差分方程及matlab求解

1、8.3 实际问题与二元一次方程组 第1课时 和差倍分及几何图形问题,和差倍分问题,A,1.(2018深圳)某旅店一共70个房间,大房间每间住8个人,小房间每间住6个人,一共480个学生刚好住满,设大房间有x个,小房间有y个.下列方程组正确的是( ),2.(2018永州)在永州市青少年禁毒教育活动中,某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观,以下是小明和妈妈的对话,请根据对话内容,求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数.,3.甲、乙两个车间工人人数不等,若甲车间调10人给乙车间,则两车间人数相等;若乙车间调10人给甲车间,则甲车间现有的人数就是乙车。

2、,0 差分方程及其解1 减肥计划节食与运动2 贷款买房3 市场经济中的蛛网模型,差分方程模型,0 差分方程及其解,把含有未知函数的差分或表示成未知函数若干不同时期值的符号的方程称为差分方程。,方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的差数称为差分方程的阶。,差分方程及其解,差分方程的解：若一个整标函数代入差分方程后，方程两端恒等,差分方程的通解：如果解中所含相互独立的任意 常数的个数等于方程的阶数,特解：满足初始条件、不含任意常数的解。,常系数线性差分方程求解,n阶常系数方程,若 =0，则称为齐次方程,线性差分方程解的结构上。

3、非线性方程(组)求解,非线性方程（组）数值求解基本原理 多项式求根函数roots 非线性方程求解函数fzero 非线性方程组求解函数fsolve,复习与练习,按以下要求编写一个函数计算 的值，其中x0时，y= ; x0时，y=2/x; x=0时，返回错误信息（x cannt be zero) 。 要求：1)主函数名称为excer1，x作为输如变量，A作为输出变量；2) 主函数中包括一个子函数myfun用于计算y的值。,引言,在945.36kPa（9.33atm）、300.2K时，容器中充以2mol氮气，试求容器体积。已知此状态下氮气的P-V-T关系符合范德华方程，其范德华常数为a4.17atmL/mol2， b0.0371L/mol。

4、7.4 常系数线性差分方程的求解,解法,1.迭代法,3.零输入响应+零状态响应利用卷积求系统的零状态响应,2.时域经典法：齐次解+特解；,4. z变换法反变换y(n),一迭代法,解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系。,二时域经典法,1.齐次解：齐次方程的解,求待定系数,C由边界决定,代入原方程，,齐次解,求差分方程齐次解步骤,差分方程 特征方程特征根 y(n)的解析式由起始状态定常数,根据特征根，解的三种情况,2.有重根,3.有共轭复数根,2.特解,线性时不变系统输入与输出有相同的形式,输入,输出,（r与特征根重）,三零输入响应+零状态响应,1.。

5、2-1 常系数微分(差分)方程时域求解,LTI系统分析的含义 常系数微分(差分)方程基本概念自由响应与强迫响应 零输入响应与零状态响应 相互关系 差分方程迭代求解, LTI系统分析的含义,系统分析,模式识别,信号检测,课程主要研究系统分析问题，且研究对象为SISO(Single input single output)中的LTI(Linear time invariance)系统。, 常微分(差分)方程基本概念, 常微分(差分)方程基本概念,由于研究对象是LTI系统，所以描述方程应体现线性和时不变性。对于线性，要求微分(差分)方程为线性方程；时不变性则要求方程系数为常数。因而，LTI系统方程为。

6、1. 微分方程的解析解,求微分方程（组）的解析解命令:,dsolve(方程1, 方程2,方程n, 初始条件, 自变量),运行结果：u = tan(t-c),用MATLAB求解微分方程,解 输入命令：dsolve(Du=1+u2,t),解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),运行结果为 : y =3e-2xsin（5x）,解 输入命令 ：x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)；x=simple(x) % 将x化简y=simple(y)z=simple(z),运行结果为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2ty = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz = (。

7、 7 4常系数线性差分方程的求解 注意 P21 27不要求 限于2003春季 非典 特别学期 迭代法时域经典法zi zs分解法变换域求解法 Ch8 解法 1 迭代法 3 零输入响应 零状态响应利用卷积求系统的零状态响应 2 时域经典法 齐次。

8、7.4 常系数线性差分方程的求解,描述线性、时不变离散系统的常系数线性差分方程的一般形式可表示为：,返回,求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种：迭代法、时域经典法：齐次解+特解、零输入响应+零状态响应（利用卷积求系统的零状态响应）、 z变换法（反变换y(n)）、状态变量（方程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲解。,式中ak、br是常数,二、差分方程的解法（前3种方法） 三、传输算子的概念,一、差分方程的初值问题（边界条件）,一、差分方程的初值问题（边界条件）,相应于连续时间系统中的起始条件和初始。

9、1差分方程的解法分析及 MATLAB 实现（程序）摘自：张登奇,彭仕玉.差分方程的解法分析及其 MATLAB 实现J. 湖南理工学院学报.2014(03)引言线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型,求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容.在信号与系统课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域法 1.1 迭代法例 1 已知离散系统的差分方程为 ,激励信号为)1(3)2(81)(43) nxnyny,初始状态为 .求系统响应 .)(43)(nux21(4)1(y，根据激励信号和初始状态,手工依次迭代可算出 .459)(,0利用 MATLAB 中的 filter 函数实现迭。

