1、- 1 -第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.1 为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例 1 设 P、Q 为线段 BC 上两点,且 BPCQ,A 为 BC 外一动点(如图 1).当点 A 运动到使BAP CAQ 时,ABC 是什么三角形？试证明你的结论.答： 当点 A
2、 运动到使BAPCAQ 时,ABC 为等腰三角形.证明：如图 1,分别过点 P、B 作 AC、AQ 的平行线得交点 D.连结 DA.在DBPAQC 中,显然 DBPAQC, DPBC.由 BPCQ,可知 DBPAQC. 有DPAC ,BDP QAC.于是,DABP,BAP BDP.则 A、D、B 、 P 四点共圆,且四边形 ADBP 为等腰梯形.故 ABDP.所以 ABAC.这里,通过作平行线,将QAC“平推”到BDP 的位置.由于 A、D、B、P 四点共圆,使证明很顺畅.例 2 如图 2,四边形 ABCD 为平行四边形,BAFBCE.求证：EBAADE. 证明：如图 2,分别过点 A、B 作
3、 ED、EC 的平行线,得交点 P,连 PE.由 AB CD,易知PBAECD.有 PAED,PB EC.显然,四边形 PBCE、PADE 均为平行四边形.有 BCEBPE,APEADE.由BAF BCE,可知 BAFBPE.有 P、B 、A 、E 四点共圆. 于是,EBAAPE. 所以,EBAADE.这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过 P、B、A、E 四点共圆,紧密联系起来.APE 成为EBA 与ADE 相等的媒介,证法很巧妙.2 欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例 3 在
4、ABC 中,BD、CE 为角平分线,P 为 ED 上任意一点.过 P 分别作 AC、AB、BC 的垂线,M、N、Q 为垂足.求证： PMPNPQ.证明：如图 3,过点 P 作 AB 的平行线交 BD 于 F,过点 F 作 BC 的平行线分别交 PQ、AC于 K、G,连 PG.由 BD 平行ABC,可知点 F 到 AB、BC 两边距离相等.有 KQPN. 显然, ,可知 PGEC .DEGC由 CE 平分BCA,知 GP 平分FGA.有 PKPM .于是,PMPN PKKQPQ.这里,通过添加平行线,将 PQ“掐开”成两段,证得 PMPK,就有 PMPNPQ.证法非常简捷.3 为了线段比的转化
5、ADBPQC图 1EDGABFC图 2ANEBQKGCDMFP图 3- 2 -由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.例 4 设 M1、 M2 是ABC 的 BC 边上的点,且 BM1CM 2.任作一直线分别交AB、AC、AM 1、AM 2 于 P、Q、N 1、N 2.试证： .APBQC1NM2A证明：如图 4,若 PQBC,易证结论成立. 若 PQ 与 BC 不平行,设 PQ 交直线 BC于 D.过点 A 作 PQ 的平行线交直线 BC 于 E.由 BM1CM 2,可知 BE
6、CEM 1EM 2E,易知 , ,PBDEQC , . 则 1AN2EAPBQCDEEM21 .1M2所以, .APBQC1NM2A这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为 DE,于是问题迎刃而解.例 5 AD 是ABC 的高线,K 为 AD 上一点,BK 交 AC 于 E,CK 交 AB 于 F.求证：FDAEDA.证明：如图 5,过点 A 作 BC 的平行线,分别交直线 DE、DF、BE、CF 于 Q、P 、N 、M . 显然, .NBDMC有 BDAMDC AN. (1)由 ,有 AP . (2)PFBAD由 ,有 AQ . (3)DCAQEBCN对比(1)
