1、（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1 勾股定理（毕达哥拉斯定理） （广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍 (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍2 中线定理（巴布斯定理）设ABC 的边 BC 的中点为 P，则有 ；)(222BPACB中线长： 2acbma3 垂线定理： 22DBCACDAB高线长： bBcAabcppha sinisin)()( 4 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如ABC 中，AD 平分BAC
2、，则 ；（外角平分线定理） 角平分线长： （其中 为周长一半） 2cos)(2bapcbta p5 正弦定理： ， （其中 为三角形外接圆半径） RCBAsinisin6 余弦定理： cc227 张角定理： ABDDi 8 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D，则有AB2DC+AC2BDAD 2BCBCDCBD9 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半 （圆外角如何转化？）10 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角11 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形 ABCD 中，ACBD，自对角线的交点 P 向一边作垂
3、线，其延长线必平分对边12 费马点：定理 1 等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离定理 2 三角形每一内角都小于 120时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是 120，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点” ，当三角形有一内角不小于 120时，此角的顶点即为费马点13 拿破仑三角形：在任意ABC 的外侧，分别作等边ABD、 BCE、CAF ，则 AE、AB、CD 三线共点，并且AE BF CD，这个命题称为拿破仑定理 以ABC 的三条边分别向外作等边ABD、BCE 、CAF
4、，它们的外接圆C 1 、A 1 、B 1 的圆心构成的外拿破仑的三角形，C 1 、A 1 、B 1 三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；ABC 的三条边分别向ABC 的内侧作等边ABD、BCE 、CAF，它们的外接圆C 2 、A 2 、B 2 的圆心构成的内拿破仑三角形，C 2 、A 2 、B 2 三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形这两个拿破仑三角形还具有相同的中心 14 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如: （1）三
5、角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; （3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理 15 欧拉（Euler）线：欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为 R，内切圆半径为 r，外心与内心的距离为 d，则 d2=R22Rr16 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和17 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成 2：1 的两部分； )3,(CBACBAyxG重心性质：（1）设 G 为ABC 的重心，连结 AG 并延长交 BC 于 D，则 D 为 BC 的中点，则 ；
6、1:2:D（2）设 G 为ABC 的重心，则 ；ABCACGBAGSS3（3）设 G 为ABC 的重心，过 G 作 DEBC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，过 G 作 PFAC 交 AB 于 P，交 BC于 F，过 G 作 HKAB 交 AC 于 K，交 BC 于 H，则 ；2;32ABKHCFKHFP（4）设 G 为ABC 的重心，则 ；2222 333CABCAB ；)(1 （P 为ABC 内任意一点） ；22222 GGP到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即 最小； 22CB三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则 G 为ABC 的重心）18
7、垂心：三角形的三条高线的交点； )coscos,coscos( CBbAayyCBbAaxxH垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍；（2）垂心 H 关于ABC 的三边的对称点，均在ABC 的外接圆上；（3）ABC 的垂心为 H，则ABC，ABH，BCH，ACH 的外接圆是等圆；（4）设 O，H 分别为ABC 的外心和垂心，则 HAOHO,19 内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等； ),( cbaycbaxI CBACBA内心性质：（1）设 I 为ABC 的内心，则 I 到ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设 I 为
8、ABC 的内心，则 ；CAIBAI 2190,2190,2190（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若 平分线交ABC 外接圆于点 K，I 为线段 AK 上的点且满足 KI=KB，则 I 为ABC 的内心；（4）设 I 为 ABC 的内心， 平分线交 BC 于 D，交ABC 外接圆于点 K，则,cBbACaB；cbDA（5）设 I 为 ABC 的内心， I 在 上的射影分别为 ，内切圆半径为 ，,ABC, FE,r令 ，则 ； ；)(21capprSABC cpCbpapFE;CIBApabcr20 外心：三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心，即外心
9、到三角形各顶点距离相等； )2sini2sin,2sini2sin( CBAyyxxOC外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设 O 为ABC 的外心，则 或 ；BOA360（3） ；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和SabcR21 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点旁切圆圆心；设ABC 的三边 令,cBbaB，分别与 外侧相切的旁切圆圆心记为 ，其半径分别记为 )(21cpAC, CAI, CAr旁心性质：（1） （对于顶角 B，C 也有类似的式子） ；,21,2190CBIIBIA （2） ；)(21ICA（3）设 的连线交ABC 的外接圆于
