1、7.4 常系数线性差分方程的求解,描述线性、时不变离散系统的常系数线性差分方程的一般形式可表示为：,返回,求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种：迭代法、时域经典法：齐次解+特解、零输入响应+零状态响应（利用卷积求系统的零状态响应）、 z变换法（反变换y(n)）、状态变量（方程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲解。,式中ak、br是常数,二、差分方程的解法（前3种方法） 三、传输算子的概念,一、差分方程的初值问题（边界条件）,一、差分方程的初值问题（边界条件）,相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件， 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。起始样值即在激励信号加
2、入之前系统已具有的 一组样值，以符号y-(n)表示。而初始样值是在激励信号加入之后系统所具有的 一组样值，以符号y+(n)表示。分别利用起始样值y-(n)和初始样值y+(n)可以确定 系统的零输入响应和完全响应。,对于因果系统，如果激励信号在n=0时刻接入，则在n0的区间，系统在同一样点上的起始样值与初始样值相等，即： y-(n)=y+(n)；但是在n 0的区间，同一样点上,的起始样值与初始样值一般不相等。,因此，如果要求系统的完全响应，而给定的初值又是n 0的起始样值y-(n)，那么，就要用迭代法由y-(n)求出初始样值y+(n)，然后求系统的完全响应。,对于N阶因果系统，常给定y(-1)、
3、 y(-2)、. y(-N) 为边界条件。,若激励信号在n=0时接入系统，所谓零状态，指的是系统的起始样值y-(n)=0，即： y-(-1)、 y-(-2) . y-(-N) 为0，而不是指y (-1)、 y(-2) . y(-N) 为0。,如果已知y(-1)、 y(-2)、. y(-N)，欲求y(0)、y(1)、 . y(N)，则根据因果系统在n0， y-(n)=y+(n)；利用迭代法求得。,返回,推论：一般情况下，若n= n0时，激励信号接入系统，零状态是指 y-(n0-1)、 y-(n0-2) . y-(n0-N)等于0。,讨论有关初值问题，引入起始样值y-(n)和初始样值y+(n)的定
4、义。这对于一些基本概念的理解是有益的。,例如，零输入响应是由起始样值y-(n)决定，而对于n= 0时刻接入的激励信号，系统的完全响应由 n 0的初始样值y+(n)决定。,今后我们规定，所有初值如无下标，则一律按初始样值处理。,如果系统起始样值y-(n) 0，则系统差分方程的完全解将不满足线性时不变的特性。,二、差分方程的解法（前3种方法）,返回,（一）迭代法 （二）时域经典法：齐次解+特解 （三）零输入响应+零状态响应（利用卷积求系统的零状态响应）,（一）迭代法,是解差分方程的基础方法，包括手算逐次代入求解或利用计算机求解。这种方法概念清楚，也比较简便；但只能得到其数值解，不易得到输出序列y(
5、n)的解析式（或封闭解），若要求通解，需用数学归纳法得出，并证明。,例7-4-1,返回,例7-4-2,由递推关系,可得输出值：,已知y(n)=3y(n-1)+u(n)，且y(-1)=0,求解方程。,例7-4-1,返回,注意：这里y(-1)=0是按初始样值y+(-1)=0处理的。,已知差分方程：y(n)-3y(n-1)=u(n)，且y(0)=1,求解方程。,例7-4-2,这里为了说明起始样值和初始样值，我们把y(0) 看作y-(0)=1、 y+(0)=1分别讨论。,1、若把初值y(0)=1,看作激励加入前系统的起始样值y-(0)，则y-(0)=1应满足方程： y(n)-3y(n-1)=0,当n0
6、时，用迭代法容易求得：,.,假设系统是因果系统， 由于激励u(n)在n=0接 入，那么,此解就是n0 时系统的零输入响应。,由于系统的因果性，而有,这样，由y+(-1)及y(n)-3y(n-1)=u(n)可求得y+(0)、 y+(1).,y+(0)= u(0) +3y+(-1)=1+1=2,y+(1)= u(1) +3y+(0)=1+3*2=7,y+(2)= u(2) +3y+(1)=1+3(1+3*2)=22,y+(3)= u(3) +3y+(2)=1+3(1+3+2*32)=67,.,y+(n)= u(n) +3y+(n-1)=1+3+32+3n-1+2*3n,所以，该差分方程的完全解为：
7、,y(n)= 3n u(-n- 1) + u(n),当n 0时，系统差分方程为： y(n)-3y(n-1)=u(n),2、若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值y+(0)，则y+(0)=1应满足方程： y(n)-3y(n-1)= u(n),当n0时，由迭代法得： y+(n)=0,当n 0时，则有：,y+(0)= 1,y+(1)= u(1) +3y+(0)=1+3*1=4,y+(2)= u(2) +3y+(1)=1+3+32=13,.,y+(n)= u(n) +3y+(n-1)=1+3+32+3n,则方程的解为：,y(n)= u(n),由于n0时， y(n)=0，所以该解是系统的零状