7、、(2)、(3)有 APAQ.显然 AD 为 PQ 的中垂线,故 AD 平分PDQ . 所以,FDAEDA.这里,原题并未涉及线段比,添加 BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使 AP 与 AQ 的相等关系显现出来.4 为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例 6 在ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,点 M 在 AB 边上,点 N 在 AC 边上,并且MDN90.如果 BM2CN 2DM 2DN 2,求证：AD 2 (AB2AC 2).41证明：如图 6,过点 B 作 AC 的平行线交
8、ND 延长线于 E.连 ME.APEC21BQN图 4图 5PAQNFBDCEK图 6ANCDEBM- 3 -由 BDDC,可知 EDDN.有 BEDCND. 于是,BENC .显然,MD 为 EN 的中垂线.有 EMMN.由 BM2BE 2BM 2NC 2MD 2DN 2MN 2EM 2,可知 BEM 为直角三角形,MBE 90.有 ABCACB ABC EBC90. 于是,BAC90.所以,AD 2 (AB2AC 2).21BC4这里,添加 AC 的平行线 ,将 BC 的以 D 为中点的性质传递给 EN,使解题找到出路.例 7 如图 7,AB 为半圆直径,D 为 AB 上一点,分别在半圆上
9、取点 E、F ,使 EADA,FBDB .过 D 作 AB 的垂线,交半圆于 C.求证：CD 平分 EF. 证明：如图 7,分别过点 E、F 作 AB 的垂线,G 、H 为垂足 ,连 FA、EB.易知 DB2 FB2ABHB,AD2AE 2AGAB.二式相减,得 DB 2AD 2AB(HBAG),或 ( DBAD)ABAB(HBAG ).于是,DBADHB AG,或 DBHBAD AG. 就是 DHGD .显然,EGCDFH. 故 CD 平分 EF.这里,为证明 CD 平分 EF,想到可先证 CD 平分 GH.为此添加 CD 的两条平行线EG、FH,从而得到 G、H 两点.证明很精彩.经过一点
10、的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图 8,三直线 AB、AN、AC 构成一组直线束,DE 是与 BC 平行的直线.于是,有 ,即 或 .BNDMACEBNDMCENB此式表明,DMME 的充要条件是BNNC. 利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.例 8 如图 9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点 E、F,对角线 BDEF ,AC 的延长线交 EF 于 G.求证：EG GF.证明：如图 9,过 C 作 EF 的平行线分别交 AE、AF 于 M、N.由 BDEF,可知 MNBD .易知SBEF S DE
11、F .有 SBEC S KG *5DFC .可得 MCCN.所以,EGGF.例 9 如图 10,O 是ABC 的边 BC 外的旁切圆,D、E、F 分别为O 与 BC、CA、AB的切点.若 OD 与 EF 相交于 K,求证：AK 平分 BC.证明：如图 10,过点 K 作 BC 的行平线分别交直线 AB、AC 于 Q、P 两点,连 OP、OQ、OE、OF.由 ODBC,可知 OKPQ. 由 OFAB ,可知 O、K 、 F、Q 四点共圆,有 FOQFKQ.由 OEAC,可知 O、K、P、E 四点共圆.有 EOPEKP.显然,FKQEKP,可知 FOQ EOP.AGDOHBFCE图 7图 8ADB
12、NCEM图 9ABMEFNDCGAOEPCBFQK图 10- 4 -由 OFOE,可知 Rt OFQ Rt OEP. 则 OQOP.于是,OK 为 PQ 的中垂线 ,故 QK KP.所以,AK 平分 BC.综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.练 习 题1. 四边形 ABCD 中,AB CD,M 、N 分别为 AD、BC 的中点 ,延长 BA 交直线 NM 于 E,延长 CD 交直线 NM 于 F.求证：BENCFN.(提示：设 P 为 AC 的中点,易证 PMPN .)2. 设 P 为ABC 边 BC 上一点
