1、,第六章 定积分,中山大学南方学院,一、问题的提出,二、定积分的定义,三、存在定理,四、几何意义,五、定积分的性质,五、小结,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加
2、细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,
3、观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,二、定积分(definite integral)的定义,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,定理1,定理2,三、存在定理,定理,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,几何意义：,五、小结,定积分的实质：特殊和
4、式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,对定积分的补充规定:,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,说明,定积分的性质,一、基本内容(性质证明不作要求),性质1,性质2,性质1+性质2 得：,推广：,即线性组合的定积分等于定积分的线性组合 说明定积分也具有线性运算性质,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,则,（定积分对于积分区间具有可加性）,性质3,性质5（非负性）,性质4,令,于是,解,性质5的推论：（比较定理）,（1）,（2）,说明： 可积性是显然的.,性质6（估值定理）,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,积分中值公式
5、,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式的几何解释：,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,二、小结,第二讲 微积分基本公式,内容提要1. 变上限的定积分； 2.牛顿莱布尼兹公式 。 教学要求1.理解作为变上限的函数的定积分及求导方法；2.熟悉牛顿莱布尼兹公式 。,记为,称它为变上限定积分所确定的函数（ 积分上限函数或变上限积分）。,一、积分上限函数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,补充,解,解,例2 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,一般地，若,?,设物体作直线运动，,其速度 ，,若已知路程函数,
6、的路程也可表示为,内所经过的路程为,二、牛顿莱布尼兹公式,定理2,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,牛顿（英国 1642. 12. 251727. 3. 20）,莱布尼兹（德国1646. 7. 11716. 11. 14）,说明：,或,解,解,解,3. 牛顿莱布尼兹公式,1 . 变上限定积分,2. 变上限定积分的导数,小结,牛顿莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数,之间的关系,作业:,学习指导书: P 172 D 3(1)(2) ;D 4(7)(9),第三节定积分的换元法,上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不
7、定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。,先来看一个例子,例1,换元求不定积分,令,则,故,为去掉根号,令,则,当 x 从0连续地增加到4时，t 相应地从1连续地增加到3,于是,尝试一下直接换元求定积分,将上例一般化就得到定积分的换元积分公式,由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量,一、换元公式,应用换元公式时应注意:,（
8、1）,（2）,计算,解1,由定积分的几何意义,等于圆周的第一象限部分的面积,故,o,例2,令,解4,令,仍可得到上述结果,解3,解,令,例3 计算,证,即： 奇函数在对称区间上的积分等于0偶函数在对称区间上的积分等于对称的部分区间上积分的两倍由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的,例5 计算,解,原式,偶函数,奇函数,四分之一单位圆的面积,定积分的换元法,几个特殊积分、定积分的几个等式,二、小结,作业:,学习指导书: P 177 D 3(1)(3)(5) ;D 4(1)(5),三 定积分的分部积分法,(Formula for Integration by Parts),例1 计算,解,令,
9、则,例2 计算,解,注 本题是一个集凑微分法、根式换元法、分布积分法的综合题。,例3 计算,解,作业:,学习指导书: P 183 D 1(1)(2)(5) ;D 2(2)(5),内容提要1.元素法；2.平面图形的面积； 教学要求1.熟练掌握应用微元法去解决积分中的实际应用题；2.熟悉各种平面面积的积分表达方法；,第五节 定积分的应用,回顾,用定积分求曲边梯形面积的问题：,及直线,所围成的曲边梯形的面积,其求解步骤如下：,一、 定积分的微元法,第一步：分割,将区间,任意分成,个小区间,由此曲边梯形就相应地分成,个小曲边梯形。,第二步：近似,形面积之和,即,所求的曲边梯形面积A为每个小曲边梯,为底
10、,的小矩形面积,近似代替小曲边梯形面积,第三步： 求和,第四步： 取极限,总结：,上述四步中，由第一步知，,有关，,部分量的和，,可加性.,分成许多小区间，,的面积A这个量就相应地分成许多部分量，,如果把区间,具有,这种性质称为所求量A对区间,则所求,而A是所有,所求面积A这个量与,就是定积分的被积表达式,上述第二步中的近似表达式,可确定定积分的被积表达式,方法是：,于是有,再将区间,则,可写为,称,为面积A的微元，,于是,即,记为,一般地，当所求量F符合下列条件：,以上方法称为,这就给出了定积分的被积表达式,于是,“微元法”,微元法解决实际问题的一般步骤如下：,(1) 根据问题的具体情况，,
11、选取一个变量,例如取,为积分变量，,并确定它的变化区间,以上步骤要熟练掌握!,如：平面图形的面积；,引力和平均值;,液体的压力；,变力做功；,平面曲线的弧长；,体积；,注意 微元法解决实际问题的使用对象：,具有可加性的量,等等.,定积分的几何应用,1）如果,则,S,S,即,（一）、在直角坐标系下的面积问题,如图,则,用微元法：,用微元法：,所围成的图形,例1 计算由抛物线,的面积A .,解,用微元法,确定积分区间：,解,方法一：选择 x 作积分变量,从而得到积分区间,区间上任取一小区,间,dA,面积微元,确定积分区间：,面积微元,方法二：选择 y 作积分变量,解得 y=0, y=1,从而得到积
12、分区间,区间上任取一小区,间,1,y,y+dy,dA,6.6 反常积分初步,一 无穷限积分,（一）无穷限积分的定义和性质,1 定义：,上式右边两个反常积分中若有一个发散，则此无穷限积分发散，只有右边两个都收敛才收敛。,2 利用定义判别无穷限积分的敛散性,例1 讨论下列无穷限积分的敛散性：,解：,3 无穷限积分的性质,（1）性质1：,（2）性质2：,（3）性质3：,（4）性质4：,另外，定积分的换元积分法和分部积分法在无穷限积分中也是适用的。,4 利用性质计算无穷限积分举例,例2 讨论下列无穷限积分的敛散性：,（1）利用分部积分公式有：,这个例题的结论很重要，后面常用它作为判别其它无穷限积分敛散性的依据。,作业:,学习指导书: P 188 D 1;(这题虽然是选择题,但要对每一个选项进行说明为什么收敛或发散) D 3(5),谢谢大家！,
