高等数学103

1、Chapter 1 Functions and Limits,1.5 Infinitesimal and Infinite Limit,I. Infinitesimal,1. Definition,I. Infinitesimal,2. The relationship between the infinitesimal and the limit,Th:,II. Infinite Limit,1. Definition,2.Geometric interpretation,y,a,x,o,II. Infinite Limit,1. Definition,2.Geometric interpretation,II. Infinite Limit,3. Relation between the two definitions,Th:,4. Relation to Asymptotes,II. Infinite Limit,II. Infinite Limit,Example 1,Find the vertical and horizontal as。

2、Chapter 1 Functions and Limits,1.8 Comparison of Infinitesimals,I. Example,II. Definition,Assume that,II. Definition,For instance,is a third order infinitesimal of,III. Theorem,III. Theorem,Th2,Example： Find the following limits.,Example： Find the following limits.,Exercises,。

3、Advanced Mathematics,Wan Yuan School of Science, WHUT My mailbox: wanwanyuansina.com My phone: 13971622102 Class mailbox: 2010gjjysina.com,Some rules for our class,Please take notes Please turn off your cell-phones If you are late, just come in and join us Ask questions as soon as possible Do homework by yourself Hand up your homework in time,Introduction,Advanced mathematics is a primary course for collage student.,In this class, we will introduce some basic concepts and some useful tools of 。

4、Chapter 1 Functions and Limits,1.4 The Limits of Sequences,I. Infinite Sequence,is an ordered arrangement of real numbers.,Formal Definition Infinite sequence is a function whose domain is the set of positive integers and whose range is a set of real numbers.,For instance:,Q: Do they converge to 1?,I. Infinite Sequence,Relationship with the two limits,?,II. Limit of Infinite Sequence,II. Limit of Infinite Sequence,Def: The sequence is said to converge to L, and we write if for each give。

5、一、问题的提出,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内这个 称为所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式为,二、曲面的面积,设曲面的方程为：,如图，,曲面S的面积元素,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,解,解方程组,得两曲面的交线为圆周,在 。

6、Chapter 1 Functions and Limits,1.2 Functions,I. Functions,1. Definition,A function f is a rule of correspondence that associates with each object x in one set and a single value y from a second set.,Domain Range independent variable dependent variable,f,Q: how to find the domain of a function?,Q: how to discriminate two functions are the same?,Find the circumference of a polygon with n equal sides that is inscribed to a circle with radius r.,I. Functions,1. Definition,2. Special Function。

7、Chapter 1 Functions and Limits,1.6 Limit Theorems,Theorem 1,The sum of finite infinitesimals is also an infinitesimal.,Theorem 2,The product of an infinitesimal and a bounded function is also an infinitesimal.,For instance,1.The product of an infinitesimal and a constant is also an infinitesimal.,Corollary 1,2.The product of finite infinitesimals is also an infinitesimal.,Theorem 3,Corollary 2,Example 1,Example 2,Theorem 5 Composite Limit Theorem,For instance,Exercises,。

8、数 学 家 启 示 录（一） 1. 数学之神阿基米德 阿基米德是古希腊大数学家、大物理学家，公元前287年生于西西里岛的叙拉古，公元前212年被罗马入侵者杀害。 （1）阿基米德的主要成就是在纯几何方面； （2）阿基米德是一位运用科学知识抗击敌人入侵的爱国主义者。,2. 我国古代伟大数学家祖冲之 祖冲之（429500），我国南北朝时期的伟大科学家、数学家，生于刘宋文帝元嘉六年，卒于南齐东昏侯永元二年，他天资聪明，勤奋好学。（1）在天文、历法方面，祖冲之制定了“大明历”； （2）在数学方面，祖冲之求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间。

9、,规定：,一、弧微分,基点：,单调增函数,如图，,弧微分公式,二、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量,),),弧段弯曲程度 越大转角越大,转角相同弧段越 短弯曲程度越大,1、曲率的定义,),),（,设曲线C是光滑的，,（,定义,曲线C在点M处的曲率,2、曲率的计算公式,例1,解,显然,实际要求,三、曲率圆与曲率半径,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,.,解,如图,受力分析,。