13、,且 PC2PB.已知ABC45,APC60.求ACB.(提示：过点 C 作 PA 的平行线交 BA 延长线于点 D.易证ACDPBA.答：75)3. 六边开 ABCDEF 的各角相等,FAAB BC ,EBD60,S EBD 60cm 2.求六边形ABCDEF 的面积.(提示：设 EF、DC 分别交直线 AB 于 P、Q ,过点 E 作 DC 的平行线交 AB 于点 M.所求面积与 EMQD 面积相等.答：120cm 2)4. AD 为 RtABC 的斜边 BC 上的高,P 是 AD 的中点,连 BP 并延长交 AC 于 E.已知AC:AB k.求 AE:EC.(提示：过点 A 作 BC 的
14、平行线交 BE 延长线于点 F.设 BC1,有 ADk,DCk 2.答：)215. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CDAB 于 D,E 为 DB 上一点,过 D 作 CE 的垂线交CB 于 F.求证： .DEFB(提示：过点 F 作 AB 的平行线交 CE 于点 H.H 为CDF 的垂心.)6. 在 ABC 中 ,A :B:C4:2:1,A、B、C 的对边分别为 a、b、c.求证： a1 .b1c(提示：在 BC 上取一点 D,使 ADAB.分别过点 B、C 作 AD 的平行线交直线 CA、BA 于点 E、F.)7. 分别以ABC 的边 AC 和 BC 为一边在ABC 外作正方形 ACD
15、E 和 CBFG,点 P 是 EF的中点.求证：P 点到边 AB 的距离是 AB 的一半.8. ABC 的内切圆分别切 BC、CA 、AB 于点 D、E、F,过点 F 作 BC 的平行线分别交直线DA、DE 于点 H、G.求证：FHHG.(提示：过点 A 作 BC 的平行线分别交直线 DE、DF 于点 M、N .)9. AD 为O 的直径,PD 为O 的切线,PCB 为O 的割线,PO 分别交 AB、AC 于点M、N.求证：OMON.(提示：过点 C 作 PM 的平行线分别交 AB、AD 于点 E、 F.过 O 作 BP 的垂线,G 为垂足.ABGF .)第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题在某些数学
16、竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的- 5 -有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例 1 如图 1,在ABC 中,ABAC ,D 是底边 BC 上一点,E 是线段 AD 上一点且BED2CEDA .求证：BD2CD.分析：关键是寻求BED2CED 与结论的联系.容易想到作BED 的平分线,但因 BEED ,故不能直接证出 BD2CD.若
17、延长 AD 交ABC 的外接圆于 F,则可得 EBEF,从而获取.证明：如图 1,延长 AD 与ABC 的外接圆相交于点 F,连结 CF 与 BF,则BFA BCAABCAFC,即BFDCFD.故 BF:CFBD :DC.又BEF BAC,BFEBCA,从而FBEABCACBBFE.故 EBEF.作BEF 的平分线交 BF 于 G,则 BGGF.因GEF BEF CEF,GFE CFE ,故FEGFEC.从而 GFFC.21于是,BF2CF.故 BD2CD.1.2 利用四点共圆例 2 凸四边形 ABCD 中,ABC60,BADBCD90, AB2,CD1,对角线 AC、BD 交于点 O,如图
18、2.则 sinAOB_.分析：由BADBCD90可知 A、B、C 、D四点共圆,欲求 sinAOB ,联想到托勒密定理,只须求出 BC、AD 即可.解：因BADBCD90,故 A、B、C 、D 四点共圆.延长 BA、CD 交于 P,则ADPABC60.设 ADx,有 AP x,DP 2x.由割线定理得(2 x) x2x(12x).33解得 ADx2 2,BC BP4 .1由托勒密定理有 BDCA(4 )(2 2)2110 12.3又 SABCDS ABD S BCD . 故 sinAOB .226315例 3 已知：如图 3,ABBCCA AD,AH CD 于 H,CPBC,CP 交 AH 于
