是以 A 为圆心 1 为半径的圆的切线，l l3同理直线 也是以 B 为圆心 2 为半径的圆的切线，即两圆的公切线，
6、l， 两圆相交，公切线有 2 条，答案选 B。53A想一下，如果两圆相切或相离，各有几条公切线？二、填空题1、直线 2xy4=0 上有一点 P，它与两定点 A(4，1)，B(3，4) 的距离之差最大，则 P 点坐标是_ _.解：A 关于 l 的对称点 A，AB 与直线 l 的交点即为所求的 P 点。得 P(5，6） 。想一想，为什么， A B与直线 l的交点即为所求的 P点？如果 A、 B两点在直线的同一边，情况又如何？2、设不等式 对一切满足 的值均成立，则 的范围为 21()xm2mx。解：原不等式变换为 ，1)0x设： ， ，按题意得： 。2()(f()(2)0,()ff即： 。2307
7、312x3、已知直线 与圆 ，则 上各点到 的距离的最大值与:4lxy:CxyCl最小值之差为 。解： 圆心 到直线的距离= ， 直线与圆相离，1,C142r上各点到 的距离的最大值与最小值之差 = = 。l 24、直线 被圆 截得的弦长为_。2()1xty为 参 数 24xy解：直线方程消去参数 得： ，圆心到直线的距离 ，弦长的一半为t1012d，得弦长为 。2214()45、已知圆 ，直线 ，以下命题成立的有22:(cos)(sin)1Mxy:lykx_。对任意实数 与 ，直线 和圆 相切；klM对任意实数 与 ，直线 和圆 有公共点；对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 和圆 相切kl
8、BA BP APC4对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 和圆 相切klM解：圆心坐标为 cos,inM，所以命题成立。221sisin()11kd rk （ ） 仔细体会命题的区别。6、点 A(3， 3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射，反射光线与圆相切，则光线 l 所在直线方程为_ 2:470Cxy_。解：光线 l 所在的直线与圆 关于 x 轴对称的圆 相切。圆心 坐标为 ，半径 ，CC2,1r直线过点 A(3，3)，设 的方程为： ，即：l3()ykx30kxy圆心 到直线 的距离 ，l21kd251K解得： 或 ，得直线 的方程： 或 。43kl40xy4xy7、直线 与圆
9、 交于 、 两点，且 、 关于直线xmy202nyxMN对称，则弦 的长为 。0xMN解：由直线 与直线 垂直 ，由圆心在直线 上 ，2m0xy2n圆方程为 ，圆心为 ，圆心到直线的距离 ，22(1)()6xy1,1d弦 的长 =N4rd8、过圆 内一点 作一弦交圆于 两点,过点 分别作圆的切线24xy)1,(ACB、 B、，两切线交于点 ，则点 的轨迹方程为 。PCB、 P解：设 ,根据题设条件，线段 为点 对应圆上的切点弦，0() P直线 的方程为 , 点在 上， ,40yx40yx即 的轨迹方程为： 。 注意掌握切点弦的证明方法。三、解答题1、已知过原点 O 的一条直线与函数 的图象交于
10、 A、B 两点，分别过点 A、B 作 y 轴的8logyx平行线与函数 的图象交于 C、D 两点。2logyx（1）证明：点 C、D 和原点 O 在同一直线上；（2）当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标。解：（1）设 A、B 的横坐标分别为 ，由题设知 ，1、 12、得点 ， ，1828(,l)(,l)x、 2(,log)(,log)x、A、 B 在过点 O 的直线上， ，1825，得： ， O、C 、 D 共线。81822123log3logl lOCODxxkkxx， OCDk（2）由 BC 平行于 x 轴，有 321821ll代入 ，得 ， ,8182ll38oglx81log0
11、x， ，得 。38(,l)A2、设数列 的前 项和 ， ，a、b 是常数且 。na1nSab(,2n b（1）证明： 是等差数列；（ 2） 证 明 ： 以 为 坐 标 的 点 ， 落 在 同 一 直 线 上 ， 并 求 直 线 方 程。,1nnP(,)（3）设 ， 是以 为圆心， 为半径的圆 ，求使得点 P1、P 2、P 3 都,2abC(,)rr(0)r落在圆 C 外时，r 的取值范围。解：（1）证明：由题设得 ；当 n2 时，1aS，1()(1)()2()nnSbanbanb。2a所以 是以 为首项， 为公差的等差数列。证毕；n（2）证明： ，对于 n2，0b11(1)(1)2nPnSab
