定积分复习

1、,第五章 定积分,1. 求曲边梯形的面积,曲边梯形是指由连续曲线,和直线,所组成的平面图形。,显然曲边梯形的面积无法用初等几何的方法解决，但这一问题可以用极限的方法来求解。,一、定积分概念的引入,定积分的概念,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,根据上述分析求曲边梯形面积步骤如下：,（1）分割：在区间a,b中插入n-1个分点,把a,b分成n个小区间,其长度为,过各个分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积为?,（2）近似：用小矩形的面积近似代。

2、(定积分的应用),第二节 定积分在几何学上的应用,一. 平面图形的面积,1 直角坐标情形,(1)当f(x)0时,以f(x)为曲边的曲边梯形面积,(2)结合考虑f(x)0的情形,则有,(3)若在区间a,b上,f(x)变号,我们有,(4)若在区间a,b上,平面图形由y=f1(x) f2(x),及x=a, x=b,围成的,则,(5)对于任意曲线所围成的图形,可用直线将它们分割几个部分,再用上述的方法计算.,例1 抛物线y2=2x将圆y2=4x-x2分割成三部分,求每一部分的面积。,x,y,dx,A1,A2,A3,y2=2x,解法2,例2计算抛物线y+1=x2,与直线y=x+1所围区域的面积.,x,y,y1=x2-1,y2=1+x,2,3,-1,分析: 先求两条线段的交。

3、,第六章 定积分,中山大学南方学院,一、问题的提出,二、定积分的定义,三、存在定理,四、几何意义,五、定积分的性质,五、小结,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当。

4、定积分的计算,N-L公式(微积分基本定理) 设f(x)在a,b上连续,且F(x)是f(x)的一个原函数,则说明:此公式不仅揭示了微分与积分的联系,同时指出了求定积分的方法:(1)求f(x)的原函数;(2)求原函数值差. 定积分的性质：,例1.求下列定积分解:,（一）直接积分法,例2.求下列定积分解:,（一）凑微分法,（二）定积分的换元积分法,定理,例3.求下列定积分 解:说明: 换积分上下限.通过u=2x+1来计算.当x=0时,u=1;当x=2时,u=5. 所以注意: 定积分的换元法一定要换积分的上下限.,解:,解:说明:因换元积分法比较麻烦,建议尽可能使用“凑微分”,例4,证 1） n=0时，。

5、定积分背景 面积和路程问题 我们学过正方形 长方形 三角形和梯形等平面 直边图形 的面积 物理中 我们知道匀速直线运动的时间 速度与路程的关系等等 在数学和物理中 我们还经常会遇到计算平面曲线所围成的平面 曲边图形 的面积 变速直线运到物体。

6、,问题1: 曲边梯形的面积,问题2: 变速直线运动的路程,存在定理,广义积分,定积分,定积分 的性质,定积分的 计算法,牛顿-莱布尼茨公式,一、主要内容,1、问题的提出,实例1 （求曲边梯形的面积A）,实例2 （求变速直线运动的路程）,方法:分割、求和、取极限.,2、定积分的定义,定义,记为,可积的两个充分条件：,定理1,定理2,3、存在定理,4、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7 (定积分中值定理),性质6,积分中值公式,5、牛顿莱布尼茨公式,定理1,定理2（原函数存在定理）,定理 3（微积分基本公式）,也可写成,牛顿。

7、定积分与微积分基本定理,檬露魁虏脾旬早狈花咏回忘趟因询倔陛秒咒擎箩撮音合蝉淫粱滨绦涅蒂厩18定积分18定积分,墅锤焊赫卯奄蔓稠该续磺羚茸程皋闰姐歹晓疙冉禄率伶楞烷仙锤穆舍鹅绢18定积分18定积分,批洪页贝叠箭织话读蚕燥初邱咳疽暑周托掇哟擞入喘幻参彭婉糟颐服汹亿18定积分18定积分,轿本离淄吗心讣纤脾掘帮唱亭伸悯喀恕淋待蘸茫爵币米清领糊刃励悄恫罢18定积分18定积分,络檀询阶博奎虏渤匹哥仑锈岿副恐辰办粱鸦蜕筐捅容倍悠鞋只瞅帧絮毡废18定积分18定积分,专诌烷竞缄聚臆崇轧箕吸藉讨筋吗拇矢费寺锚霸胁酝翱鸳佐页廷畏植猎刑18定积分。

8、定积分,2018年9月18日星期二,问题情境: 1.曲边梯形面积问题;2.变力作功问题;3.变速运动的距离问题.,我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义,它们都归结为:分割、近似求和、取逼近,定积分的定义:,一般地,设函数f(x)在区间a,b上有定义,将区间a,b等分成n个小区间,每个小区的长度为 ,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,.xi,.xn,作和如果 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称常数S为函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作: .,积分下限,积分上限,曲线 y = f (x) 0，直。

9、不定积分与定积分 复习提纲主要知识点：不定积分和定积分1. 不定积分相关概念2. 不定积分的计算3. 定积分的相关概念4. 定积分的计算及其应用一 不定积分相关概念1. 原函数导函数：函数 ，则称 为函数 的导函数。yfxfxfx原函数：函。