19、 P.求证：ABC 的面积 S APBD. 43分析：因 SABC BC2 ACBC,只须证 ACBCAPBD ,转化为证APC BCD.这由 A、B、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与 AH 交点).证明：记 BD 与 AH 交于点 Q,则由 ACAD,AH CD 得ACQADQ.ABGCDFE图 1ABCDPO图 2A图 3BPQDHC- 6 -又 ABAD,故ADQ ABQ .从而,ABQACQ.可知 A、B、C 、Q 四点共圆.APC90PCHBCD,CBQCAQ,APCBCD.ACBCAPBD .于是,S ACBC APBD.43432 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,
20、但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.2.1 联想圆的定义构造辅助圆例 4 如图 4,四边形 ABCD 中,ABCD,ADDCDB p,BCq.求对角线 AC 的长. 分析：由“ADDCDBp”可知 A、B、C 在半径为 p 的D 上.利用圆的性质即可找到 AC 与 p、q 的关系.解：延长 CD 交半径为 p 的D 于 E 点,连结 AE.显然 A、B、C 在D 上.ABCD,BCAE.从而,BCAEq.在ACE 中,CAE90,CE 2p,AEq,故 AC .2E24qp2.2 联想直径的性质构
21、造辅助圆例 5 已知抛物线 yx 22x 8 与 x 轴交于 B、C 两点，点 D 平分 BC.若在 x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且BAC 为锐角,则 AD 的取值范围是_.分析：由“BAC 为锐角”可知点 A 在以定线段 BC 为直径的圆外,又点 A 在 x 轴上侧,从而可确定动点 A 的范围,进而确定 AD 的取值范围.解：如图 5,所给抛物线的顶点为 A0(1,9),对称轴为 x1,与 x 轴交于两点 B(2,0)、C(4,0).分别以 BC、DA 为直径作 D、E,则两圆与抛物线均交于两点 P(12 ,1)、Q(12 ,1).可知,点 A 在不含端点的抛物线 PA0Q 内时,B
22、AC 90.且有3DPDQ ADDA 09,即 AD 的取值范围是 3AD9.2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例 6 AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高,B 的平行线交 AD 于 M,交 AC 于 N.求证：AB2AN 2BMBN.分析：因 AB2AN 2(AB AN )(ABAN )BMBN ,而由题设易知 AMAN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论.证明：如图 6, 234590,又34,15,12.从而,AMAN.以 AM 长为半径作A ,交 AB 于 F,交 BA 的延长线于 E.则 AEAFAN .由割线定理有AEDCB图 4ABDCPQEyx0(1,9)(-2,0)(4图
23、 5EANCDBFM12345图 6- 7 -BMBN BFBE (ABAE)(AB AF)(ABAN)(ABAN) AB 2AN 2,即 AB 2AN 2BMBN.例 7 如图 7,ABCD 是O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于 E,延长 AB 和 DC 相交于E,延长 AD 和 BC 相交于 F,EP 和 FQ 分别切O 于 P、Q.求证：EP 2FQ 2EF 2.分析：因 EP 和 FQ 是O 的切线 ,由结论联想到切割线定理 ,构造辅助圆使 EP、FQ 向 EF转化.证明：如图 7,作BCE 的外接圆交 EF 于 G,连结 CG.因FDCABCCGE,故 F、D、C 、G
