1、,第七节,一、 弧微分,二、 曲率及其计算公式,三、 曲率圆与曲率半径,曲率,第三章,一、 弧微分,设,在(a , b)内有连续导数,弧长微分公式为,则弧长微分公式为,若曲线由参数方程表示:,二、曲率及其计算公式,曲线的弯曲程度,光滑曲线,在光滑曲线弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !,转角为,光滑曲线,当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的,移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线.,说明：若,具有二阶导数，即,可导，,必连续，从而曲线是光滑的.,则,例. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .,解:
2、 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;,R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,三、 曲率圆与曲率半径,设 M 为曲线 C 上任一点 ,在点,在曲线,把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的,曲率圆,( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1) 有公切线;,(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使,例. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨,削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?,分析：为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的,那部分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于椭圆线上,各点处曲率半径中的最小值，即是求椭圆线上各点处,曲率的最大值.,内容小结,1. 弧长微分,2. 曲率公式,3. 曲率圆,曲率半径,
