1、定积分复习课,1定积分的定义(1)如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb.将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)作和式(2)当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做 函数f(x)在区间a，b 上的定积分，记作 .,梳理知识,2、定积分的运算性质 k = k . = . =,3. 的几何意义（1）当f(x)在区间a,b上大于0时， 表示 由 ，这也是定积分的几何意义. 当f(x)在区间a,b上小于0时， 表示 . (2)当f(x)在区间a,b上有正有负时， 表 示介于x=a，x=b (ab)之间x轴之上、下相应的曲
2、边梯形的面积的代数和.,直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成,的曲边梯形的面积,由直线x=a，x=b (ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的,曲边梯形的面积的相反数,y,x,0,a,b,y,x,0,a,b,y,x,0,a,b,c,d,如图所示,4.微积分基本定理 一般地，如果f（x）是区间a，b上的连续函数，并且F(x)=f(x),那么 . 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿莱布尼兹公式.可以把F（b）-F（a）记为F(x) .即,题型一 利用微积分基本定理求定积分【例1】(1)(x2+2x+1) dx;(2) (sin x-cos x)dx; (3)（x-x2+
3、 ）dx;(4) (cos x+ex) dx. 先由定积分的性质将其分解成各个简单函数的定积分,再利用微积分基本定理求解. 解 (1) (x2+2x+1) dx =x2dx+ 2xdx+ 1dx =,分析过程,小结 计算一些简单的定积分，解题的步骤是： (1）把被积函数用定积分性质变形为简单函数的定积分（2）利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值,题型二 求分段函数的定积分【例2】计算下列定积分. |sin x|dx 对于本题，应对在区间0，2上的正、负进行分情况计算； 解 （1）（-cos x）=sin x， |sin x|dx= |sin x|dx+ |sin x|dx=-（cos -co
4、s 0）+（cos 2-cos ）=4.,分析过程,当被积函数含有绝对值时，须按绝对值内的正、负号将定积分区间分段，然后按区间的可加性逐段积分；同样，当被积函数为分段函数时，也须按函数的定义的分段情形相应的逐段积分.,小结,题型三 求曲边梯形的面积 如图所示，函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是 分析过程 画出图象求出抛物线与直线y=1交点 用定积分求面积. y=-x2+2x+1 y=1， S= （-x2+2x+1-1）dx= （-x2+2x）dx,解析,得x1=0,x2=2.,对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大概图形,然后
5、根据图形特点,选择相应的积分变量及被积函数,并确定被积区间.,小结,1、 （sin x+cos x）dx的值是（） A.0B. C.2D.4,C,解析,练习自测,x2， x0，1，2-x，x（1，2，,2.设f（x）=, f（x）dx等于（）A. B. C. D.不存在解析 f（x）dx= x2dx+ （2-x）dx,则,C,3.曲线y=cos x(0x )与坐标轴围成的面积是（） A.4B. C.3D.2 解析 先作出y=cos x（0x ）的图象，从图象中可以看出,C,本节小结,1、计算一些简单的定积分2、求分段函数的定积分3、求曲边梯形的面积注意细节： 1.被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分.2.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负。3.定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限。,作业,2.设f(x)=,x2(x0) 2x(x0)，求 f(x)dx的值,1.若 (2x-3x2)dx=0,求k的值,3、求由抛物线y=x2-1,直线x=2,y=0所围成的图形的面积.,谢谢大家,