24、四点共圆.由切割线定理,有EF2(EG GF)EFEGEFGFEFEC EDFCFBECEDFCFB EP 2FQ 2,即 EP 2FQ 2EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例 8 如图 8,ABC 与ABC的三边分别为 a、b、c 与 a、b、c,且B B,AA180.试证：aa bbcc . 分析：因BB,A A180,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明：作ABC 的外接圆,过 C 作 CDAB 交圆于 D,连结 AD 和 BD,如图 9 所示. AA180AD , BCDBB,AD,B BCD. ABCDCB. 有 , BAC即 . 故 DC ,DB .cab
25、 acb又 ABDC,可知 BDACb,BCAD a.从而,由托勒密定理,得 ADBCABDCACBD,即 a 2c b . 故 aabbcc.练 习 题1. 作一个辅助圆证明：ABC 中,若 AD 平分A,则 .CBD(提示：不妨设 ABAC,作ADC 的外接圆交 AB 于 E,证ABCDBE,从而 ACB .)DEBC2. 已知凸五边形 ABCDE 中,BAE3a,BC CDDE,BCDCDE1802a.求证：BACCADDAE.(提示：由已知证明BCEBDE1803a,从而 A、B、C、D、E 共圆,得BACCADDAE.)AOQPCBGFED(1)(2)图 8ABCABCcabacbA
26、BCDabc图 9- 8 -3. 在ABC 中 ABBC,ABC20,在 AB 边上取一点 M,使 BMAC.求AMC 的度数.(提示：以 BC 为边在ABC 外作正KBC,连结 KM,证 B、M 、C 共圆,从而BCM BKM10,得AMC30.)214如图 10,AC 是 ABCD 较长的对角线,过 C 作 CFAF ,CEAE.求证：ABAEADAFAC 2. (提示：分别以 BC 和 CD 为直径作圆交 AC 于点G、H.则 CGAH,由割线定理可证得结论.)5. 如图 11.已知O 1 和O 2 相交于 A、B,直线 CD 过 A 交O 1 和O 2 于 C、D,且 ACAD,EC、
27、ED 分别切两圆于 C、D.求证：AC 2ABAE.(提示：作BCD 的外接圆O 3,延长 BA 交O 3 于 F,证 E 在O 3 上,得ACEADF,从而 AEAF,由相交弦定理即得结论.)6已知 E 是ABC 的外接圆之劣弧 BC 的中点.求证：ABAC AE 2BE 2. (提示：以 BE 为半径作辅助圆E,交 AE 及其延长线于 N、M,由ANCABM 证ABACANAM .)7. 若正五边形 ABCDE 的边长为 a,对角线长为 b,试证： 1.ab(提示：证 b2a 2ab,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.) 第三讲 点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明
28、方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。1. 点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n4)点共线可转化为三点共线。例 1 如图，设线段 AB 的中点为 C，以 AC 和 CB 为对角线作平行四边形AECD，BFCG。又作平行四边形 CFHD，CGKE。求证：H，C， K 三点共线。证 连 AK，DG，HB。由题意，AD EC KG，知四边形 AKGD 是平行四边形，于是 AK DG。同样可证 AK HB。四边形 AHBK 是平行四边形，其对角线 AB，KH 互相平分。而 C 是 AB 中点，线段 KH 过 C点