10、差分方程的迭代法求解 双零法求解 LTI离散时间系统的分类 1 无记忆系统 系统输出信号取决于同时刻的输入信号 与系统的过去状态无关 4 因果系统 因果系统 causalsystem 是指当且仅当输入信号激励系统时 才会出现输出 响应 的系。

11、差分方程及其Z变换法求解,一、离散系统的差分方程模型,一阶前向差分方程：,一阶后向差分方程：,二阶前向差分方程：,二阶后向差分方程：,依此类推，可得n阶差分方程：,例1：右图所示的一阶系统描述它的微分方程为,用一阶前向差分方程近似：,式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：,二、离散系统差分方程的模拟图,连续系统采用积分器s-1作为模拟连续系统微分方程的主要器件；与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。,单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。,例2：画出例2所示离散系统的模拟图,由图：,三、差分方程的。

12、6.4 常系数线性差分方程的求解,主要内容重点：用时域经典法求常系数线性差分方程,求解常系数线性差分方程的方法 零输入响应与零状态响应,线性时不变离散系统的差分方程是常系数线性差分方程，基本形式：,或写成,在差分方程中，各序列的序号自n以递减方式给出，称为后向(或右移序)差分方程。,4、变换域法（Z变换法）,逐次代入求解， 概念清楚， 比较简便， 适用于计算机，缺点是不易得出通式解答。,1、迭代法,2、时域经典法,3、全响应零输入响应零状态响应 零输入响应求解与齐次通解方法相同 零状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要。,。

13、用Matlab求解差分方程问题,一阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程线性常系数差分方程组,差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型,例1、 某种货币1年期存款的年利率是r ，现存入M元，问年后的本金与利息之和是多少？ Xk+1=(1+r)xk , k = 0 , 1 , 2 以k=0时x0=M代入，递推n次可得n年后本息为,污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？ 记第k天的污水浓度为ck,则第k+1天的污水浓度为 ck+1=(1-q)ck,k=0,1,2,从k=0开始递推n次得以cn=c0/2代入即求解。,一阶线性常系数。

14、% 真解 u=sin(pi*x)*sin(pi*y) % 方程 -Laplace(u)=f % f=2*pi2*sin(pi*x)*sin(pi*y) %difference code for elliptic equations with constant coefficient %clear%clcN=20;h=1/N;S=h2;x=0:h:1;y=0:h:1;% Stiff matrix A=zeros(N-1)2,(N-1)2);for i=1A(i,i)=4/h2;A(i,i+1)=-1/h2;A(i,i+(N-1)=-1/h2;endfor i=N-1A(i,i-1)=-1/h2;A(i,i)=4/h2;A(i,2*i)=-1/h2; %A(i,i+(N-1)=-1/h2endfor i=(N-2)*(N-1)+1A(i,i-(N-1)=-1/h2;A(i,i)=4/h2;A(i,i+1)=-1/h2;endfor i=(N-1)2A(i,i-(N-1)=-1/h2;。

15、计算机控制技术课程讲义,1,差分方程的求解,差分方程求解方法有两种： (1)基于解析方法的Z变换法 (2)基于计算机求解的迭代法,用Z变换法求解差分方程较为简便，且可求得差分方程解的数学解析式。,用Z变换法求解差分方程的步骤为： (1)对差分方程进行Z变换； (2)用Z变换的平移定理将时域差分方程转化为Z域差分方程，代入初始条件并求解； (3)将Z变换写成有理多项式的形式，再求Z反变换，得到差分方程的解。,计算机控制技术课程讲义,2,例：用Z变换求解差分方程：,解：,计算机控制技术课程讲义,3,计算机控制技术课程讲义,4,4.5 脉冲传递函数,4.。

16、实验二： 微分方程与差分方程模型 Matlab 求解一、实验目的1 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；2 熟悉 MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；3 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；4 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。 二、实验原理1. 微分方程模型与 MATLAB 求解解析解用 MATLAB 命令 dsolve(eqn1,eqn2, .) 求常微分方程（组）的解析解。其中eqni表示第 i 个微分方程，Dny 表示 y 的 n 阶导数,默认的自变量为 t。（1） 微分方程例 1 求解一阶微分方程 21ydx(1) 求。

17、第八节 差分方程,一、差分,二、差分方程的概念,三、一阶常系数线性差分方程,四、二阶常系数线性差分方程,一、差分,微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度.,定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差,yx+1 yx,称为函数 yx 的一阶差分, 记为yx, 即,yx = yx+1 yx.,(yx) = yx+1 yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 yx),= yx+2 2 yx+1 + yx,为二阶差分, 记为2 yx, 即。

18、1 一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？,差分方程初步,第一节 差分方程的基本概念,一、 差分的概念,定义1 设函数yt=f(t)在t=,-2,-1,0,1,2,处有定义,对应的函数值为,y-2,y-1,y0,y1,y2,则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)依此定义类推,有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1),Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2),一阶差分的性质,(1) 若yt=C(C为常数),则Dyt=0;(2) 对于任意常数k,D(kyt)=。