1、全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读阅 读 时 必 须 考 虑 的 几 个 问 题 ：1 步 步 皆 要 考 虑 “ 知 其 然 之 其 所 以 然 ” 。2.解 此 题 的 关 键 步 骤 是 什 么 ？ 如 何 想 到 ， 是 否 应 该 想 到 这 样 的 方 法 、 这 样 的 思 路 ？3.画 图 线 条 的 如 何 取 舍 ？4.本 题 有 什 么 特 点 ？ 解 法 是 否 接 触 过 ？5.分 析 思 考 各 类 定 理 的 运 用 时 机 ， 运 用 条 件 。注 意 ： 思 考 过 久 （ 不 超 过 15 分 钟 为 宜 ） 不 知 其 然 ， 思 考 过 久 （ 不
2、超 过 10 分 钟 为 宜 ） 不 知 所 以 然 ， 跳 过 ！ 强 调一 下 ， 不 超 过 不 是 指 一 题 不 超 过 15 分 钟 ， 是 指 从 某 一 步 推 到 另 一 步 不 超 过 的 时 间 。例 1（ 美 国 37 届 ） 设 M、 N、 P 分 别 是 非 等 腰 锐 角 ABC 的 边 BC、 CA、 AB 的 中 点 ， AB、 AC 的 中 垂 线 分 别与 AM 交 于 点 D、 E， 直 线 BD、 CE 交 于 点 F， 且 点 在 的 内 部 。 证 明 ： 、 、 、 四 点 共 圆 。证 明 ： 如 图 1， 设 的 外 心 为 。 则 900。
3、 于 是 、 、 在 以 为 直 径 的 圆 上 。因 此 ， 只 要 证 明 900。 不 妨 设 。 由 是 的 中 垂 线 知 ， 。 同 理 ， 。 设 ， CAE ACE 。 则 BAC 。 在 和 中 ， 由正 弦 定 理 得 sin sinBM ABBMA ，sin sinCM ACCMA 。 由 于 sin BMA=sin CMA， 因 此sinsinBM ABCM AC 。 又 因 为 ， 所 以 ， sinsin ACAB 。如 图 2， 在 和 中 ， 由 正 弦 定 理 得,sin sin sin sinAF AB AF ACAFB AFC 。于 是 ， sin sin
4、sin sinAC AFBAB AFC 。 从 而 ，sin sinAFB AFC 。因 为 2 , 2ADF DEC ， 所 以180 2 2 180 2EFD BAC 。因 此 ， 2 。 于 是 ， 、 、 、 四 点 共 圆 。又 + 3600 2 1800， 则 1800- ， 且 900 。 故 （ 1800- ） -（ 900 ） 900。阅 读 提 示 ： 1） 注 意 思 路 分 析 ， 思 考 步 步 的 因 果 关 系 及 正 弦 定 理 的 运 用 时 机 ， 2） 注 意 画 图 ， 思 考 作 图 关 键 点 ，训 练 画 圆 。例 2（ 07-08 匈 牙 利 ）
5、 已 知 凸 六 边 形 1 2 3 4 5 6AA A A A A 所有 的 角 都 是 钝 角 ， 圆 (1 6)i i 的 圆 心 为 iA ， 且 圆 i 分 别与 圆 1i 和 圆 1i 相 外 切 ， 其 中 ，0 6 1 7, 。 设 过 圆 1 的 两 个 切 点 所 连 直 线 与 过 圆图 1NMPOFED CBAAB CDEFOPMN图 2B1B2B3 B4B5B6A6A5A4A3A2A1RQP3 的 两 个 切 点 所 连 直 线 相 交 ， 且 过 这 个 交 点 与 点 2A 的 直 线 为 e； 类 似 地 由 圆 3 、 圆 5 和 4A 定 义 直 线 f ，
6、 由圆 5 、 圆 1 和 6A 定 义 直 线 g。证 明 ： 记 这 六 个 切 点 分 别 为 1 2B B B B B B3 4 5 6、 、 、 、 、 （ 如 图 ） 。设 1 2 3 4 5 6BB B B B B、 、 两 两 交 于 点 P Q R、 、 。 联 结 1 6 4 5 2 3BB B B B B、 、 。由 角 元 塞 瓦 定 理 得 1 6 6 6 6 1 66 6 6 6 1 6 1sin sin sin 1sin sin sinBPA PB A B B AA PB A B B A BP 。 （ 1）又 6 6 6 1A B A B ， 则 6 6 1 6
7、1 6A B B A BB 。 故 式 （ 1） 为 1 6 6 66 6 6 1sin sin 1sin sinBPA PB AA PB A BP 。完 全 类 似 地 得 5 4 4 44 4 4 5sin sin 1sin sinB RA RB AA RB A B R ， 3 2 2 22 2 2 3sin sin 1sin sinB QA QB AAQB A B Q 。以 上 三 式 相 乘 并 由 6 6 5 6 5 5 5 6 5 4PB A A B B A B B RB A ，4 4 3 4 3 3 3 4 3 2RB A A B B A B B QB A ，2 2 1 2 1
