1、,那么,一、罗尔定理,保号性，便得到,通常称导数等于零的点为函数的驻点（或 稳定点，临界点）。,罗尔定理 如果函数,满足,证 由于f(x)在闭区间a,b上连续，根据 闭区间上连续函数的最大值最小值定理,f(x)在,闭区间a,b上必定取得它的最大值M和最小值m。这样，只有两种可能情形：,（2）Mm.因为f(a)=f(b)，所以M和m这两个 数中至少有一个不等于f(x)在区间a,b的端点处,的数值。为确定起见，不妨设M f(a)（如 果设m f(a)，证法完全类似），那么必定在 开区间(a,b)内有一点 使f( )=M.因此，,有,几何解释:,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不
2、成立.,例如,又例如,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,二、 拉格朗日中值定理,拉格朗日中值定理 如果函数f(x)满足(1) 在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a,b)内可导， 那么在(a,b)内至少有一点,使等式,成立,（1）,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,证 作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,定理,（读者自证）,例2,证,例3,证,由上式得,三、柯西中值定理,如果函数f(x)及F(x)满足,（1）在闭区间a,b上连续；,（2）在开区间(a,b)内可导；,（3）对任一,那么在(a,b)内至少有一点,使等式,（4）成立.,几何解释:,证,作辅助函数,这样就变成了拉格朗日中值公式了.,例4,证,分析:,结论可变形为,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,四、小结,思考题,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,思考题解答,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,以上两个都可说明问题.,
