变分法模型

1、第五章变分法简介 胡衡武汉大学土木建筑工程学院 弹性力学及有限元 二零零八年六月 函数的变分 如果对于变量x在某一变域上的每一个值 变量y有一个值和它对应 则变量y称为变量x的函数 记为 如果由于自变量x有微小增量dx 函数y也有对应的微小增量dy 则增量dy称为函数y的微分 记为 假想函数的形式发生改变而成为新函数 如果对于x的一个定值 y具有微小增量 增量称为函数的变分 函数的变分 y x1 。

2、第五章 用变分法解最优控制 泛函极值问题,本章主要内容,5.1 变分法基础 5.2 无约束条件的泛函极值问题 5.3 有约束条件的泛函极值动态系 统的最优控 制问题 5.4 小结,在动态系统最优控制问题中，性能指标是一个泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函极值问题的有力工具是变分法。所以下面再次列出变分法中的一些主要结果，可对照微分学中的结果来理解，以加深印象及理解。,5.1 变分法基础回顾,如果对某一类函数 中的每一个函数 ，有一个实数值 与之相对应，则称 为依赖于函数 的泛函，记为,简单来说，泛函是以函数为自变量的函数。,1。

3、用差分法和变分法解平面问题,第五章,合肥工业大学本科生教学,弹性力学,主讲教师：袁海平 (副教授、博士后),一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程 四、位移变分法 五、位移变分法例题,第五章 用差分法和变分法解平面问题,内容提要,弹性力学简明教程(第三版),徐芝纶院士(1911-1999),弹性力学,用差分法和变分法解平面问题,3,弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。,因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解，得。

4、1 变分法 2 取极值必须满足 1696年瑞士数学家约翰 贝努里提出的 最速降线问题 发表于 教师学报 引起广泛关注 1697年该杂志刊登了牛顿 莱布尼兹 洛比达和贝努里兄弟的解法 殊途同归 虽蕴含着天才思想 但还是不能建立起变分法 历史安排了大数学家尤拉 1734年解决了更广泛的最速降线问题 但他还不满意 最终他找到了 1736年的论文 4 1变分法基本概念与基本理论 历史往事 导致变分法建立的。

5、dL,1.变分法 1.1 泛函与变分定义 1.1.1 泛函的概念 引例1： 平面两点 A (x0, y0)、B (x1,y1)，求连接A、B两点的最短弧线。 解：设A、B 两点间函数为y=y(x) 则由弧长微分公式 L 随函数y =y(x) 的选取而变，它是一个泛 函。用间接法确定使L最短的函数曲线即泛函有极 值的自变函数曲线为 y =c1x+c2 ,1阶导数2个待定常数 其中常数 c1 、c2可由边界点A、B的坐标（即边 界条件）确定。,引例2：求通过两点A (x0, y0)、B (x1, y1)且长度l 为一定值的函数曲线y=y(x)，使图中曲边梯形ABCD的面积AS达到最大。,（1.2） AS依y的选取而定，它也是一个泛。

6、第1章 最优控制中的变分法,本章主要内容：1.1 变分的基本概念1.2 无约束条件的最优化问题1.3 具有等式约束条件的最优化问题1.4 应用变分法求解最优控制问题,1.1 变分的基本概念,例1-1 最速降线问题最速降线问题对变分学的创立产生过重大影响。确立一条连结定点A(0，0)和定点B(xf，yf)的曲线。使质点在重力作用下从点A滑动到点B所需的时间最短(忽略摩擦和阻力的影响)。 解：最速降线问题的示意图如下,(1)泛函的概念,函数： 对于变量x的某一变域中的每一个值，y都有一个值与之相对应，那么变量y称作变量x的函数。 记为： y=f (x)x称为函数的。

7、从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了一些切实可用的近似方法，通过本章的学习我们会看到近似解的价值一点也不低于严格解的价值事实上，我们应该已经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定，定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解其实也是某种程度的近似,第十三章 变分法,贮竟麓入弘环胸旨啮驮碗鬼幼努窄泡构滦箱队憾谐蜘甄检牙称伪陀眶氏循数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 。

