1、第 4 讲 定积分与微积分的基本定理 知 识 梳理 1、定积分概念定积分定义：如果函数 在区间 上连续，用分点()fx,ab，将区间 等分成几个小区间，在每一个小0121iinax ,ab区间 上任取一点 ，作和 ，当 时，1,i(,2)i 1()()ni iifxfn上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数 在区间 上的定积分，记作f,ab1,ix，即 ，这里 、 分别叫做积分的下限与上限，()bafxd1()lim()nba ibafxdf区间 叫做积分区间，函数 叫做被积函数， 叫做积分变量， 叫做被积式.,()fx()fxd2、定积分性质（1 ） ；()()bbaakfxdfx（2 ）
2、 1212()bbaafdfx（3 ） ()()()cbacfxfxc3、微积分基本定理一般地，如果 是在 上有定义的连续函数， 是在 上可微，并且()f,a()fx,ab，则 ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿()Fxf()baxdFb莱布尼兹公式，为了方便，常常把 ，记作 ，即()a|baF.()|bbaafd4 、常见求定积分的公式（1 ） （2） （C 为常数）1|()bnnbaaxx|bbaacdx（3 ） （4）sicos|d osin|（5 ） （6）ln|(0)bbaax|bxxbaae（7 ） |1lbxbaad且 热 点 考 点 题 型 探 析考点 1: 定积分的计算
3、题型 1.计算常见函数的定积分例 1. 求下列定积分（1 ） （2） （3）30xd0sinxd201dx【解题思路】根据微积分基本定理，只须由求导公式找出导数为 ， ， 的函数就可，sin这就要求基本求导公式非常熟悉.解：（1） 32()x330011| 9dx（2 ） (cos)inx00is|cos02（3 ） 2211l|llndx【名师指引】简单的定积分计算只需熟记公式即可.题型 2:换元法求定积分例 2.计算: 20sinxd【解题思路】：我们要直接求 的原函数比较困难，但我们可以将 先变式化为2sinx 2sinx，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行.1cos1
4、co2xx解析： 2222220000001cos11in cos|sin|xddxxdx1siin44【名师指引】较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.题型 3:计算分段函数定积分例 3. 求31ln|exd【解题思路】： 首先是通过绝对值表示的分段函数，同时又是函数复合函数3l|x与 的运算式，所以我们在计算时必须先把积分区间 分段，再换元积分或奏变量3lnx1 1,e完成.解析：33ln1l|xex333111lnlnln|()eeexxddx43ll()344111lnlln|e eexxd44ll12【名师指引】若
5、被积函数含绝对值，往往化成分段函数分段积分，注意本题中，这实际是一种奏变量的思想，复合函数的积分通常可以奏变量3311lnlneexdx完成，也可以换元完成.题型 4:定积分的逆运算例 4. 已知 求函数 的最小值.120()(124),()3xaftdtFafxad()Fa【解题思路】：这里函数 、 都是以积分形式给出的，我们可以先用牛顿莱布fx尼兹公式求出 与 ，再用导数求法求出 的最小值.()fxF()解析： (124)atdt22226|6(4)6xaxaxa1100()()3Ff d232)|1.xx2a2(1)a当 时， 最小=1()Fa当 时， 最小=1【名师指引】这是一道把积分
6、上限函数、二次函数最值，参数 混合在一起综合题，a重点是要分清各变量关系. 积分、导数、函数单调些，最值、解析式交汇出题是近几年高考命题热点，把它们之间的相互关系弄清是我们解此类问题的关键。【新题导练】.1 (广东省揭阳二中 2010 届高三上学期期中考试)计算： 2(sin)xd解析:82. .设 则 =（ ）2(01)()2xf20()fxdA. B. C. D.不存在3456解析 选 C212322001115()()|()|6fxdxdxx考点 2: 定积分的应用题型 1.求平面区域的面积例 1 求在 上，由 轴及正弦曲线 围成的图形的面积 .,2xsinyx【解题思路】：因为在 上，
7、 ，其图象在 轴上方；在 上， 其0,i00,2sin0x图象在 轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积.x解析：作出 在 上的图象如右sinyx,2与 轴交于 0、 、 ，所求积 2 20 0si|si|(cos)|(cs)|4xdxxx【名师指引】利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置第四步：计算定积分，求出平面图形面积题型 2.物理方面的应用例 2. 汽车每小时 54 公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度 3 米/ 秒刹车，
