1、高中数学竞赛辅导讲座数列（二）【基础知识】1、概念：、递归式：一个数列 an中的第 n 项 an与它前面若干项 an-1,an-2an-k， （ kb,sin= (其中 0b0,02)因此，将 sin 及 n 换成 n-1,n-2 后,将三个式子代入2)ba(A上式,整理，得 )2n(A)ba(21nn 由 a,b ,用 数学归纳法证明 均是整数.*N2(1) 由题设,计算得 A1=2ab,A2=2ab2（a 2-b2）.于是当 n=1，2 时，结论成立；(2) 假设当 n2 ）时，结论成立，则 Ak-2，A k-1皆为 2ab 的整数倍。于是，由递推式知 Ak亦是 2ab 的整数倍。故当 n
2、=k 时，结论亦成立.所以对一切正整数 n， 均是整数。2ab8、 （1）证明： ; 3!n2.!372)!1n(3（2） 求证整数 a, b， c，使得对任意 （ n2） ，有*Nb!na.!3a2)!n( 33 解：（1）设 an= ，则!2.!7)!1n(-12n变形为 ，故 是常数列!a)!(3an1n !n2a，！由 于 02 n所 以，从而原不等式得证.)!1(! n易 证（2） !.!333 naa)!1.!21(!.!3n通过不完全归纳计算：当 a=5，b=9 时，有9!5.!35233 n,!5.!329 1 33 nbn ） ， 设仿 （!5 2n可 得,0nb9!5.!3
3、5233 n再寻找 cNcn 中 的)2*,()!)!2(!532)1(532nn当 n=3 时， 46c取 c=4，则 )!2(nb)1(4532n032073 恒 成 立对 )!2(4,nb故 a=5,b=9,c=4 满足所求. 9、 设 A， E 为正八边形的相对顶点，顶点 A 处有一只青蛙，除顶点 E外青蛙可以从八边形的任一顶点跳到两相邻顶点中任一个，落到顶点 E 时青蛙就停止跳动，设青蛙从顶点 A 恰好跳 n 次后到 E的方法数为 an，求 an解：显然 a4=2,a1=a2=a3=0，且任何奇数次跳不到 E，a2m-1=0(mN*)又从 A 跳到 2 次可到 C 和 G，设从点 C
4、 处跳 n 步到 E 的跳法为bn，则 b2=1.从而，b n=an-2+2bn-2 （表示点 C 到 A，或由 C 到 B 或 D 后再回到 C）或 an=2bn-2+2an-2 （表示点 A 到点 C 或 G，或者点 A 到 H 或 B 再回到 A）由 -,化简,得bn-2=an-2-an-4从而 an=4an-2-an-4 4,0,2, 211ccc amm则时 ， 另当由特征方程 x2-4x+2=0 得特征根为 mmmBAc)2()2( 故 )2(1,)2(14,0得由112 )(mmmca故10、 为 这 些 排 列 的 数 目 ，的 任 意 一 排 列 ， 设，表 示 整 数 .1
5、,.21 nfnan使得：（1）a 1=1（2）|a i-ai+1|2（i=1,2,n-1 ）.确定 f (1996)是否能被 3 整除解：易得 发 f（1）=f(2)=1,f(3)=2当 n4 时，有 a1=1,a2=2 或 3（）当 a2=2 作如下处理：删除 a1，另 b1=a2-1,b2=a3-1,bn-1=an-1.得符合条件的排列 b1,b2,bn其数目为 f(n-1) （）当 a2=3 时，对于 a3分两种情况：设 a3=2 ，则有 a4=4 。同（）处理得符合条件的排列4数列为 f(n-3) 设 a32 则 2 一定在 4 后面，由此得出，所有奇数顺序排列的后面是所有偶数倒序排列，即 13578642，只有一个因此， 1)3()1()nffnf对于 n1，设 r(n)是 f(n)除以 3 所得的余数，则有1)2()4(1)4()6(578 ).3(mod,23, nrnrr 于 是 ， )2()4(23522 nrr)3(mod )()(1)(1(4nr nrnr 所以 r(1996)=r(4+2498)=r(4),而 ),3(mod121)()4( 故 f(1996)不能被 3 整除。
