1、2-1 常系数微分(差分)方程时域求解,LTI系统分析的含义 常系数微分(差分)方程基本概念自由响应与强迫响应 零输入响应与零状态响应 相互关系 差分方程迭代求解, LTI系统分析的含义,系统分析,模式识别,信号检测,课程主要研究系统分析问题，且研究对象为SISO(Single input single output)中的LTI(Linear time invariance)系统。, 常微分(差分)方程基本概念, 常微分(差分)方程基本概念,由于研究对象是LTI系统，所以描述方程应体现线性和时不变性。对于线性，要求微分(差分)方程为线性方程；时不变性则要求方程系数为常数。因而，LTI系统方程为
2、常系数微分(差分)方程。,常系数微分方程；,常系数差分方程；, 自由响应和强迫响应,齐次解,特解,全解, 自由响应和强迫响应-连续, 自由响应和强迫响应-连续,微分方程求解实例1, 自由响应和强迫响应-连续,微分方程求解实例2, 自由响应和强迫响应-离散, 自由响应和强迫响应-离散,差分方程求解实例1, 自由响应和强迫响应-离散,差分方程求解实例2, 零输入响应和零状态响应,零状态响应,零输入响应, 零输入响应和零状态响应, 零输入响应和零状态响应,微分方程求解实例3,微分方程求解实例3, 零输入响应和零状态响应, 零输入响应和零状态响应,差分方程求解实例3,差分方程求解实例3, 相互关系,自
3、由响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,若,且,求系统的输出响应。 解：写出齐次方程,例：已知一个线性非移变系统的差分方程为,既有系统的特征方程,求得特征根,所以系统的齐次解为,由于,，设系统的特解为,将特解代入原差分方程有,注意到取不同值时，上式中的有不同的解，,现在考虑,时，有,所以系统全解为（,时）,，设系统的特解为,现在考虑,时，有,所以系统全解为（,由题给初始值,和,根据原差分方程可得,于是有,联立求解上式得,于是当,时，,系统的输出响应为：,联立求解上式得,于是当,现在考虑n0时，系统的输出响应。在n0时系统的输入为零，即差分方程得齐次解就是系统的输出响应，有,代入初始条件,联立
4、求解得,既有当n0时，系统输出响应为,综合前面的分析结果的差分方程得全解表达式为, 差分方程的迭代求解,已知系统的差分方程为：,系统的初始条件为,输入为,求系统的响应。,差分方程另一种简便的求解方法就是递推法，下面通过例题来说明。,解：题给,所以只需求出,时的输出响应,而,依次递推,实际上，因,时，,，即,所以这时差分方程可以改写成：,上式说明系统的输出具有等比级数形式，即,这就是差分方程的解。,如果将上例中的初始条件改为,其它条件不变，求系统的输出。,解：此题与上一题的要求范围刚好相反，为了求出,时的输出响应，将差分方程改写为：,或,所以有,依此递推下去就得到,注意式中的,差分方程迭代求解实例,