29、，故 K，C，H 三点共线。例 2 如图所示，菱形 ABCD 中，A=120 ， O 为ABC 外接圆，M 为其上一点，连接 MC 交 AB 于 E，AM 交 CB 延长线于 F。求证：D，E ，F三点共线。FABEC图 10DABO12图OADCBABCDFHKG- 9 -证 如图，连 AC，DF，DE。因为 M 在 O 上，则AMC=60=ABC= ACB，有AMCACF，得 。CDFAM又因为AMC=BAC，所以AMCEAC，得 。AEDC所以 ，又BAD=BCD=120 ，知CFDADE。所以FADE= DFB 。因为 ADBC，所以ADF= DFB =ADE ，于是 F，E ，D三点
30、共线。例 3 四边形 ABCD 内接于圆，其边 AB 与 DC 的延长线交于点 P，AD 与 BC的延长线交于点 Q。由 Q 作该圆的两条切线 QE 和 QF，切点分别为E，F 。求证：P ，E ，F 三点共线。证 如图。连接 PQ，并在 PQ 上取一点 M，使得 B，C ，M ，P 四点共圆，连 CM，PF。设 PF 与圆的另一交点为 E，并作 QG 丄 PF，垂足为 G。易如 QE2=QMQP=QCQB PMC= ABC=PDQ。从而 C，D ，Q，M 四点共圆，于是PMPQ=PCPD 由，得 PMPQ+QMPQ=PCPD+QCQB，即 PQ2=QCQB+PCPD。易知 PDPC=PEPF
31、，又 QF2=QCQB，有PEPF+QF2=PDPC+QCAB=PQ2，即 PEPF=PQ2-QF2。又PQ2QF 2=PG2GF 2=(PG+GF)(PGGF)=PF(PGGF)，从而 PE=PGGF=PGGE，即 GF=GE，故 E与 E 重合。所以P，E，F 三点共线。例 4 以圆 O 外一点 P，引圆的两条切线 PA，PB，A ，B 为切点。割线 PCD 交圆 O 于 C，D。又由 B 作 CD 的平行线交圆 O 于 E。若 F 为 CD 中点，求证：A，F，E 三点共线。证 如图，连 AF，EF，OA ，OB，OP，BF，OF，延长 FC 交 BE 于 G。易如 OA 丄 AP，OB
32、 丄 BP，OF 丄 CP，所以 P，A ，F ，O ，B 五点共圆，有AFP = AOP=POB= PFB。又因 CDBE，所以有PFB= FBE，EFD= FEB，而 FOG 为 BE 的垂直平分线，故 EF=FB，FEB=EBF，CE()ABDFPMQGAPBDFCOEG- 10 -所以AFP =EFD，A，F，E 三点共线。2. 线共点的证明证明线共点可用有关定理(如三角形的 3 条高线交于一点)，或证明第 3 条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。例 5 以 ABC 的两边 AB，AC 向外作正方形 ABDE，ACFG。ABC 的高为AH。求证：AH ，BF
33、，CD 交于一点。证 如图。延长 HA 到 M，使 AM=BC。连 CM， BM。设 CM 与 BF 交于点 K。 在ACM 和BCF 中，AC=CF，AM= BC，MAC+HAC=180，HAC+HCA=90 ，并且BCF=90+HCA，因此BCF+HAC=180 MAC=BCF。从而MACBCF，ACM= CFB。所以MKF=KCF+ KFC= KCF+MCF=90，即 BF 丄 MC。同理 CD 丄 MB。AH ，BF，CD 为MBC 的 3 条高线，故 AH，BF，CD三线交于一点。例 6 设 P 为ABC 内一点， APB ACB=APCABC。又设 D，E 分别是APB 及 APC
34、 的内心。证明： AP，BD，CE 交于一点。证 如图，过 P 向三边作垂线，垂足分别为 R，S，T。连 RS，ST，RT ，设 BD 交 AP 于 M，CE 交 AP 于 N。易知 P，R，A ，S； P，T，B，R；P，S，C，T 分别四点共圆，则APBACB=PAC+PBC= PRS+PRT =SRT。同理，APCABC= RST ，由条件知SRT= RST，所以 RT=ST。又 RT=PBsinB，ST= PCsinC，所以 PBsinB=PCsinC，那么 。ACPB由角平分线定理知 。MN故 M，N 重合，即 AP，BD，CE 交于一点。例 7 O1 与 O2 外切于 P 点，QR