8、态响应。,可见，对初值y(0)的理解不同，所得差分方程的解 也不同。,返回,（二）时域经典法：齐次解+特解,1、差分方程的齐次解,这说明y(n)是一个公比为a的几何级数，即：y(n)=Can,一般差分方程对应的齐次方程的形式为：,所谓差分方程的齐次解是满足上式的解。,首先分析最简单的情况，若一阶齐次差分方程的表 示式为：y(n)-ay(n-1)=0,可以改写为：,其中C是待定系数，由边界条件决定。,与微分方程的时域经典法类似，先分别求差分方程的齐次解与特解，然后代入边界条件求待定系数。这种方法便于从物理概念说明各响应分量之间的关系，但求解过程比较麻烦。,a0a N+a1a N-1+ aN-1a
9、 + aN=0,该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1、 a2 、 aN称为差分方程的特征根。,一般情况下，对于任意阶的差分方程，它们的齐次解以形式为Ca n的项组合而成。将y(n)=Ca n代入上式得：,消去常数C，逐项除以a n-N 并化简得：,（1）在特征根没有重根的情况下，差分方程的齐次解为：,C1a1n+ C2a2n+ + CNaNn,（2）在特征根有重根的情况下，齐次解的形式将略有不同。假定a1是特征方程的k重根，那么，在齐次解中，,例7-4-3,常数C1、 C2、 、 CN 由边界条件决定。,相应于a1的解部分将有k项，即：,非重根部分的解与（1）相同。齐次解=重根解+非重
10、根解,C1nk-1a1n+ C2nk-2a1n+ + Ck-1na1n+ Cka1n,（3）当特征根为共扼复数时，齐次解的形式可以是等幅、增幅或衰减等形式的正弦（或余弦）序列。,例7-4-4,例7-4-5,求差分方程齐次解步骤,差分方程 特征方程特征根 y(n)的解析式由起始状态定常数,2、求差分方程的特解,为求特解，首先将激励信号x(n)代入方程式右端， 观察自由项的函数形式来选择含有待定系数的特解函 数式，将此特解函数代入方程后再求待定系数。现在，我们给出几种典型信号之特解的一般形式：,线性时不变系统激励与响应有相同的形式,激励x(n),响 应 y(n) 的 特 解 D (n),nk,D0
11、nk+ D1nk-1+ +Dk-1n+ Dk,sin(nw),D1sin(nw)+D2cos (nw),cos(nw),D1sin(nw)+D2cos (nw),常数 A,D,an,Dan (a不是差分方程的特征根),（ D1n+ D2）an (a是差分方程的单特征根),（ D0nk+ D1nk-1+ +Dk-1n+ Dk ）an (a是差分方程的k阶重特征根),ean,Dean,ejan,Dejan,注意：当差分方程的特征方程有M阶重根1时，则对应于nk形式的激励信号的特解应修正为：,nM（D0nk+ D1nk-1+ +Dk-1n+ Dk）,3、差分方程的完全解（离散系统的完全响应）,返回,
12、例7-4-6,完全解 = 齐次解 + 特解 =,系统的 完全 响应,自由 响应,强迫 响应,Ci由边界 条件决定,例7-4-7,（三）零输入响应+零状态响应,1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次方程,待定系数Ci由起始样值决定(相当于0-的条件),2.零状态响应：起始样值为0，即:y-(n)=0 n 0,例7-4-8,返回,求解方法：与求齐次解相同，解形式为齐次解形式,起始样值决定,起始样值为0时 的初始样值决定,强迫响应,系统完全响应,例7-4-9,例7-4-10,三、传输算子的概念,对于线性时不系统，可以借助算子符号、传输算子等概念来表示或求解系统的数学模型。在连续时间系统中，以算子p
13、表示微分运算。对于离散时间系统，以算子符号：“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。 E也称为移序算子，利用移序算子可写出：y(n+1)=Ey(n),返回,y(n-1)= y(n),对于差分方程 y(n+1) - ay(n) =x(n) 可改写为： （E - a）y(n) =x(n),而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1) 则可表示为：,对于二例，可以引入 传输算子 于是有：,注意：这不是一个代数方程，而是一个运算方程。其特性与连续系统中的算子式类似。,由以上分析看出：算子 （或T、D）表示延迟单位时间的 作用。即：y(n)经 运算给出y(n-1)，这正是规定 作延迟元
14、件符号标志的理由。,求解二阶差分方程 y(n)-5y(n-1)+6y(n-2)=0,特征方程 a2-5a +6=0,齐次解,定C1，C2,解出 C1=5，C2= -3,例7-4-3,特征根 a1=2，a2=3,返回,已知 y(0)=2，y(1)=1。,所以 y(n)=（5*2n -3*3n）u(n),给定边界条件即可求出常数,例7-4-4,返回,求解差分方程,y(n)+6y(n-1)+12y(n-2) +8y(n-3) =0,特征方程 a 3+6a 2+ 12a +8=0 ( a+2)3=0 a1 = a2 = a3 = -2,所以,例7-4-5,设a1 =Me jj a2 = Me -jj,
