不定积分典型例题

1、72 第四章 不定积分 习题 习题 习题 习题 A 一 选择题 1 设 xf 的导函数是 xs i n 则 xf 的一个原函数是 A 1 xs in B 1 xs in C 1 c o s x D 1 c o s x 2 设函数 xf 在 上连续 则 dxxfd A xf B f x dx C f x c D dxxf 3 如果 dxxx fCxdxxf 1 22 则 A cxx 22 2 B c。

2、返回返回返回后页后页后页前页前页前页 1 不定积分概念与基本积分公式一、原函数不定积分是求导运算的逆运算. 四、基本积分表三、不定积分的几何意义二、不定积分返回返回返回返回返回返回后页后页后页前页前页前页微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数 F(x), 一、原函数使s tstvt(), () ().=使例如 vt st(), ().已知速度函数 求路程函数 即求,(,kx又如 已知曲线在每一点处的切线斜率 求(), () ,fx y fx=使 的图象正是该曲线 即使得() ().f xkx=() ().F xfx=返回返回返回后页后页后页前页前页前页定义1 fF I设函数 与 在区间 上都。

3、不定积分换元法例题 2009-12-18 1_【第一换元法例题】1、 999 9(57)(57)(5711()(57)5)()dxdxdxd x0017CC【注】 (),(),()xxx2、 1lnllnd221(ll()xxCx【注】 (n),l,(ln)dx3（1） sitacocsicoscsnoxxd dl|l|C【注】 (cs)in,(s)in,si(os)xdxdxdx3（2） cootiiidsil|sl|s|nxCx【注】 (i)c,(in)co,cs(in)xdxdx4（1） 1()daxaln|(|)ln|Cxx 【注】 ()1,()xda4（2） 1dxaxln|(|)ln|Cxa 。

4、第四章 不定积分,1. 不定积分的概念与性质,已知物体运动的位置函数 s = s(t)，求时刻 t 的瞬时速度 v = v(t)。 微分学解决的问题,已知物体运动的速度函数 v = v(t)求运动的位置函数 s = s(t)。 积分学解决的问题,一般，已知函数 f(x), 要找另一个函数F(x), 使 F (x) = f (x)。 积分学的任务,一、原函数与不定积分的概念,定义1：。

5、第16讲,不定积分的例题选讲,不定积分概念 不定积分方法 根据被积函数类型选择方法,一、不定积分概念,例1 下列式子中正确的是,正确的选 (A),+C,+C,dx,例2 如果,则下列等式不正确的是:,答：选(A) ，应改为 f (x)=g(x)+C,例4 已知,则 f (x)=( ),解：,应该选(B),例5 的三种解法:,它们之间只差一个常数:,一、概念,二、方法,基本公式 恒等变形 换元法 (x)=ux=( t ) 分部积分法,恒等变形,1. 代数：拆开，合并，,( )( )，( )( )，,有理化，分解因子等.,2. 三角:半角，倍角，和角,平方和关系，,积化和差、和差化积,例6,(用恒等变形),例7,例8,(用恒。

6、科 技 信 息一 、 直 接 积 分 法直 接 积 分 法 是 求 不 定 积 分 的 基 本 方 法 , 是 基 本 途 径 , 也 是其 他 积 分 方 法 的 基 础 , 这 一 方 法 是 直 接 利 用 积 分 法 则 和 公 式得 出 结 果 , 或 将 被 积 函 数 做 恒 等 变 形 , 使 之 符 合 基 本 法 则 与 公式 , 然 后 再 利 用 积 分 法 则 与 公 式 作 出 结 果 。1 、 利 用 二 项 式 定 理 将 二 项 式 变 为 多 项 式 , 从 而 变 成 多 个单 项 式 求 积 分!x2( 2 - x )3d x =!( 8 x2- 1 2 x3+ 6 x4- x5) d x =83x3- 3 x4+65x5-16x6+ c重 要 的 在 于 细 致 的 分。

