1、1定积分与微积分基本定理复习讲义河南省卢氏县第一高级中学 山永峰备考方向要明了考 什 么 怎 么 考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题2.考查简单定积分的求解3.考查曲边梯形面积的求解4.与几何概型相结合考查归纳知识整合1定积分(1)定积分的相关概念：在 f(x)dx 中， a， b 分别叫做积分下限与积分上限，区间 a， b叫 ba做积分区间， f(x)叫做被积函数， x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式(2)定积分的几何意义当函数 f(x)在区间 a， b上恒为正时，定积分 f(x)dx 的几
2、何意义是由直线 bax a， x b(a b)， y0 和曲线 y f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)一般情况下，定积分 f(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 bax a， x b 之间 的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数(3)定积分的基本性质： kf(x)dx k f(x)dx. ba ba f1(x)f2(x)dx f1(x)dx f2(x)dx. ba ba ba f(x)dx f(x)dx f(x)dx. ba ca bc探究 1.若积分变量为
3、t，则 f(x)dx 与 f(t)dt 是否相等？ ba ba提示：相等2一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算3定积分 f(x) g(x)dx(f(x)g(x)的几何意义是什么？ ba提示：由直线 x a， x b 和曲线 y f(x)， y g(x)所围成的曲边梯形的面积2微积分基本定理：如果 f(x)是区间 a， b上的连续函数，并且 F( x) f(x)，那么 2f(x)dx
4、 F(b) F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿 莱布尼兹公式 为ba了方便，常把 F(b) F(a)记成 F(x) ，即 f(x)dx F(x) F(b) F(a)|ba ba |ba课前预测：1. dx 等于( ) 421xA2ln 2 B2ln 2 Cln 2 Dln 22(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为 V(t) t2 t2，质点作直线运动，则此物体在时间1,2内的位移为( )A. B. C. D.176 143 136 1163(教材习题改编)直线 x0， x2， y0 与曲线 y x2所围成的曲边梯形的面积为_4(教材改编题) dx_. 10 1 x25由
5、 y ，直线 y x 所围成的封闭图形的面积为_1x 52考点一 利用微积分基本定理求定积分例 1 利用微积分基本定理求下列定积分：(1) (x22 x1)d x；(2) (sin xcos x)dx； 21 0(3) x(x1)d x；(4) dx； (5) sin2 dx. 20 21(e2x1x) 0x 求定积分的一般步骤：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值强化训练：1求下
6、列定积分：(1) |x1|d x；(2) dx. 20 201 sin 2x考点二 利用定积分的几何意义求定积分例 2 dx_. 10 x2 2x变式：在本例中，改变积分上限，求 dx 的值 20 x2 2x 利用几何意义求定积分的方 法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小强化训练：2(2014福建模拟)已知函数 f(x) (cos tsin t)dt(x0)，则 f(x)的最大值为 x0_考点三：利用定积分求平面图形的面积3例 3 (2014山东高考)由曲线 y ，直线 y
7、x2 及 y 轴所围成的图形的面积x为( )B4 C. D6103 163变式训练：若将“ y x2”改为“ y x2” ，将“ y 轴”改为“ x 轴” ，如何求解？ 利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差(4)计算定积分，写出答案强化训练：(2014郑州模拟)如图，曲线 y x2和直线 x0，x1， y 所围成的图形(阴影部分)的面积为( )14A. B. C. D.23 13 12 14考点四：定积分在物理中的应用例 4 列车以 72 km/h 的速度行驶，当制动
8、时列车获得加速度 a0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？ 1变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度 v 关于时间 t 的函数是 v v(t)(v(t)0)，那么物体从时刻 t a 到 t b 所经过的路程为 v(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度 v 关于 ba时间 t 的函数是 v v(t)(v(t)0)，那么物体从时刻 t a 到 t b 所经过的路程为 v(t)dt. ba2变力做功问题物体在变力 F(x)的作用下，沿与力 F(x)相同方向从 x a 到 x b 所做的功为 F(x)dx. ba强化训练：4一物体在力 F(x)Error!(
9、单位：N)的作用下沿与力 F(x)相同的方向运动了 4 米，力F(x)做功为( )A44 J B46 J C48 J D50 J1 个定理微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算3 条性质定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行3 个注意定积分的计算应注意的问题4(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；(3)面积非负， 而定积分的结果可以为负. 易误警示利用定积分求平面图形的面积的易错点典例 (2013上海高考)
10、已知函数 y f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A(0,0)，B ， C(1,0)函数 y xf(x)(0 x1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为_(12， 5)易 误 辨 析 1本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误2本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错3解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量变式训练：1由曲线 y x2， y x3围成的封闭图形面积为( )A. B. C. D.112 14 13 7122