10、,那么,一、罗尔定理,保号性，便得到,通常称导数等于零的点为函数的驻点（或 稳定点，临界点）。,罗尔定理 如果函数,满足,证 由于f(x)在闭区间a,b上连续，根据 闭区间上连续函数的最大值最小值定理,f(x)在,闭区间a,b上必定取得它的最大值M和最小值m。这样，只有两种可能情形：,（2）Mm.因为f(a)=f(b)，所以M和m这两个 数中至少有一个不等于f(x)在区间a,b的端点处,的数值。为确定起见，不妨设M f(a)（如 果设m f(a)，证法完全类似），那么必定在 开区间(a,b)内有一点 使f( )=M.因此，,有,几何解释:,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足。

11、,第七节,一、 弧微分,二、 曲率及其计算公式,三、 曲率圆与曲率半径,曲率,第三章,一、 弧微分,设,在(a , b)内有连续导数,弧长微分公式为,则弧长微分公式为,若曲线由参数方程表示:,二、曲率及其计算公式,曲线的弯曲程度,光滑曲线,在光滑曲线弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !,转角为,。

12、高 等 数 学,8.3 曲面及其方程,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,一、曲面方程的概念,以下给出几例常见的曲面.,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,解,根据题意有,所求方程为,根据题意有,化简得所求方程,解,例4 方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,二、。

13、6.3.1 求变力作功举例,6.3 定积分在物理上的应用,解,功元素,所求功为,如果要考虑将单位电荷移到无穷远处,解： 建立坐标系,第一次锤击时所作的功为,例2. 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？,设 次击入的总深度为 厘米,次锤击所作的总功为,依题意知，每次锤击所作的功相等,次击入的总深度为,第 次击入的深度为,解,建立坐标系如图,这一薄层水的重力为,功元素为,(千焦),6.3.2 求水压力举例,解,在端面建立坐标。

14、第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式 (第三节),微分中值定理,与导数的应用,一、罗尔( Rolle )定理,第一节,二、拉格朗日( Lagrange )中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,费马(fermat)引理,一、罗尔( Rolle )定理,且,存在,证: 设,则,费马,证毕,驻点,罗尔（ Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,二、拉格朗日中值定理,(1) 在区间 a , b 上连续,满足:,(2) 在区间 ( a , b ) 。

15、第十章,一、问题的提出,1. 计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,二、级数的概念,1. 级数的定义:,(常数项)无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,2. 级数的收敛与发散:,余项,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,播放,周长为,面积为,第 次分叉：,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,雪。

16、,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,一、全微分的定义,全增量的概念,全微分的定义,事实上,二、可微的条件,证,总成立,同理可得,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,例如，,则,当 时，,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，,证,（依偏导数的连续性）,同理,习惯上，记全微分为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,解,所求全微分,解,解,所求全微分,。

17、- 1 -,第七节 斯托克斯公式与旋度,斯托克斯公式二 环量与旋度,- 2 -,一 斯托克斯公式,定理 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数, 的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,则有,- 3 -,则,(利用格林公式),证:,情形1 与平行 z 轴的直线只,交于一点,设其方程为,为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).,- 4 -,因此,同理可证,三式相加, 即得斯托克斯公式 ;,- 5 -,情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,则可,通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后。

18、,在工程问题中，常常需要根据两个变量的几组实验数值实验数据，来找出这两个变量的函数关系的近似表达式通常把这样得到的函数的近似表达式叫做经验公式.,一、经验公式,问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？,二、最小二乘法,例1,为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一次刀具的厚度,得到一组试验数据如下：,如图，在坐标纸上画出 这些点，,因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的 ，使得 在 处的函数值与实验数据 相差都很小,解,就是要使偏差,都很小.,因此可以考虑选取常数 。

19、Chapter 1 Functions and Limits,1.3 The Limits of Functions,I. Intuitive Meaning of Limit,II. Rigorous Definition of Limit,III. One-sided limits,IV. The limit at Infinity,V. Properties of the Limit,Introduction of this section,Consider the function:,Q: What is happening to f (x) as x approaches 1 ?,I. Intuitive Meaning of Limit,Consider the function:,Q: What is happening to f (x) as x approaches 1 ?,I. Intuitive Meaning of Limit,f (x) approaches 4 as x approaches 1.,In mathematical symbols,。

20、- 1 -,第三节 格林公式及其应用, 格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件,- 2 -,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分,都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区,域.,单连通区域,复连通区域,区域D的正向边界：,内边界顺时针 , 外边界逆时针,一、格林(Green)公式,- 3 -,定理1. 设闭区域 D 由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有一阶连续偏导数,证明:,1) 若D 既是 Y - 型区域 ,又是X型区域,则,- 4 -,所以,同理可证，,- 5 -,2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的。