1、1.角 平 分 线 定 理方 法 4（ 正 弦 定 理 ） 作 三 角 形 的 外 接 圆 ， AM 交 圆 于 D， 由 正 弦 定 理 ， 得 ， 证 明 4 图AB/sin BMA=BM/sin BAM, AC/sin CMA=CM/sin CAM 又 BAM= CAM， BMA+ AMC=180 sin BAM=sin CAM,sin BMA=sin AMC, 所 以 AB AC=MB MC2. 梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）证 明 一 ：过 点 A 作 AG BC 交 DF 的 延 长 线 于 G, 则 AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。
2、三 式 相 乘 得 ： (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 证 明 二 ：过 点 C 作 CP DF 交 AB 于 P， 则 BD/DC=FB/PF， CE/EA=PF/AF 所 以 有 AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=13.塞 瓦 定 理 在 ABC 内 任 取 一 点 O， 直 线 AO、 BO、 CO 分 别 交 对 边 于 D、 E、 F， 则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证 法 简 介 （ ） 本 题 可 利 用 梅 涅 劳 斯 定 理 证 明 ： ADC 被 直 线 BO
3、E 所 截 ， (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 而 由 ABD 被 直 线 COF 所 截 ， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 :即 得 ： (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （ ） 也 可 以 利 用 面 积 关 系 证 明 BD/DC=S ABD/S ACD=S BOD/S COD=(S ABD-S BOD)/(S ACD-S COD)=S AOB/S AOC 同 理 CE/EA=S BOC/ S AOB AF/FB=S AOC/S BOC 得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=14.广 勾 股 定 理 ： 在 任 一 三 角 形
4、 中 ， (1)锐 角 对 边 的 平 方 ， 等 于 两 夹 边 之 平 方 和 ， 减 去 某 夹 边 和 另 一 夹 边 在 此 边 上 的 投影 乘 积 的 两 倍 (2)钝 角 对 边 的 平 方 ， 等 于 两 夹 边 的 平 方 和 ， 加 上 某 夹 边 与 另 一 夹 边 在 此 边 延 长 上的 投 影 乘 积 的 两 倍 证 明 ： 设 ABC 中 ， BC 是 锐 角 A 的 对 边 (图 2 4) 作 CH AB 于 H， 根 据 勾 股 定 理 ： BC2 = BH2 + CH2 而 BH = AB-AH , CH2 = AC2 - AH2 带 入 后 有 ： BC
5、2 = (AB-AH)2 + AC2 - AH2 简 化 后 ： BC2 = AB2 AC2 -2ABAH 式 （ 1） 同 理 ： BC2 = AB2 AC2 -2ACAH5.四 边 形 的 余 弦 定 理设 四 边 形 ABCD 的 边 长 为 AB=a,BC=b,CD=c,DA=d， 对 角 线 为 m,n。 求 证 : (m*n)2=(a*c)2+(b*d)2-2*a*b*c*d*cos(A+C)证 明 在 AB,AD 边 上 向 外 作 AKB CDA, ADM CAB, 则 有 AK=ac/m,AM= bd/m,KB=DM=ad/m。 因 为 KBD+ MDB= CAD+ ABD+
6、 BDA+ CAB=180 所 以 KB DM， 四 边 形 KBDM 是 平 行 四 边 形 ， KM=BD=n。 在 AKM 中 ， 由 余 弦 定 理 得 : n2=(ac/m)2+(bd/m)2-2(ac/m)*(bd/m)*cos(A+C) 上 式 两 边 同 乘 m2 即 得 四 边 形 的 余 弦 定 理 。6.三 角 形 的 重 心 ， 外 心 ， 垂 心 ， 内 心 和 旁 心 称 之 为 三 角 形 的 五 心 。 三 角 形 五 心 定 理 是 指三 角 形 重 心 定 理 ， 外 心 定 理 ， 垂 心 定 理 ， 内 心 定 理 ， 旁 心 定 理 的 总 称 。三