35、 为两圆的公切线，其中 Q，R 分别为O1， O2 上的切点，过 Q 且垂直于 QO2 的直线与过 R 且垂直于 RO1的直线交于点 I，IN 垂直于 O1O2，垂足为 N，IN 与 QR 交于点 M。证明：MEDBHCFKGAABCTRSMNDEP- 11 -PM，RO 1，QO 2 三条直线交于一点。证 如图，设 RO1 与 QO2 交于点 O， 连 MO，PO。因为O 1QM=O 1NM=90，所以 Q，O 1，N，M 四点共圆，有QMI= QO 1O2。 而IQO 2=90=RQO 1，所以IQM= O 2QO1，故QIM QO2O1，得 I1同理可证 。因此 MIR21221RQ因为
36、 QO1RO 2，所以有 211O由，得 MOQO 1。 又由于 O1P=O1Q，PO 2=RO2，所以 ，21PROQ即 OP RO2。从而 MO QO1RO 2OP，故 M，O，P 三点共线，所以PM，RO 1，QO 2 三条直线相交于同一点。3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用定理 1 (塞瓦(Ceva)定理 ):设 P，Q ，R 分别是ABC 的 BC，CA，AB 边上的点。若 AP，BQ，CR 相交于一点 M，则。1RBAQCP证 如图，由三角形面积的性质，有, , .BMCASRAMCBSAMBCS以上三式相乘，得 .1RQP定理 2 (定理 1 的逆定理): 设 P，Q ，R 分
37、别是ABC 的 BC，CA，AB 上的点。若 ，1RBAQCP则 AP，BQ，CR 交于一点。证 如图，设 AP 与 BQ 交于 M，连 CM，交 AB 于 R。O12NPIQRMABCPMQ- 12 -由定理 1 有 . 而 ，所以1BRAQCP1RBAQCP.于是 R与 R 重合，故 AP，BQ，CR 交于一点。定理 3 (梅涅劳斯(Menelaus)定理): 一条不经过ABC 任一顶点的直线和三角形三边 BC，CA ，AB(或它们的延长线) 分别交于 P，Q， R，则 1RBACQP证 如图，由三角形面积的性质，有 , , .BRPASCPRBSARPCSQ将以上三式相乘，得 .1QCP
38、B定理 4 (定理 3 的逆定理): 设 P，Q ，R 分别是ABC 的三边 BC，CA，AB 或它们延长线上的 3 点。若，1RBAQCP则 P，Q ，R 三点共线。定理 4 与定理 2 的证明方法类似。塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目中有着广泛的应用。例 8 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分BAD 。在 CD 上取一点E，BE 与 AC 相交于 F，延长 DF 交 BC 于 G。求证：GAC=EAC。证 如图，连接 BD 交 AC 于 H，过点 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I，过点 C 作 AD 的平行线交 AE的延长线于 J
39、。对BCD 用塞瓦定理，可得 1EDBC因为 AH 是BAD 的角平分线，由角平分线定理知 。AH代入式得 1CDGB因为 CIAB，CJ AD，则 ， 。BICJADEARQBCPHCADBGIJEF- 13 -代入式得 .1CJADBI从而 CI=CJ。又由于ACI =180BAC=180DAC=ACJ，所以ACIACJ ，故 IAC=JAC，即GAC=EAC.例 9 ABCD 是一个平行四边形，E 是 AB 上的一点，F 为 CD 上的一点。AF交 ED 于 G，EC 交 FB 于 H。连接线段 GH 并延长交 AD 于 L，交 BC于 M。求证：DL=BM .证 如图，设直线 LM 与
40、 BA 的延长线交于点 J，与 DC 的延长线交于点 I。在ECD 与FAB 中分别使用梅涅劳斯定理，得 ， .1ECID1JABHGF因为 ABCD，所以 ， .AG从而 ，即 ，故 CI=AJ. 而JABICDIJB，LADCM且 BM+MC=BC=AD=AL+LD. 所以 BM=DL。例 10 在直线 l 的一侧画一个半圆 T，C，D 是 T 上的两点，T 上过C 和 D 的切线分别交 l 于 B 和 A，半圆的圆心在线段 BA 上，E 是线段 AC 和 BD 的交点，F 是 l 上的点， EF 垂直 l。求证：EF 平分CFD。证 如图，设 AD 与 BC 相交于点 P，用 O 表示半