8、问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？【解题思路】汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个xy0 2过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式.解析：由题意， 千米/时米/ 秒054v，令 得 153t=0，t=5，即 5 秒时，汽车停车.()13vtatt()0vt所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为公里55 2500 03()()(1)|7.()0.37stdvtdt 米答：汽车走了 0.0373 公里.【名师指引】若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为 ，由()0)vt定积分的物理意义可知，作变速运动物体在 时间,ab内的路程 s
9、 是曲边梯形（阴影部分）的面积，即路程 ；如果()bavtd()0)vtt时，则路程 .s 抢 分 频 道 基础巩固训练1. （2010 年广东北江中学高三第二次月考） = 620(1)xd3360:()|78x解 析 原 式2. (2008 学年广东北江中学高三高三年级第一次统测试题) 1(2)exd11112:2|ln|llnxeexeed解 析 原 式3. = 2102122101223033101:|()()()()|6xdxdxdxd解 析4. 已知 ,当 = 时, .恒成立2,()(4xfk340()kfxdtva boV=v(t)3333222232: :(1)2 40(1)()
10、(9), 40 ()13 ()(1)()kkkkxkfxdxdfxddxdx解 析 分 和 两 种 情 况 讨 论当 时整 理 得 即又 舍 去当 时 33 222 ()()84040490,. , 1kk x即 或 综 上 所 述 或5. 求曲线 ， 及 所围成的平面图形的面积.2yx2yx思路分析：图形由两部分构成，第一部分在区间 上， ， 及 围成，0,2yx2x第一部分在 上由 与 围成，所以所求面积应为两部分面积之和 .1,2x2yx解：作出 ， 及 的图如右y解方程组 得 2x4y0x解方程组 得 2yx10所求面积12201()()sdxdx213201|()|xx76答：此平面
11、图形的面积为综合拔高训练6. 设 y=f（x ）是二次函数, 方程 f（x ）=0 有两个相等的实根，且f（x）=2 x+2.（1 ）求 y=f（x）的表达式；（2 ）求 y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.yo x1 2y=xB(2,4)y=2xy=x2A(1,1)（2 ）若直线 x=t（0 t1 把 y=f（x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求 t的值.解：（1）设 f（x）= ax2+bx+c，则 f（x）=2ax+b，又已知 f（x）=2x+2a=1，b=2.f（x）=x 2+2x+c又方程 f（x）=0 有两个相等实根，判别式 =44c=0，即 c=1.故 f（
12、x）=x 2+2x+1.（2 ）依题意，有所求面积= .31|)31()2( 0201 xdxx（3 ）依题意，有 ，tt )(021 ， t3+t2 t+ = t3t 2+t，2t 36t 2+6t1=002312 |)1( tt xx1，2 （ t1） 3=1，于是 t=1 .327. 抛物线 y=ax2bx 在第一象限内与直线 xy=4 相切此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积记为 S求使 S 达到最大值的 a、b 值，并求 Smax解 依题设可知抛物线为凸形，它与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1=0，x 2=b/a，所以(1)320261)(dxbab又直线 xy=4 与抛物线 y=
13、ax2bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组 bxay24得 ax2(b 1)x4=0 ，其判别式必须为 0，即(b1) 216a=0于是 代入（1）式得：,)(62， ； 0,)(8)43bbS 52)1(38)(bS令 S(b)=0；在 b0 时得唯一驻点 b=3，且当 0b3 时，S(b)0；当 b3时，S(b)0故在 b=3 时，S(b)取得极大值，也是最大值，即 a=1，b=3 时，S 取得最大值，且 29maxS8. 设直线 与抛物线 所围成的图形面积为 S,它们与直线 围成的面积为y(1)2yx xT, 若 U=S+T 达到最小值,求 值;并求此时平面图形绕 轴一周所得旋转体的体积 .x1ay=x2y=axy=axy=x21a22330023312132:(1)0,1(),( 61)()()()2612. 0,.a aaayxxaSd aTxUSa上上2230 0332121003(0,) 2,10,.6()(,),(6()()31. 62 aaaUayxxSdxTxdaaUS上上上20(),.a上故函数 无最小值。当 时，显然无最小值。0213V图1图 2