10、D，则 （对于 有同样的结论） ；IA CBI,（4）ABC 是 IAIBIC 的垂足三角形，且I AIBIC 的外接圆半径 等于 ABC 的直径为 2RR22 三角形面积公式： AabcahS sini24sin21)cot(ct22ba，其中 表示 边上的高， 为外接圆半径， 为内切圆半径，(ppraBRr)(21cba23 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系： ;2sinco4,2cosincs4,2cossin4;2sinsi4 CBARrCBARrCARrCBARr cba .11;tan,t,ta rBrr cbacba 24 梅涅劳斯（Menelaus）定理：设ABC
11、的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为 P、Q、R 则有 （逆定理也成立）1RBACQ25 梅涅劳斯定理的应用定理 1：设ABC 的A 的外角平分线交边 CA 于 Q， C 的平分线交边 AB 于 R，B 的平分线交边 CA 于 Q，则 P、Q、R 三点共线26 梅涅劳斯定理的应用定理 2：过任意ABC 的三个顶点 A、B、 C 作它的外接圆的切线，分别和 BC、CA、AB 的延长线交于点 P、Q、R，则 P、Q、R 三点共线27 塞瓦(Ceva )定理：设 X、 Y、 Z 分别为ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点，则 AX、BY、CZ 所在直线交
12、于一点的充要条件是 =1AZZBBXXCCYYA28 塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC 的边 BC 的直线与两边 AB、AC 的交点分别是 D、E，又设 BE 和 CD 交于S，则 AS 一定过边 BC 的中点 M29 塞瓦定理的逆定理：（略）30 塞瓦定理的逆定理的应用定理 1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点31 塞瓦定理的逆定理的应用定理 2：设ABC 的内切圆和边 BC、CA、AB 分别相切于点 R、S、T，则 AR、BS 、CT交于一点 32 西摩松（Simson）定理：从ABC 的外接圆上任意一点 P 向三边 BC、CA、AB 或其延
13、长线作垂线，设其垂足分别是 D、E、R，则 D、E、R 共线， （这条直线叫西摩松线 Simson line） 33 西摩松定理的逆定理：（略）34 关于西摩松线的定理 1：ABC 的外接圆的两个端点 P、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上35 关于西摩松线的定理 2（安宁定理）：在一个圆周上有 4 点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点36 史坦纳定理：设ABC 的垂心为 H，其外接圆的任意点 P，这时关于ABC 的点 P 的西摩松线通过线段 PH 的中心37 史坦纳定理的应用定理：ABC 的外接圆上的一点 P 的关于边 BC、
14、CA、AB 的对称点和ABC 的垂心 H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上这条直线被叫做点 P 关于ABC 的镜象线38 牛顿定理 1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线这条直线叫做这个四边形的牛顿线 39 牛顿定理 2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线40 笛沙格定理 1：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（ A 和 D、B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线41 笛沙格定理 2：相异平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（ A 和 D、B 和 E、C 和
15、F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线42 波朗杰、腾下定理：设ABC 的外接圆上的三点为 P、Q、R，则 P、Q、R 关于ABC 交于一点的充要条件是：弧AP+弧 BQ+弧 CR=0(mod2 ) 43 波朗杰、腾下定理推论 1：设 P、Q、R 为ABC 的外接圆上的三点，若 P、Q、R 关于ABC 的西摩松线交于一点，则 A、B、 C 三点关于PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点44 波朗杰、腾下定理推论 2：在推论 1 中，三条西摩松线的交点是 A、B 、C、P 、Q、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点45 波朗杰、
16、腾下定理推论 3：考查ABC 的外接圆上的一点 P 的关于ABC 的西摩松线，如设 QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点 P、Q、R 的关于ABC 的西摩松线交于一点 46 波朗杰、腾下定理推论 4：从ABC 的顶点向边 BC、CA、AB 引垂线，设垂足分别是 D、E、F ，且设边BC、CA、AB 的中点分别是 L、M、N，则 D、E、F、L、M、N 六点在同一个圆上，这时 L、M 、N 点关于关于ABC 的西摩松线交于一点47 卡诺定理：通过ABC 的外接圆的一点 P，引与ABC 的三边 BC、CA、AB 分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是 D、E、F，则
17、D、E、F 三点共线48 奥倍尔定理：通过ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC 的外接圆的交点分别是 L、M 、N ，在ABC 的外接圆上取一点 P，则 PL、PM 、PN 与ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是D、E、F ，则 D、E、F 三点共线49 清宫定理：设 P、Q 为ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的两点，P 点的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是U、V、W ，这时， QU、QV 、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F ，则 D、E、F 三点共线50 他拿定理：设 P、Q 为关于ABC 的外接圆的一对反点，点 P 的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是U、V、W ，这时，如果 QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F ，则 D、E、F 三点共线 （反点：P、Q 分别为圆 O 的半径 OC 和其延长线的两点，如果 OC2=OQOP 则称 P、Q 两点关于圆 O 互为反点）