15、P,Q为待定系数,为减幅正弦序列,为等幅正弦序列,为增幅正弦序列,返回,例7-4-6,齐次解,因为x(n)=5u(n)， n0时为5（常数）,代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0),特解,完全解,已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n)，且y(-1) =1， 求完全解。,特征方程 a +2=0 a = -2,所以 yp(n) =D,所以,由y(-1) =1迭代出：,代入,返回,由边界条件定系数,得：,例7-4-7,求差分方程 y(n) - 2y(n-1)+y(n-2) = nu(n)，y(0)=1、 y(1)= 的完全解。,故齐次解为：（C1n+ C2）*1n = C1n+ C2,2
16、）特解：若按常规方法，则特解应设为： D1n+D2但由于特征根为“1”的二阶重根，故特解应设为：D(n)= n2(D1n+D2),1）因为特征根 a 1,2=1 ( 为1的二阶重根）,将D(n)代替y(n) 代入差分方程 ，并通过系数 比较法，求得：D1= ，D2=,3）完全解为： y(n) = C1n+ C2 +,由y(0)=1、 y(1)= 代入上式,求得：,注意：这里y(0)、 y(1) 是按初始样值y+(0)、y+(1)处理的。,由于激励是在 n=0时加入，所以上述解只在n 0 成立。,4）对于 n0的情况，需用迭代法求出其边界条件y-(n) 。,将y+(0)=1、 y+(1)= 代入
17、该式,由于是因果系统，所以y-(n) = y+(n) (n0),由于n0时的差分方程为 y(n) - 2y(n-1)+y(n-2) =0,所以y(n) = C1n+ C2 代入边界条件得：,即：y(n) = - n+1 (n0),将n 0 ，与n0的解合并得：,返回,零输入响应yzi(n) ,即当x(n)=0时的解。,求系统的零输入响应。,例7-4-8,求起始状态（0-状态）,题中 ,是激励加上以后的,不能说明状态 为0,需迭代求出 。,LTIS的差分方程,由起始状态（0-状态）定C1，C2,解得,零输入响应与输入无关,注意,在求零输入响应时，要排除输入的影响 找出输入加上以前的起始状态。,由
18、起始状态再以x(n)=0代入方程,可以求出初始值,返回,例7-4-9(教材例7-10）,已知系统的差分方程表达式为,y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n),(1)若边界条件y(-1)=0 ，求系统的完全响应；,(2)若边界条件y(-1)=1 ，求系统的完全响应。,(1)由于激励在n=0接入，且给定y(-1)=0 ，因此， 起始时系统处于零状态。由迭代法可求得,y(0)=0.9y(-1)+0.05u(0)= 0.05,由方程可以看出，齐次解为C(0.9)n, 特解为D。 完全解的形式为： y(n)= C(0.9)n+D,将D代替y(n)代入差分方程得：D-0.9D=0.05 所以 D=0
19、.5 ，则完全解为： y(n)= C(0.9)n+ 0.5,再将y(0)=0.05代入y(n)= C(0.9)n+ 0.5得： 0.05= C+ 0.5 所以 C= -0.45,所以，系统的完全响应为：,y(n)= -0.45(0.9)n+ 0.5u(n),自由响应,强迫响应,暂态响应,稳态响应,(2)分别求零状态、零输入响应，然后迭加。先求零状态响应，令y(-1)=0 ，此即第（1）问之结果；则 零状态响应= -0.45(0.9)n+ 0.5再求零输入响应，令激励=0，差分方程表示式为：y(n)-0.9y(n-1)=0则 零输入响应=CZi(0.9)n,自由响应,暂态响应,将边界条件y(-1
20、)=1代入求得： CZi =0.9 ，于是有零输入响应= 0.9 (0.9)n 所以，系统的完全响应y(n)为： y(n)=0.5 - 0.45(0.9)n+ 0.9 (0.9)n,零状态响应,零输入响应,= 0.45(0.9)n+ 0.5,强迫响应,稳态响应,返回,例7-4-10(教材例7-11）,差分方程应用于其它学科。,中国建设银行与北京市住房资金管理中心共同发布 的等额均还个人购房贷款每月偿还金额计算公式为：,(1)设第n个月末欠款为y(n)，可建立如下差分方程,式中P为总贷款金额、I为贷款月利率、还款期限是N个月、每月还款金额R。所谓等额均还即在贷款期限内每月以相等的偿还额 R归还部
21、分本金与利息，N个月还清全部本息。请按照上述规定建立差分方程式，并导出上式。,即：,第0个月欠款为：y(0)=P,(2) y(n)的齐次解为C(1+I)n, 特解为D。将D代替y(n)代入差分方程得：D= (1+I)D-R得：D= R/ I,另外，借助 y(0)=P经迭代求出：y(1)= (1+I)P-R,(3) y(n)的完全解为：,令n=1，求得：,以上二式相等解出：,将系数C代入 y(n)的完全解得到：,为满足N个月全部还清本息应有 y(N)=0，由此可得：,经数学变换可得：,例如，若贷款总金额P为10万元、贷款期限10年 （120个月），年利率为5.13%（月利率I=1/12 5.13%） 可求得每月还款金额R为1067.02元。,返回,