12、anbka以 为 坐 标 的 点 ， 落 在 过 点 ， 斜率为 的同 一 直 线 上 ，,nP(,) 1,Pa21此直线方程为： ，即 。1()()2yaxa20y（3）解：当 时，得 ，都落在圆 C 外的条件是,b131,0,、 、2222(1)(3)(rr22()754810r由不等式，得 r1由不等式，得 r 或 r +5由不等式，得 r4 或 r4+6再注意到 r0， 1 4 = + 4+626使 P1、P 2、P 3 都落在圆 C 外时，r 的取值范围是(0 ，1)(1, )(4+ ,+)。2563、已知 、 、 ，求证：ab1c2abcc证一： ， ，116， 11bcbc设函数
13、 ，()2()(1)()1yfaabcabc则： 11)0()()bcf 当 ，即 时，上述函数 表示的直线都在 轴上方，即：a,ayfaa、 、 ，不等式 成立，证毕。1b1c2bcc因为题中变量较多，考虑“固定”某变量（这里是 a） ，然后利用一次函数的性质来证明代数不等式的方法值得借鉴。证二： 、 ， ，即： ；a()10a1ab、 （将 看作一个数，利用的结论）1b1cbc由式得 ， ，a1aabc即： ，证毕。2cc仔细体会上述递推证明的方法，你能进一步推广运用吗？如试证明 ，4acdeabc其中 。,(1,)bde4、求与圆 外切于点 ，且半径为 的圆的方程52yx)2,1(P52
14、解一：设所求圆的圆心为 ，则 ，,baC2()()1b （ ） 63ba所求圆的方程为 。 注：因为两圆心及切点共线得（1）式20)6()3(2yx解二：设所求圆的圆心为 ，由条件知, 1(,2)(,)33OPCa，所求圆的方程为 。63ba )()(22yx仔细体会解法 2，利用向量表示两个圆心的位置关系，同时体现了共线关系和长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴。5、如图，已知圆心坐标为 的圆 与 轴及直线)1,3(Mx均相切，切点分别为 、 ，另一圆 与圆 、xy3ABNM轴及直线 均相切，切点分别为 、 。CD（1）求圆 和圆 的方程；N（2）过 点作 的平行线 ，求直线 被圆Bll截得的
15、弦的长度；解：（1）由于圆 与 的两边相切，故 到 及 的距离均为圆 的半径，则MOAOABO A CBDNxyM7在M的角平分线上，同理， 也在 的角平分线上，BOANBOA即 三点共线，且 为 的角平分线，N、 M的坐标为 ， 到 轴的距离为 1，即：圆 的半径为 1，)1,3(xM圆 的方程为 ；)(22yx设圆 的半径为 ，由 ，得： ,rCRttNCA:即 ， ， 圆 的方程为： ；32N9)3()(22yx（2）由对称性可知，所求弦长等于过 点的 的平行线被圆 截得的弦长，A此弦所在直线方程为 ，即 ，)3(xy 03yx圆心 到该直线的距离 ，则弦长 =N21d 32dr注：也可
16、求得 点坐标 ，得过 点 的平行线 的方程 ，再根据B23,BMNl 03yx圆心 到直线 的距离等于 ，求得答案 ；还可以直接求 点或 点到直线的距离，进l 3AB而求得弦长。6、已知两圆 ； ，直线 ，求经过圆4:21yxC042:2yxC02:yxl的交点且和直线 相切的圆的方程。21、 l解：设所求圆的方程为 ，)(2yx即： ，得：)()(22圆心坐标为 ；半径 ，1, 164122r所求圆与直线 相切， 圆心到直线的距离l，解得 ，舍去26454122rd 1所求圆的方程为：02yx要熟练掌握过两圆交点的圆系的方程及公共弦的直线方程（ ）=-17、如果实数 、 满足 ，求 的最大值
17、、 的最小值。xy2()3x2yx解：（1）问题可转化为求圆 上点到原点的连线的斜率 的最大值。2xyyk设过原点的直线方程为 ，由图形性质知当直线斜率取最值时，直线与圆相切。k得： ， ，2031k3max3y8（2） 满足 ，,xy2()3y23cosinxy4cosi415()。 min15注意学习掌握解（2）中利用圆的参数方程将关于 x,y的二元函数转化为关于角 的一元函数，从而方便求解的技巧。8、已知圆 ，直线 ， 。22:()()Cxy:(21)()740lmxym()R（1）证明：不论 取什么实数，直线 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆 截得的弦长最小时 的方程.解：（1）解法