10、1定积分与微积分基本定理复习讲义河南省卢氏县第一高级中学 山永峰备考方向要明了考 什 么 怎 么 考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题2.考查简单定积分的求解3.考查曲边梯形面积的求解4.与几何概型相结合考查归纳知识整合1定积分(1)定积分的相关概念：在 f(x)dx 中， a， b 分别叫做积分下限与积分上限，区间 a， b叫 ba做积分区间， f(x)叫做被积函数， x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式(2)定积分的几何意义当函数 f(x)在区间 a， b上恒为正时。

11、1,定积分复习题,一、13，二7、三 2、五、7,2,二、7,3,三、2,4,五、7,5,题空题,一、2，3，6，8，12，18,6,一、3,7,一、6,8,一、8,9,一、12,10,一、18,11,选择题,二、2，4，8,12,二、4,13,二、8,。

12、浅议定积分的应用,高二数学组,导数解决的问题,(1)应用导数求曲线的切线,()解决应用问题,()运用导数的知识研究函数图象的交点问题,(2)以图象为载体考查函数的单调性,(3)应用导数求函数的单调区间,应用导数解决不等式问题、方程根问题、数列问题 ,(4)应用导数求函数的最值及确定变量的取值范围,(7)导数的逆运算即定积分的应用,一、定积分的计算,1、定积分的求法,微积分基本定理，又叫牛顿-莱布尼茨公式,2 简化计算,一些常见的积分公式,例1,教材P47（11）,(2)定积分计算:,求函数，区间0，3上的积分,解：由定积分的性质知：,(3) (2007枣庄模拟。

13、第五章 定积分,第一节 定积分的概念与性质,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,二、定积分的定义,定义,记为,积分上。

14、主要内容,第五章 定积分及其应用,复习课,问题1:曲边梯形的面积,问题2:变速直线运动的路程,存在定理,广义积分,定积分,定积分的性质,定积分的计算法,牛顿-莱布尼茨公式,一、主要内容,1、问题的提出,实例1 （求曲边梯形的面积A）,实例2 （求变速直线运动的路程）,方法: 分割、近似、求和、取极限.,2、定积分的定义,定义,记为,可积的两个充分条件：,定理1,定理2,3、存在定理,4、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7 (定积分中值定理),性质6,积分中值公式,5、牛顿莱布尼茨公式,定理1,定理2（原函数存在定理）。

15、第13课时定积分与微积分基本定理,2016高考导航,基础梳理,某个常数,函数f(x),x,思考探究,提示：相等定积分的大小仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量无关,F(b)F(a),【规律小结】求简单定积分的步骤：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值,【答案】A,【规律小结】求由不同曲线围成的图形的面积时，若被积函数的原函数难以找到，但被。

16、1East China University of Science And Technology思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便?xxxd1)1(25+xex1d)2(+ )2(d)3(7xxx令21 xt +=令xet += 1令xt1=East China University of Science And Technology1.设,0)1(,)(1= fCtf ,lnd)(31xttfx=).(ef求解法1=31d)(lnxttfx)1()(3fxf = )(3xf=,3xu =令3ln)( uuf =得uln31=31)( =ef解法2对已知等式两边求导,xxfx132)(3 =,3xu =令uuf31)( =得)1(d)()(1fuufefe+=euu1131d31=思考:若改题为xttfxlnd)(313=?)( =ef提示: 两边求导, 得331)(xxf =exxfef1d)()(得East China University of Scienc。

17、导数与定积分 （复习课）,导 数,一、导数计算,二、与切线有关的问题,曲线在某点的切线方程,（用切点横坐标表示）,三、单调性与单调区间问题,1、求函数单调区间（注意：也可用表格法格式）,2、已知函数单调性求参数范围（最后要检验边界值）,四、极值问题,（4）结论,(3) 表格法（区间分点由0导数点和不可导点构成）,(1) 求导函数f (x)及定义域；,(2) 求解方程f (x)=0；,1、求已知函数的极值,2、已知极值或极值点求参数（最后要检验）,1、利用导数求闭区间 函数的最值,五、最值问题,2、已知最值求参数范围,积 分,1、求定积分,2、几何意义，。

18、定积分复习课,1定积分的定义(1)如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb.将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)作和式(2)当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做 函数f(x)在区间a，b 上的定积分，记作 .,梳理知识,2、定积分的运算性质 k = k . = . =,3. 的几何意义（1）当f(x)在区间a,b上大于0时， 表示 由 ，这也是定积分的几何意义. 当f(x)在区间a,b上小于0时， 表示 . (2)当f(x)在区间。

19、第五章 定积分,积分学,不定积分,定积分,第一节 定积分的概念及性质,一. 引例,二. 定积分的定义,三. 定积分的性质,一.引例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,及,轴 , 以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,步骤 :,1) 分割.,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 近似代替(常代变).,在第,个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3) 近似和.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,二. 定积分定义,设函数,定义在,上 ,的任一种,分法,令,任取,若对。