1、(定积分的应用),第二节 定积分在几何学上的应用,一. 平面图形的面积,1 直角坐标情形,(1)当f(x)0时,以f(x)为曲边的曲边梯形面积,(2)结合考虑f(x)0的情形,则有,(3)若在区间a,b上,f(x)变号,我们有,(4)若在区间a,b上,平面图形由y=f1(x) f2(x),及x=a, x=b,围成的,则,(5)对于任意曲线所围成的图形,可用直线将它们分割几个部分,再用上述的方法计算.,例1 抛物线y2=2x将圆y2=4x-x2分割成三部分,求每一部分的面积。,x,y,dx,A1,A2,A3,y2=2x,解法2,例2计算抛物线y+1=x2,与直线y=x+1所围区域的面积.,x,y
2、,y1=x2-1,y2=1+x,2,3,-1,分析: 先求两条线段的交点.x+1=x2-1 x2-x-2=0(x-2)(x+1)=0.x1=2,y1=3. x2=-1,y2=0.(2)划分微元的方法有两个. 一是垂直的小条. 上端为y2=1+x,下端为y1=x2-1.典型的垂直小条的面积为dA=(y2-y1)dx,x,y,y1=x2-1,y2=1+x,2,3,-1,划分的第二种方法是横向条.分成两部分处理. 1是y从-1到0,2是y从0到3.,对于由两曲线围成的平面图形,求其面积的主要步骤是 作草图,求出两曲线的交点,选择积分变量并选用相应的积 分公式,确定积分上下限并计算积分. 为了减少计算
3、量,应该尽量利用对称性和积分的几何意 义.例如本例中的A1=A2,例2 求椭圆的面积,椭圆方程为：,则可证明以(3)为曲边梯形的面积,参数式情形,3. 极坐标情形,首先，用元素法推出由曲线及射线 r=r(); =,=围成 的曲边扇形面积的计算公式,其中r()在a,b上连续,且r()0,在小区间,+d上的 窄圆扇形的面积为,例3 计算心形线r=a(1+cos )(a0)所围成图形的面积,二. 体积 侧面积,1. 旋转体的体积 旋转体是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体,这条直 线叫做旋转轴。,O,例5连接坐标原点O及点P(h,r)的直线x=h及x轴围成一个 直角三角形把它绕x轴
4、旋转一周构成一个底半径为r,高为h 的圆锥体,计算这圆锥体的体积.,解: 过原点O及点P(h,r)的直线方程为 y=rx/h. 取横坐标x为积分变量,它的变化区间为0,h.圆锥体中 任一小区间x,x+dx的薄片的体积近似于底半径为rx/h, 高为dx的扁圆柱体的体积. dv=rx/h2dx,于是所求圆锥体 的体积为：,2.平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程中 可看出:如果一个立体不是旋 转体,但却知道该立体上垂直 于一定轴的各个截面的面积, 那么,这立体的体积也可用定 积分来计算.,x,x,取上述定轴为x轴,设该立体在过点 x=a,x=b且垂直于x轴的两个平面之 间.以A(x
5、)表示过点x且垂直于x轴的 截面面积,假定A(x)为x的已知的连续 函数,取x为积分变量,它的变化区间 为a,b;立体中相应于a,b上任一小 区间x,x+dx的一薄片的体积,近似 于底面积为A(x),高为dx的扁柱体的 体积,即dV=A(x)dx.则立体的体积为,x,y,z,o,分析: 立体显然关于xoz平面 是对称的其y0部分如图示. 考虑垂直y轴的截面,则截面 是一直角三角形. 其两条直角 边分别是,和,所以其面积为,所围成的立体的体积,与平面,如果用垂直于x轴的截面得到一,其面积,矩形,边长分别为z=cx/a,y,x2+y2=R2,-R,R,x,例5一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,
6、并与底面交成 角.计算这平面截圆柱体所得立体的体积. 解:底圆的方程为x2+y2=R2,立体中过x轴上的点x且垂直于x轴 的截面是一个直角三角形它的两条直角边分别是y及y tan;,x,y,它的截面积为A(x)=(R2-x2)tg/2 于是它的体积是,3 旋转体的侧面积,x,x,x+dx,y,y,y=f(x),设平面光滑曲线y=f(x)(axb)绕x轴旋转一周构成的旋转 体,其体积为,若上述光滑曲线由参数式给出,则,解 (1) 过x轴上的点g且垂直x轴的平面截椭球面,得到一椭圆:,(2)求椭圆弧,绕x轴旋转一周所成旋转椭球体的体积V和侧面积S.,例6 求体积或面积(1)求椭球的体积,三 平面曲线的弧长,1 平面曲线的弧长的概念 一根弧的长度可以看成由很多长度极限为0小的直线所组成.,2 直角坐标情形,1 平面曲线的弧长的概念 一根弧的长度可以看成由很多长度极限为0小的直线所组成.,2 直角坐标情形,dy,dx,dL,三 平面曲线的弧长,3 参数情形 若曲线由参数方程给出,4 极坐标情形 若曲线由极坐标方程给出,例7 求下列曲线段的弧长: (1)悬链线y=chx(-a0,0 2)的一圈.,