11、(2014山东高考)设 a0.若曲线 y 与直线 x a， y0 所围成封闭图形的面积为xa2，则 a_.定积分与微积分基本定理检测题一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1. dx( ) e11 ln xxAln x ln2x B. 1 C. D.12 2e 32 122(2012湖北高考)已知二次函数 y f(x)的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积5为( )A. B. C. D.25 43 32 23设函数 f(x) ax2 b(a0)，若 f(x)dx3 f(x0)，则 x0等于( ) 30A1 B. C D22 34设 f(x)Error!则 f(x)
12、dx( ) 20A. B. C. D不存在34 45 565以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体， t 秒时刻的速度 v4010 t2，则此物体达到最高时的高度为( )A. m B. m C. m D. m1603 803 403 2036(2013青岛模拟)由直线 x ， x ， y0 与曲线 ycos x 所围成的封闭图形的 3 3面积为( )A. B1 C. D.12 32 3二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)7设 a sin xdx，则曲线 y f(x) xax ax2 在点(1， f(1)处的切线的斜率为 0_8在等比数列 an中，首项 a1 ， a4
13、 (12 x)dx，则该数列的前 5 项之和 S5等于23 41_9(2013孝感模拟)已知 a ，则当 (cos xsin x)dx 取最大值时，0， 2 a0a_.三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分)10计算下列定积分：(1) sin2xdx； (2) 2dx； (3) e2xdx.0 32( x 1x) 1011如图所示，直线 y kx 分抛物线 y x x2与 x 轴所围图形为面积相等的两部分，求 k 的值12如图，设点 P 从原点沿曲线 y x2向点 A(2,4)移动，直线 OP 与曲线 y x2围成图形的面积为 S1，直线 OP 与曲线 y x2及直线
14、x2 围成图形的面积为 S2，若 S1 S2，求点 P 的坐标6备选习题1一物体做变速直线运动，其 v t 曲线如图所示，则该物体在 s6 s 间的运动路程为12_2计算下列定积分：(1) (3x22 x1)d x； (2) dx.31 e1(x1x 1x2)3求曲线 y ， y2 x， y x 所围成图形的面积x134某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度 v(单位：m/s)与时间 t(单位：s)满足函数关系式 v(t)Error!某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超
15、过 7 673 m，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？定积分与微积分基本定理复习讲义答案前测：1. . . . . 2ln 283 14 158例：(1) . (2)2. (3) . (4) e4 e2ln 2. (5) .193 143 12 12 24变式：解：(1)| x1|Error!故 |x1|d x (1 x)dx (x1) 20 10 21dx Error! Error! 1.(xx22) 10 (x22 x) 21 12 12(2) dx |sin xcos x|dx (cos xsin x)dx (sin 01 sin 2x 04024xcos
16、 x)dx(sin xcos x) (cos xsin x) 4024 1(1 )2 2.2 2 2例：自主解答 dx 表示 y 与 x0， x1 及 y0 所围成的 10 x2 2x x2 2x图形的面积由 y 得( x1) 2 y21( y0)，又0 x1， y 与 x2 2x x2 2xx0， x1 及 y0 所围成的图形为 个圆，其面积为 . dx .14 4 10 x2 2x 4互动：解： dx 表示圆( x1) 2 y21 在第一象限内部分的面积，即半圆的 20 x2 2x面积，所以 dx . 20 x2 2x 27变式. 1 例. 互动： . 变式.276例：自主解答 a0.4
17、m/s 2， v072 km/h20 m/s.设 t s 后的速度为 v，则 v 200.4 t.令 v0，即 20 0.4 t0 得 t50 (s)设列车由开始制动到停止所走过的路程为 s，则 s vdt (200.4 t)dt(20 t0.2 t2)Error! 50 50 5020500.250 2500(m)，即列车应在进站前 50 s 和进站前 500 m 处开始制动变式.46典例：解析 由题意可得f(x)Error!所以 y xf(x)Error!与 x 轴围成图形的面积为 10x2dx (10x10 x2)dx x3 . 101103 2(5x2 103x3)254答案 变式 5
18、. . . 54 49检测题答案 .42ln 2 . .2423 410.解：(1) . (2) ln . (3) e . 4 92 32 12 1211.解：抛物线 y x x2与 x 轴两交点的横坐标为 x10， x21，所以，抛物线与 x 轴所围图形的面积S (x x2)dx Error! . 又Error! 10 (x22 13x3) 10 16由此可得，抛物线 y x x2与 y kx 两交点的横坐标为 x30， x41 k，所以， S2 (x x2 kx)dx Error! (1 k)3.1 k0 (1 k2x2 13x3) 1 k0 16又知 S ，所以(1 k)3 ，于是 k1
19、 1 .16 12 312 34212.解：设直线 OP 的方程为 y kx，点 P 的坐标为( x， y)，则 (kx x2)dx (x2 kx)dx，即 Error! Error! ， x0 2x (12kx2 13x3) x0 (13x3 12kx2) 2x解得 kx2 x3 2 k ，12 13 83 (13x3 12kx2)解得 k ，即直线 OP 的方程为 y x，所以点 P 的坐标为 .43 43 (43， 169)备选题：1.解析：由题图可知， v(t)Error!因此该物体在 s6 s 间运动的路程为 s v(t)12 6128dt 2tdt 2dt dt t2 2 t| E
20、rror! (m) 答案：1 31 63(13t 1) 131 (16t2 t) 63 494m4942.解：(1) (3x22 x1)d x( x3 x2 x) 24.31 31(2) dx xdx dx dx x2Error! ln xError! Error! e1(x 1x 1x2) e1 e11x e11x2 12 e1 e1 1x e1 (e21)(ln eln 1) e2 .12 (1e 11) 12 1e 32解：由Error!得交点 A(1,1)由Error!得交点 B(3，1)故所求面积 S dx dx 10( x13x) 31(2 x 13x) Error! Error! .(23x 16x2) 10 (2x 13x2) 31 23 16 43 1364.解：由变速直线运动的路程公式，可得 s t2dt (4t60)d t 140dt 10 201 602 t3Error! (2 t260 t)Error! 140 tError! 7 133 (m)7 676(m)13 10 201 602 13这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一