41、圆 T 的圆心。过 P 作 PH丄 l 于 H，连 OD，OC，OP。由题意知 RtOAD Rt PAH，于是有 .DHA类似地，RtOCBRtPHB， 则有 .CB由 CO=DO，有 ，从而 .BCAD1P由塞瓦定理的逆定理知三条直线 AC，BD，PH 相交于一点，即 E 在 PH 上，点 H 与 F 重合。因ODP =OCP=90，所以 O，D，C，P 四点共圆，直径为 OP. 又PFC =90，从而推得点 F 也在这个圆上，因此DFP=DOP =COP= CFP ，所以 EF 平分CFD。例 11 如图，四边形 ABCD 内接于圆，AB，DC 延长线交于E，AD 、 BC 延长线交于 F
42、，P 为圆上任意一点，PE，PF 分别GAEBJLDFCIMHDlABOF(H)ECPEBRCTAPSDF- 14 -交圆于 R，S. 若对角线 AC 与 BD 相交于 T. 求证：R，T，S 三点共线。先证两个引理。引理 1:A1B1C1D1E1F1 为圆内接六边形，若 A1D1，B 1E1，C 1F1 交于一点，则有.11如图，设 A1D1，B 1E1，C 1F1 交于点 O，根据圆内接多边形的性质易知 OA1B1 OE1D1，OB 1C1OF 1E1，OC 1D1OA 1F1，从而有 ， ， .DBA11BFC11OFDA11将上面三式相乘即得 ，11FEC引理 2：圆内接六边形 A1B
43、1C1D1E1F1，若满足 111AFEDCB则其三条对角线 A1D1，B 1E1，C 1F1 交于一点。该引理与定理 2 的证明方法类似，留给读者。例 11 之证明如图，连接 PD，AS，RC，BR，AP ， SD.由EBR EPA，FDSFPA，知 , .EPARFS两式相乘，得 . FDEPSR又由ECREPD ， FPDFAS，知 ， . 两式相CAD乘，得ACS由，得 . 故 . FDEBRA BSDRCCEF对EAD 应用梅涅劳斯定理，有 1EFB由，得 .1ASC由引理 2 知 BD，RS ，AC 交于一点，所以 R，T，S 三点共线。练 习BFAE1OCD111- 15 -A
44、组1. 由矩形 ABCD 的外接圆上任意一点 M 向它的两对边引垂线 MQ 和 MP，向另两边延长线引垂线 MR， MT。证明：PR 与 QT 垂直，且它们的交点在矩形的一条对角线上。2. 在ABC 的 BC 边上任取一点 P，作 PDAC ，PEAB，PD，PE 和以AB，AC 为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为 D，E。求证：D，A， E 三点共线。3. 一个圆和等腰三角形 ABC 的两腰相切，切点是 D，E，又和ABC 的外接圆相切于 F。求证：ABC 的内心 G 和 D，E 在一条直线上。4. 设四边形 ABCD 为等腰梯形，把 ABC 绕点 C 旋转某一角度变成ABC。证明：
45、线段 AD, BC 和 BC 的中点在一条直线上。5. 四边形 ABCD 内接于圆 O，对角线 AC 与 BD 相交于 P。设三角形ABP， BCP，CDP 和 DAP 的外接圆圆心分别是 O1，O 2，O 3，O 4。求证：OP，O 1O3，O 2O4 三直线交于一点。6. 求证：过圆内接四边形各边的中点向对边所作的 4 条垂线交于一点。7. ABC 为锐角三角形，AH 为 BC 边上的高，以 AH 为直径的圆分别交AB，AC 于 M，N ；M ，N 与 A 不同。过 A 作直线 lA 垂直于 MN。类似地作出直线 lB 与 lC。证明：直线 lA，l B，l C 共点。8. 以ABC 的边 BC，CA，AB 向外作正方形，A 1，B 1，C 1 是正方形的边BC，CA，AB 的对边的中点。求证：直线 AA1，BB 1，CC 1 相交于一点。9. 过ABC 的三边中点 D，E，F 向内切圆引切线，设所引的切线分别与EF，FD，DE 交于 I，L ， M。求证：I，L ，M 在一条直线上。B 组10. 设 A1，B 1，C 1 是直线 l1 上的任