8、1 1 2 1 6QB A AB B ABB PB A ，得 1 6 5 4 3 26 6 4 4 2 2sin sin sin 1sin sin sinBPA B RA B QAA PB A RB AQB 。 由 角 元 塞 瓦 定 理 的 逆 定 理 知 ， 6PA 、 2QA 、 4RA 三 线 共 点 ， 即, ,e f g 三 线 共 点 。阅 读 提 示 ： 1） 塞 瓦 定 理 是 证 明 三 线 共 点 的 有 效 工 具 ， 注 意 角 元 形 式 的 应 用 ， 2） 注 意 本 题 作 图 的 特 点 并 没 有 把圆 画 出 ， 以 后 作 图 注 意 线 条 的 取
9、舍 ， 没 必 要 的 线 条 会 干 扰 思 维 。例 3（ 08 罗 马 尼 亚 第 一 天 ） 设 六 边 形 是 所 有 边 的 长 度 均 为 1 的 凸 六 边 形 。 证 明 ： 和 的 外 接 圆 半 径 中 至 少 存 在 一 个 不 小 于 1。证 明 ： 假 设 、 的 外 接 圆 半 径 均 小 于 1。 如 图 ， 设 的 外 心 为 。 则 ， ， 。若 是 非 钝 角 三 角 形 ， 则 点 在 内 部 或 边 界 上 。 于 是 + + 。 若 是 钝 角 三 角 形 ， 则 点 在 的 外 部 。 于 是 + + BCD。由 上 面 的 讨 论 可 知 ， 一
10、 定 有 BEF DCF， DEF BCF， 且 点 F 在 BD 上 。故 EFC+ EAC ABF+ ACF+ FBC+ FCB+ EAC ABC+ ACB+ BAC 1800， 即 A、 C、 E、 F四 点 共 圆 。例 5（ 08 美 国 国 家 队 选 拔 ） 设 G 是 ABC的 重 心 ， P 是 线 段 BC 上 的 动 点 ， Q、 R 分 别 是 边 AC、 AB 上 的 点 ， 使 得PQ AB， PR AC。 证 明 ： 当 点 P 在 线 段 BC 上 变 动 时 ， AQR的 外 接 圆 经 过 一 个 定 点 X， 且 点 X 满 足 BAG CAX。证 明 ：
11、 如 图 ， 设 X 是 AQR的 外 接 圆 与 BAC内 作 BAX CAG的 一 边 AX 的 交 点 。下 面 证 明 ： X是 定 点 。 只 需 证 明 AX 是 定 长 。由 托 勒 密 定 理 得 AX RQ AR XQ+AQ XR。取 正 弦 得 AXsin BAC=ARsin XAQ+AQsin XAR.故 AXsin BAC=ARsinBAG+AQsin CAG.由 PR AC,AR PQ， 得 AR=PQ， AQ=PR。 记 BPBC 。 则 CPBC 1- 。 因 此 ，PQAB 1- ， PRAC 。 故 AXsin BAC=PQsin BAG+PRsin CAG=
12、(1- )ABsin BAG+ ACsin CAG=ABsin BAG+ (ACsin CAG-ABsin BAG).由 G 是 重 心 知 ACsinGAC=ABsin GAB.因 此 ， AXsin BAC=ABsin GAB.故 AX ABsinsin GABBAC （ 定 长 ） 。例 6（ 08 印 度 国 家 队 选 拔 ） 设 ABC 是非 等 腰 三 角 形 ， 其 内 切 圆 为 T， 圆 T 与三 边 BC、 CA、 AB分 别 切 于 点 D、 E、 F。若 FD、 DE、 EF分 别 与 AC、 AB、 BC 交 于点 U、 V、 W， DW、 EU、 FV的 中 点
13、分 别 为L、 M、 N， 证 明 ： L、 M、 N三 点 共 线 。证 明 ： 如 图 ， 设 DF、 FE、 ED 的 中 点 分别 为 P、 Q、 R。 则 PQ DE， 且 直 线 PQ过 点 N； RQ DF， 且 直 线 RQ 过 点 M； PR EF， 且 直 线 PR过 点 L。因 为 AE AF， 所 以 ， AQ 是 CAB 的 角平 分 线 。同 理 ， BP、 CR分 别 是 ABC、 BCA 的 角 平 分 线 ， 且 AQ、 BP、 CR交 于 ABC的 内 心 I。在 ABC和 QPR 中 应 用 笛 沙 格 定 理 得 ， 其 对 应 边 PR 与 BC、 R
14、Q 与 CA、 QP与 AB的 交 点 L、 M、 N 三 点 共 线 。阅 读 提 示 ： 1） 对 于 笛 沙 格 定 理 ， 我 们 相 对 比 较 陌 生 ， 这 就 要 求 我 们 在 考 前 对 不 熟 悉 定 理 的 回 顾 （ 只 有 一 点 印 象是 不 够 的 ） 。 2） 对 于 比 较 复 杂 的 图 形 我 们 又 应 该 采 取 怎 么 处 理 ？ 如 何 理 清 图 中 的 线 条 ？ 笛 沙 格 定 理 的 运 用 时 机是 什 么 ？ 运 用 该 定 理 的 关 键 点 是 什 么 ， 如 何 创 造 定 理 使 用 的 条 件 ？GXPRQCBALNMVUW P RQF EDCBA
