1、1定积分与微积分基本定理教师版一、知识网络二目标认知1 考试大纲要求：了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。2 重点：正确计算定积分，利用定积分求面积。3 难点：正确计算定积分，利用定积分求面积。三、知识要点梳理知识点一：定积分的概念定积分的定义：如果函数 在区间 上连续，用分点 将区间等分成 个小区间，在每个小区间 上任取一点 ，作和式，当 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 在区间上的定积分.记作 ，即 ，这里， 与 分别叫做积分下限与积分上限，区间 叫做积分区间，函数 叫做被积函数， 叫做积分变量， 叫做被积式.说明：（1）定积分的值是一个
2、常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：分割；近似代替；求和；取极限.知识点二：定积分的性质（1） （ 为常数） ，（2） ，2（3） （其中 ） ，（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数 在区间 上是奇函数，则 ；若函数 在区间 上是偶函数，则 .知识点三：微积分基本定理如果 ，且 在 上连续，则 ,其中 叫做 的一个原函数.由于 也是 的原函数，其中 c 为常数.一般地，原函数在 上的改变量 简记作 .因此，微积分基本定理可以写成形式：.说明：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.
3、知识点四：定积分的几何意义设函数 在区间 上连续.在 上，当 时，定积分 在几何上表示由曲线 以及直线 与 轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.在 上，当 时，由曲线 以及直线 与 轴围成的曲边梯形位于 轴下方，定积分 在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在 上，当 既取正值又取负值时，定积分 的几何意义是曲线 ，两条直线与 轴所围成的各部分面积的代数和. 在 轴上方的面积积分时取正号，在 轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.3知识点五：应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线 ， ， 轴（即直线 ）及一条曲线( )围成的曲边梯形的面积： ；2. 如图，由三条直线
4、 ， ， 轴（即直线 ）及一条曲线( )围成的曲边梯形的面积： ；3. 如图，由曲线 及直线 ， 围成图形的面积公式为： .4.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.（二）利用定积分解决物理问题4变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程 ，等于其速度函数 在时间区间 上的定积分，即 .变力作功物体在变力 的作用下做直线运动，并且物体沿着与 相同的方向从 移动到，那么变力 所作的功 .四、规律方法指导1.要正确理解定积分的概
5、念，掌握其几何意义，从而解决实际问题；2.要正确计算定积分，需非常熟悉导数的运算。五、巩固练习 题组一 定积分的计算1.已知 f(x)为偶函数且 f(x)dx8，则 f(x)dx 等于 ( )606A0 B4 C 8 D16解析：原式 f(x)dx f(x)dx，0660原函数为偶函数，在 y 轴两侧的图象对称，对应的面积相等，即 8216.答案：D2设 f(x)Error!则 f(x)dx 等于 ( )20A. B. C. D不存在34 45 56解析：数形结合，f(x)dx= x2dx+ (2-x)dx20101= 3= .315(42)6x答案：C3计算以下定积分：(1) (2x2 )d
6、x；11x5(2) ( )2dx；32x1x(3) (sinxsin2x )dx；30解：(1) (2x2 )dx( x3ln x)11x 23 1 ln 2 ln 2.163 23 143(2) ( )2dx (x 2)dx2x1x 1x( x2 lnx2x)12 3( ln 36)(2 ln 24)92ln .32 92(3) (sinxsin2x )dx(cosx cos2x)3012 30( )(1 ) .12 14 12 14题组二 求曲多边形的面积4如图，函数 yx 22x 1 与 y1 相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ( )A1 B. C. D243
7、 3解析：函数 yx 22x 1 与 y1 的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于(x 22x11)dx (x 22x)dx .0043答案：B5已知函数 yx 2 与 ykx( k0) 的图象所围成的阴影部分(如图所示) 的面积为 ，则 k _.43解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为0，k，6再由 (kxx 2)dx( ) 求得 k2.0kkx22 x33 0k36 43答案：26如图，设点 P 从原点沿曲线 yx 2 向点 A(2,4)移动，记直线 OP、曲线 yx 2 及直线 x2 所围成的面积分别记为 S1，S 2，若 S1S 2，则点 P 的坐标为_解
8、析：设直线 OP 的方程为 ykx, P 点的坐标为( x，y)，则 (kxx 2)dx (x2 kx)dx，0即( kx2 x3) ( x3 kx2) ，12 13 13 12解得 kx2 x3 2k ( x3 kx2)，12 13 83 13 12解得 k ，即直线 OP 的方程为 y x，所以点 P 的坐标为( ， )43 43 43 169答案：( ， )43 169题组三 定积分在物理中的应用7.一质点运动时速度与时间的关系为 v(t)t 2t 2，质点作直线运动，则此物体在时间1,2内的位移为 ( )A. B. C. D.176 143 136 116解析：s (t2t2)dt(
9、t3 t22t )| .113 12 21 176答案：A8若 1 N 的力能使弹簧伸长 1 cm，现在要使弹簧伸长 10 cm，则需要花费的功为( )A0.05 J B0.5 J C0.25 J D1 J解析：设力 Fkx(k 是比例系数) ，当 F1 N 时， x0.01 m，可解得 k100 N/m，则 F100x，所以 W100xdx50x 2 0.5 J.0.10.答案：B79一辆汽车的速度时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_米解析：据题意，v 与 t 的函数关系式如下：vv(t)Error!所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s 60()dt203t402(5)dt
10、6041t t2 (50t t2) 10t34 12 0900 米答案：900题组四 定积分的综合应用10.(2010烟台模拟)若 y (sintcostsin t)dt，则 y 的最大值是 ( )0xA1 B2 C D072解析：y (sintcos tsint)dt (sint sin2t)dt0x0x12(cost cos2t) cosx cos2x14 14 54cosx (2cos2x1) cos2xcosx14 54 12 32 (cosx1) 222.12答案：B11(2010温州模拟)若 f(x)是一次函数，且 f(x)dx5， xf(x)dx ，那么 dx 的值是101017
11、6 21f(x)x_解析：f(x) 是一次函数，设 f(x)ax b( a0)，由 (axb)dx5 得( ax2bx ) ab5， 1012 012由 xf(x)dx 得 (ax2bx)dx ，即10176 0176( ax3 bx2) ， a b ， 13 12 176 13 12 1768解得 a4，b3，f(x)4x3，于是 dx dx (4 )dx21f(x)x 214x 3x 213x(4x 3lnx) 83ln24 43ln2.答案：43ln212设 f(x) |x2a 2|dx.10(1)当 0a1 与 a1 时，分别求 f(a)；(2)当 a0 时，求 f(a)的最小值解：(
12、1)0a1 时，f(a) |x2 a2|dx0 (a2x 2)dx (x2 a2)dx1(a 2x x3) ( a 2x)13 0x33a 3 a300 a 2 a 313 13 a33 a3a 2 .43 13当 a1 时，f(a) (a2 x2)dx0(a 2x x3)13a 2 .13f(a)241(0),31.aa (2)当 a1 时，由于 a2 在1，)上是增函数，故 f(a)在 1，)上的最小值是 f(1)1 .13 13 23当 a0,1时，f( a)4a 22a2a(2a1) ，由 f(a) 0 知： a 或 a0 ，129故在0， 上递 减，在 ，1上递增12 12因此在0,1上，f( a)的最小值为 f( ) .12 14综上可知，f(x) 在0，)上的最小值为 .14