7、角 形 的 三 条 边 的 中 线 交 于 一 点 。 该 点 叫 做 三 角 形 的 重 心 。重 心 的 性 质 ： 1、 重 心 到 顶 点 的 距 离 与 重 心 到 对 边 中 点 的 距 离 之 比 为 2 1。 2、 重 心 和 三 角 形 3 个 顶 点 组 成 的 3 个 三 角 形 面 积 相 等 。 即 重 心 到 三 条 边 的 距 离与 三 条 边 的 长 成 反 比 。 3、 重 心 到 三 角 形 3 个 顶 点 距 离 的 平 方 和 最 小 。 4、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 重 心 的 坐 标 是 顶 点 坐 标 的 算 术 平 均 数 ， 即
8、 其 重 心 坐 标 为（ (X1+X2+X3)/3， （ Y1+Y2+Y3)/3。 三 角 形 的 三 条 边 的 垂 直 平 分 线 交 于 一 点 ， 该 点 即 为 该 三 角 形 外 心 。 三 角 形 外 接 圆 的 圆心 ， 叫 做 三 角 形 的 外 心 。外 心 的 性 质 ：1、 若 O 是 ABC 的 外 心 ， 则 BOC=2 A（ A 为 锐 角 或 直 角 ） 或 BOC=360-2 A（ A 为 钝 角 ） 。 2、 当 三 角 形 为 锐 角 三 角 形 时 ， 外 心 在 三 角 形 内 部 ； 当 三 角 形 为 钝 角 三 角 形 时 ， 外 心 在三 角
9、 形 外 部 ； 当 三 角 形 为 直 角 三 角 形 时 ， 外 心 在 斜 边 上 ， 与 斜 边 的 中 点 重 合 。 3、 计 算 外 心 的 坐 标 应 先 计 算 下 列 临 时 变 量 ： d1， d2， d3 分 别 是 三 角 形 三 个 顶 点 连 向另 外 两 个 顶 点 向 量 的 点 乘 。 c1=d2d3， c2=d1d3， c3=d1d2； c=c1+c2+c3。 重 心 坐 标 ：( (c2+c3)/2c， (c1+c3)/2c， (c1+c2)/2c )。 4、 外 心 到 三 顶 点 的 距 离 相 等 三 角 形 的 三 条 高 （ 所 在 直 线 ）
10、 交 于 一 点 ， 该 点 叫 做 三 角 形 的 垂 心 。垂 心 的 性 质 ： 1、 三 角 形 三 个 顶 点 ， 三 个 垂 足 ， 垂 心 这 7 个 点 可 以 得 到 6 个 四 点 圆 。 2、 三 角 形 外 心 O、 重 心 G 和 垂 心 H 三 点 共 线 ， 且 OG GH=1 2。 （ 此 直 线 称为 三 角 形 的 欧 拉 线 （ Euler line） ） 3、 垂 心 到 三 角 形 一 顶 点 距 离 为 此 三 角 形 外 心 到 此 顶 点 对 边 距 离 的 2 倍 。 4、 垂 心 分 每 条 高 线 的 两 部 分 乘 积 相 等 。 三 角
11、 形 的 三 条 内 角 平 分 线 交 于 一 点 。 该 点 即 为 三 角 形 的 内 心 。 三 角 形 内 切 圆 的 圆 心 ，叫 做 三 角 形 的 内 心 。内 心 的 性 质 ： 1、 三 角 形 的 三 条 内 角 平 分 线 交 于 一 点 。 该 点 即 为 三 角 形 的 内 心 。 2、 直 角 三 角 形 的 内 心 到 边 的 距 离 等 于 两 直 角 边 的 和 减 去 斜 边 的 差 的 二 分 之 一 。 3、 P 为 ABC 所 在 平 面 上 任 意 一 点 ， 点 I 是 ABC 内 心 的 充 要 条 件 是 ： 向 量PI=(a向 量 PA+b
12、向 量 PB+c向 量 PC)/(a+b+c). 4、 O 为 三 角 形 的 内 心 ， A、 B、 C 分 别 为 三 角 形 的 三 个 顶 点 ， 延 长 AO 交 BC 边于 N， 则 有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 三 角 形 的 旁 切 圆 的 圆 心 ， 叫 做 三 角 形 的 旁 心 。旁 心 的 性 质 ： 1、 三 角 形 一 内 角 平 分 线 和 另 外 两 顶 点 处 的 外 角 平 分 线 交 于 一 点 ， 该 点 即 为 三 角 形的 旁 心 。 2、 每 个 三 角 形 都 有 三 个 旁 心 。 3、 旁 心 到 三 边 的
13、距 离 相 等 。圆 O 中的弦 PQ 的中点 M，过点 M 任作两弦 AB，CD，弦 AD 与 BC 分别交 PQ 于X，Y，则 M 为 XY 之中点。蝴 蝶 定 理 设 AB 是 圆 O 的 弦 ， M 是 AB 的 中 点 。 过 M 作 圆 O 的 两 弦CD、 EF， CF、 DE 分 别 交 AB 于 H、 G。 则 MH=MG。证 明 ： 过 圆 心 O 作 AD 与 BC 的 垂 线 ， 垂 足 为 S、 T， 连 接OX， OY， OM， SM， MT。 AMD CMB AM/CM=AD/BC SD=1/2AD， BT=1/2BC AM/CM=AS/CT 又 A= C AMS CMT MSX= MTY OMX= OSX=90 OMX+ OSX=180 O， S， X， M 四 点 共 圆 同 理 ， O， T， Y， M 四 点 共 圆 MTY= MOY， MSX= MOX MOX= MOY ， OM PQ XM=YM
