1、返回返回返回后页后页后页前页前页前页 1 不定积分概念与基本积分公式一、原函数不定积分是求导运算的逆运算. 四、基本积分表三、不定积分的几何意义二、不定积分返回返回返回返回返回返回后页后页后页前页前页前页微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数 F(x), 一、原函数使s tstvt(), () ().=使例如 vt st(), ().已知速度函数 求路程函数 即求,(,kx又如 已知曲线在每一点处的切线斜率 求(), () ,fx y fx=使 的图象正是该曲线 即使得() ().f xkx=() ().F xfx=返回返回返回后页后页后页前页前页前页定义1 fF I设函数 与 在
2、区间 上都有定义,若fF I .则称 为 在区间 上的一个原函数F xfx() ()= ，,x I32(ii)3xx是 的一个原函数:xx32.3=).()(例 1st vt(i) ( ) ( )路程函数 是速度函数 的一个原函tvts =数:返回返回返回后页后页后页前页前页前页xxx221(iii)ln( 1 )1+是 的一个原函数:( )221ln( 1 ) .1xxx+ =+从 (iii) (iv)可以看出, 尽管象( )221(iv) 1 arcsin 1 :2xx x x+ 是 的一个原函数( )11 arcsin 1 .2x xxx+ =22111xx+和返回返回返回后页后页后页前
3、页前页前页研究原函数有两个重要的问题 :1. 满足何种条件的函数必定存在原函数 ? 如果存在原函数,它是否惟一? 2. 若已知某个函数的原函数存在 , 如何把它求出这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不是一件容易的事.来?返回返回返回后页后页后页前页前页前页第一个问题由以下定理回答.定理8.1 (原函数存在性定理 )fI fI,若函数 在区间 上连续 则 在 上存在原函() ().F xfx=在第九章中将证明此定理 .数 F, 即返回返回返回后页后页后页前页前页前页定理8.2 (原函数族的结构性定理)() () ,Fx fx I设 是 在区间 上的一个原函数 则(i) ( ) ( ) ,F
4、 xC fx I C也是 在 上的原函数 其中+(ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间 , 只可能相差.为任意常数一个常数.返回返回返回后页后页后页前页前页前页证(i) ( () ) () (), ()F xC Fx fx FxC由知 + = +() .fx I也是 在 上的原函数(ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原)()()()( xGxFxGxF=由第六章拉格朗日中值定理的推论 , 即知 F xGxC() () .() () 0.fx fx= =函数, 则返回返回返回后页后页后页前页前页前页fx x()d ,二、不定积分定义2 f If
5、函数 在区间 上的全体原函数称为在 I 上的不定积分, 记作,() ,xf其中称 为积分变量 为被积函数()d .fx x为积分表达式, 为积分号() () , 8.2,Fx fx若 是 的一个原函数 则由定理 ()d () R.fx x Fx C C=+返回返回返回后页后页后页前页前页前页为方便起见 , 我们记()d () .fx x Fx C=+其中由此, 从例 1(ii) (iii) (iv)可得 := +x xxC231d,322dln( 1 ) ,1xx xCx= + +( )2211 d 1 arcsin .2x xxx xC= + +.C 为任意常数返回返回返回后页后页后页前页前
6、页前页若 F (x)是 f (x) 的一个原函数 , 则称 y = F (x) 的图所有的积分曲线都是三、不定积分的几何意义()y Fx C= +00(,)xy()y Fx=ixOy像是 f (x) 的一条 积分曲线 .到的. 沿纵轴方向平移而得由其中一条积分曲线返回返回返回后页后页后页前页前页前页例如, 质点以匀速 v0 运动时 , 其路程函数00() d .s tvtvtC= =+若 t0 时刻质点在 s0 处 , 且速度为 v0, 则有000() ( ).s tvtt s= +的原函数正是在积分曲线中00()F xy=满足条件),(00yx通过点 的那一条积分曲线.返回返回返回后页后页后
7、页前页前页前页由基本求导公式可得以下基本积分公式 : 1. 0d .x C=2. 1d d .x xxC= =+13. d ( 1, 0).1xxx C x+= +14. d ln | | .x xCx= +5. e d e .xxxC= +四、基本积分表6. d .lnxxaax Ca= +返回返回返回后页后页后页前页前页前页7. cos d sin .x xxC= +8. sin d cos .x xxC=+29. sec d tan .xx x C= +210. csc d cot .xx x C=+11. sec tan d sec .x xx x C =+12. csc cot d