7、1不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量 ，而第二换元积分法重点要)(xu求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将 转化成 ，这种转化应是朝有利d于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分， 为无理函数时，常可用换元积分法。)(xf )(xf应该指出的是：积分运算比起微分运算来，。

8、考研复习 不定积分 南京邮电大学 邱中华 2011 年 5 月 1 不 定 积 分 本章的概念主要有两个：原函数和不定积分，在本 章 中我们 复习 要达到的 主要 目标 是 熟练掌握 求原函数 (不定积分 )的 基本 方法和 基本 技巧 . 不定积分法的基本思路是：采用各种方法将被积函数花为基本积分表中被积函数的形式或它们的线性组合，然后利用基本积分表和不定积分的线性性质求出不定积分。因此，基本积分表和不定积分的线性性质是不定积分法的基础，而第一、二类换元法；分部积分法以及对被积函数作代数、三角恒等变形等，是将被积表达式向基本积分表。

9、不定积分习题课 通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求： 1、理解原函数、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。 3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计 算。 4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。 一、知识网络 1 定 不 分 积 某些无理函数积分 三角函数有理式积分 有理函数积分 特殊函数的积分 查表法 分部积分法 第二换元积分法 凑微分法 第一换元积分法 换元积分法 直接积分法 计算。

10、 不定积分的第一类换元法 已知 求 凑微分 做变换 令 再积分 变量还原 求不定积分的第一换元法的具体步骤如下 1 变换被积函数的积分形式 2 凑微分 3 作变量代换得 4 利用基本积分公式求出原函数 5 将代入上面的结果 回到原来的积分变量得 注 熟悉上述步骤后 也可以不引入中间变量 省略 3 4 步骤 这与复合函数的求导法则类似 第一换元法例题 1 注 2 注 3 1 注 3 2 注 4 1 。

11、不定积分 内容提要与典型例题,第四章 不定积分内容提要,积分法,原 函 数,选择u有效方法,基本积分表,第一换元法 第二换元法,直接积分法,分部积分法,不 定 积 分,几种特殊类型函数的积分,一、主要内容,第四章 不定积分内容提要,1、原函数,2、不定积分,(1) 定义,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,3、积分法：三法一表,第四章 不定积分内容提要,4、基本积分表（24个公式）,5、直接积分法（分项积分法）,6、第一类换元法（凑微分法）,凑微分法的主要思想：,将不同的部分中间变量与积分变量变成相同，使之能套用基本。

12、1 不定积分小结 一 、 不定积分基本公式 (1)xa dx = xa+1a + 1 + C(a 1) (2)1xdx = ln|x| + C (3)ax dx = axlna + C (4)sinxdx = cosx + C (5)cosxdx = sinx + C (6)tanxdx = ln|cosx| + C (7)cotxdx = ln|sinx| + C (8)secxdx = ln|secx + tanx| + C (9)cscxdx = ln|cscx cotx| + C (10)sec2 xdx = tanx + C (11)csc2 xdx = cot x + C (12) dx1+x2 = arctanx + C (13) dxx2+a2 = 1aarctanxa + C (14) dxx2a2 = 12aln|axa+x| + C (15) dxa2x2 = 12aln|a+xax| + C (16) 12 =。

13、1不定积分例题例 1、设 的一个原函数是 ，则 （ ）)(xf xe2)(fA、 B、 C、 D、e2x4xe24xe2分析：因为 的一个原函数是)(f所以 x2xexe2答案：B例 2、已知 ，则 （ ）cxdxfsin)()(xfA、 B、 C、 D、sincosxcos分析：对 两边求导。xxfsi)(得 ，所以co)(fxcs答案：C例 3、计算下列不定积分1、 dxx23)1(2、 xex)sin(2分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形解：1、 dxx23)1( dx)1(3c 223ln2、 dxex)sin3(2 dxex2si1)( cxexot3l)(例 4、计算下列积分21、 dx22、 ex2)(分析：注意到这几个被积函数。