18、1： 的方程 ，l(4)(7)0xy()R即 恒过定点270,3,1yxl3,1A圆心坐标为 ，半径 ， ，(,)C5rCr点 在圆 内，从而直线 恒与圆 相交于两点。Al解法 2：圆心到直线 的距离 ，l2|3|6md0265)34(22md，所以直线 恒与圆 相交于两点。rd5l（2）弦长最小时， ， ， ，lC13Aklk14代入 ，得 的方程为 。(1)()740mxy250xy注意掌握以下几点：（1）动直线斜率不定，可能经过某定点；（2）直线与圆恒有公共点 直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线；（3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦。9、已知圆 和直线 ，
19、22)5()3(:ryxC0234:yxl（1）若圆 上有且只有 4 个点到直线 的的距离等于 1，求半径 的取值范围；r（2）若圆 上有且只有 3 个点到直线 的的距离等于 1，求半径 的取值范围；（3）若圆 上有且只有 2 个点到直线 的的距离等于 1，求半径 的取值范围；l解一：与直线 平行且距离为 1 的直线有两条，分别为：:0lxy， ，注意掌握平行直线的表示方法及其距离计算 。1407:yxl圆心 到直线 的的距离为 ,到直线 的的距离为 ,则：C161d2l42d（1）圆 上有且只有 4 个点到直线 的的距离等于 1 6rr且（2）圆 上有且只有 3 个点到直线 的的距离等于 1
20、 且（3）圆 上有且只有 2 个点到直线 的的距离等于 1l 且解二：圆心 到直线 的距离 ，则：l5（1）圆 上有且只有 4 个点到直线 的的距离等于 1 ，rdr（2）圆 上有且只有 3 个点到直线 的的距离等于 1 ，Cl 6（3）圆 上有且只有 2 个点到直线 的的距离等于 1 14解法 1采用将问题转化为直线与圆的交点个数来解决，具有直观明了的优点，对解决这类问题特别有效；解法 2的着眼点是观察从劣弧的点到直线 l 的最大距离,请仔细体会。10、已知 为原点，定点 ，点 是圆 上一动点。O(4,0)QP24xy9（1）求线段 中点的轨迹方程；PQ（2）设 的平分线交 于 ，求 点的轨
21、迹方程。OR解：（1）设 中点 ，则 ，代入圆的方程得 。(,)Mxy(24,)Pxy2()1xy（2）设 ，其中 ， ，由 ，(,)R0,mn14OPQ，代入圆方程 并化简得：342xmyn24xy。当 y=0 时，即 在 轴上时， 的平分线无意义。241639x(0)PxPOQ（1）本题的解法称作相关点转移法求轨迹，其核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系；（2）处理“角平分线”问题，一般有以下途径：转化为对称问题利用角平分线性质，转化为比例关系利用夹角相等。11、如图所示，过圆 与 轴正半轴的交点 A 作圆的切线 ， M 为 上任意一点，再2:4Oxyll过 M 作圆的另一切线，切点为
22、Q，当点 M 在直线 上移动时，求三角形 MAQ 的垂心的轨迹方l程。解：设 边上的高为 边上的高为 ，连接1(,)QxyA， B， COQ， ，当 时，0Ok11(0,2),MQAOxykkyx， ，11:2ACQBlyx在 上， ,(,2)xy24y22()4xy当 时，垂心为点 B，也满足方程，而点 M 与点 N 重0Ok合时，不能使 A， M， Q 构成三角形。的垂心的轨迹方程为：。22()4()xyx12、已知函数 21f（1）在曲线 上存在两点关于直线 对称，求 的取值范围；()tyxt（2）在直线 上取一点 ，过 作曲线 的两条切线 、 ，求证：4yP()f1l212l解：（1）
23、设曲线上关于直线 的对称点为 和 ，线段 的中点yx1,Axy2,BAB，则直线 垂直于直线 ，设直线 的方程为： 。0(,)MxyAByxb则2 2(1)(3)()0fttttbbQPRO10据题意得： （1）22(3)4(1)450ttbtb ， 在直线 上，20xMAB23tyxb又 在直线 上， ，得 ，代入式（ 1)得 。Myx0y3t 74t（2）设 点坐标为 ，则过 点所作的切线方程为： ，则有P1(,)4aP1()ykxa2 2(1)()01 4()4yfxttxtkxtk2224(1)4()1ttkatak直线 、 的斜率 为方程 的两个根，1l2k、 (1)0t， ，证毕。k12l13、已知圆 ， 是 轴上的动点， QA，QB 分别切圆 M 于 A，B 两点，2:()MxyQx求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程。解：连接 MB，MQ ，设 ，,(,0)a，点 M，P，Q 在一直线上，得 2yx由射影定理得 ，即：2|BM2()41xya式代入式，消去 a，得 ，22716xy从几何图形可分析出 ，又由式得 ，y2324y()动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程是： 。271-()6xy，MyxQOABP