8、csc .x xx x C = +2d13. arcsin arccos .1xx CxCx= += +2d14. arctan arccot .1xx CxCx= += +返回返回返回后页后页后页前页前页前页由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算定理 8.3 (不定积分的线性运算法则)12 1 2() ()d ()d ()d.kf x kgx x k f x x k gx x+=+ 上都存在原函数 , k1, k2为fg I若函数 与 在区间kf kg I12,+ 在 上也存在原函数 且任意常数, 则+=+nnnnaaapx x x x x ax Cnn12011()d .null例 1
9、,)(1110 nnnnaxaxaxaxp +=null则法则.返回返回返回后页后页后页前页前页前页例 2+=+ +xx xxx x422212d(1 )d11= + +x xxC312arctan .3例 3x x2tan d= +x xCtan .=x x2(sec 1)d=+xxx22(10 ) (10 ) 2d221(10 10 ) 2 .2ln10xxx C= +例 4xxx2(10 10 ) d=+xxx22(10 10 2)d返回返回返回后页后页后页前页前页前页2 换元积分法与分部积分法一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法不定积分是求导运算的逆运算, 相应部积分法.
10、 求导 公式, 不定积分有换元积分法和分于复合函数求导数的链式法则和乘法返回返回返回返回返回返回后页后页后页前页前页前页定理8.4 (第一换元积分法 )gu() , 设 在 上有定义， = +gu u Gu C()d () .且上可导，在又 ,)( baxu = .,)( baxx 且则= gx xx guu() ()d ()dCuG += )( = +() . (1)GxC证 =d() () ()dGx G x xx因为).()( xxg =一、第一换元积分法所以(1)式成立.返回返回返回后页后页后页前页前页前页第一换元积分法亦称为凑微分法, 即= =+ gx xx gx xGx C() (
11、)d ()d() () , (1) d d( );ax ax= (2) d d( );x xa= +11(3) d d( );1xx x+=+(4) cos d d(sin );x xx= x xx(5) sin d d( cos );1(6) d d(ln );x xx=2(7) sec d d(tan );x xx=2d(8) d(arctan ).1xxx=+常见的凑微分形式有=() ().Gu gu其中返回返回返回后页后页后页前页前页前页例 1).0(d22+axax求解+=+2221d1daxaxaxax21d1ua u=+Cua+= arctan1.arctan1Caxa+=返回返
12、回返回后页后页后页前页前页前页例 2 ).0(d22aaxx求解=+22d111d2xxxa axaxa1d( ) 1d( )22x axaaxa axa += +|ln21|ln21axaaxa+=.ln21Caxaxa+=返回返回返回后页后页后页前页前页前页例 3.d12xxx求解()1222211d 1 d()2xxx x x=()()122211d12x x= ()32212123x C= +()32211.3x C= +返回返回返回后页后页后页前页前页前页解32sin d sin sin dx xxx= 2(1 cos )dcosx x31cos cos .3x xC=+ +例 5.
13、lndxxx求解dd(ln)ln lnx xx xx=ln ln .x C= +例 4 .dsin3xx求返回返回返回后页后页后页前页前页前页11sinln .21sinxCx+= +(解法二)sec (sec tan )sec d dsec tanx xxx xxx x+=+=xxxxtansec)tan(secd.|tansec|ln Cxx +=解(解法一) = 2d(sin )1sinxxsec dx x= 2cosdcosxxx例 6 .dsecxx求返回返回返回后页后页后页前页前页前页定理8.5 (第二换元积分法 )() , ,gu 若 在 上有定义,)( baxu 在=上可导 , =+1()d ( () . (2)gu u F u C则证() 0 ,x在的条件下() 0, ,x xab必有() 0, ,.x xab或 axxa求解 =+22d(0).xaax解=aaxx求解sec , 0 ,2xa t t=+aaxx求解tan , | | ,2xa t t=+222244dsecd() secxattxa at=231cos dtta=+31(1 cos 2 )d2ttaCttta+= )cossin(213.arctan21223Caxaxaxa+=a22ax +xt