14、- 1 - 求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！(1) 思路: 被积函数 ，由积分表中的公式（2）可解。2dx51x解： 532C(2) 思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 3()xd解： 1141333222(xdxC(3) 思路 :根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。2x（ ）解： 231lnxxd（ ）(4) 思路:根据不定积分的线性性质，将被 积函数分为两项，分 别积分。(3)解： 15322xxdC(5) 思路: 观察到 后，根据不定积分的线性性。

15、不定积分的分布积分法第三节第 4章二、典型例题一、主要内容三、同步练习四、同步练习解答一、主要内容由导数公式vuvuuv+=)(积分得 xvuxvuuv dd+=xvuuvxvu dd=uvvuvu dd= 分部积分公式公式的作用：改变被积函数(一) 分部积分公式(二) 分部积分法选u的一般原则：xxv d)(d)1( =).()()(,d)( xxxfxxf =其中设,d)( 易积分xx ;易求v.dd)2( 易积分比vuuv(三) 分部积分法选u特例xxxxexnxndsind)1(nxu=设 （例 1，例 2）xxxndln)2(xu ln=设（例 3(1)）xxxndarcsin)3(xu arcsin=设（例 3(2)）xxvndd =(四) 分部积分法选u优先原则“对反代三指 ” 法(。

16、1不定积分与定积分部分典型例题例 1 验证 和 是同一个函数的原函数, 并说2)ln1()xxFxGln1(2明两个函数的关系. 分析 依原函数的定义, 若 和 的导数都是某个函数 的原函数, 即有)(F)(f, 则 和 是 的原函数 . 所以, 只需验证 和)()(xfGx x)(f )(xF的导数是否为同一个函数即可. 解 因为 xxFln1)ln1()G所以 和 是同一个函数 的两个原函数. 2)l()xxxln(2 xln1且有 2)(1ln11GF说明两个原函数之间仅相差一个常数. 例 2 已知某曲线 y=f(x)在点 x 处的切线斜率为 , 且曲线过点 , 试求曲线方程. x)34(分析 根据不定积分的几何意 义, 所求曲线方程为过。

17、一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,注意常见的换元积分类型, 如掌握P205P206 公式(16) (24)的推导方法,(代换: ),3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u ,排后者取为,计算格式: 列表计算,多次分部积分的 规 律,快速计算表格:,特别: 当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便 .,例1. 求,解:,原式,例2. 求,解:,原式,分析:,例3. 求,解 :,原式,分部积分,例4. 设,解:,令,求积分,即,而,。

18、常用微分公式,例2. 求,解:,例3. 求,解:,例4. 求,f (x)=,x2+1, x0.,解:,而要使F(x)成为f (x)在R上的原函数，必须F(x)连续，从而C10，C21，因此满足条件的函数为,故,例5,例6,例7,例8,解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以,已知当 x=0 时，y=1000，,因此有 C =1000，,作业：P137：5 (2)（5) (10) (15).,例2.,解：观察,中间变量u=x2+1,但 u=x2+1的导数为,u = 2x,在被积函数中添加2个因子,u,因此,例3.,解:,u,u,du,例4.,解：能想出原函数的形式吗？,记得这个公式吗？如何用这个公式？,例5. 求,解：,例6,解：,例7 求,解,例8 求,解,例9 求。

19、 1不定积分典型例题 一、直接积分法 直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法， 解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式. 例1、求dxxxx )11(2解 原式Cxxdxxx +=41474543474)( 例2、求dxeexx+113解 原式Cxeedxeexxxx+=+2221)1( 例3、求dxxx 22cossin1解 原式+=+= dxxdxxdxxxxx222222sin1cos1cossincossinCxx += cottan 例4、dxx2cos2解 原式Cxxdxx+=+2sin2cos1例5、dxxx+221解 原式+=+= dxxdxxx)111(111222Cxx += arctan 注：本题所用“ 加 1 减 1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧. 二。