8、第二讲 变分法与最优控制,主要内容,2.1 变分法概述 2.2 无约束最优化问题 无约束固定端点泛函极值必要条件 无约束自由端点泛函极值必要条件 2.3 等式约束最优化问题 2.4 变分法求解最优控制问题 引入哈密顿函数求解拉格朗日问题 求解综合型（波尔扎）问题,2.1 变分法概述1、泛函定义2、泛函的连续性3、泛函的极值4、线性泛函5、泛函的变分6、泛函变分的求法7、泛函变分的规则8、泛函极值的条件,2.1 变分法概述,1、泛函定义 定义：如果变量y对于某一函数类中的每一个函数x(t)，都有一个确定的值与之对应，那么就称变量y为依赖于函数x(t)的。

9、 -336- 第十八章 动态优化模型 动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题， 这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。 1 变分法简介 变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果， 然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。 1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函 设 S 为一函数集合， 若对于每一个函数 Stx )。

10、计算物理,http:/125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics,泛函和变分法,泛函和变分法,泛函和变分的基本概念 最简泛函的极值问题 其它类型泛函的极值问题 泛函和变分用于微分方程边值问题,泛函和变分的基本概念(1/4),泛函的定义 例(最短路径)：设 C 为定义在 a, b 上、满足条件 y(a) = y1 和 y(b) = y2 的、所有可微函数 y(x) 的集合。用 L 表示这样一段曲线的长(如右图所示)，L = Ly(x) 问题：沿哪一条路径的路程最短 函数的形式 y(x) 不同,例(捷线问题)：质点在重力作用下沿一条光滑的、从点 A 到点 B 的曲线运动，所需的时间 T 取决。

11、2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,1,最优控制,中南大学 信息科学与工程学院韩华 2008.03,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,2,第二章 变分法及其 在最优控制中的应用,2.1 变分法简介 2.2 泛函的变分 2.3 欧拉方程 2.4 横截条件 2.5 泛函局部极值的充分条件 2.6 等式约束条件下的变分问题 2.7 利用变分法求解最优控制问题 小结,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,3,2.1 变分法简介,作为数学的一个分支，变分法(calculus of variations)的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果: 约翰伯努利（Johann。

12、第6章 变分法与边值问题,通过求解一个相应的泛函的极小函数而得到偏微分方程边值问题的解，这种理论和方法通常叫作偏微分方程中的变分原理，简称变分方法。本章通过求解一类边值问题和特征值问题简单介绍该方法的理论及其应用。,第6章 变分法与边值问题,6.1 边值问题与算子方程 6.1.1 薄膜的横振动与最小位能原理考虑张在平面有界区域 上的均匀薄膜在垂直于平面的外力作用下的微小横振动，薄膜的边缘固定在 上。利用微元分析法可得薄膜的总位能为其中，T 表示张力，F(x,y) 表示外力面密度，u(x,y) 表示薄膜在点 (x,y) 出垂直于平面方向的。

13、第11章 变分法（能量原理）,11.1 弹性体的应变能,11.1.1 简单应力状态下的应变能,11.1.2复杂应力状态下的应变能,11.2 位移变分方程、最小势能原理,外力在虚位移上所做的虚功为：,由于虚位移而产生的虚变形能为：,功能原理：,位移变分方程 ：,最小势能原理 ：,弹性体的总势能（能量泛函）：,1）体系的总势能取极值（变分原理）,2）实际的弹性体为稳定平衡状态（能量取最小值）,11.3 最小势能原理与平衡方程、应力边界条件的等价性,11.4 基于最小势能原理的近似解法,11.4.1 Rayleigh-Ritz（瑞利-里茨）法,所设位移解不必精确满足平衡方程与。

14、什么是变分法 约翰 伯努利 JohannBernoulli 1667 1748 1696年向全欧洲数学家挑战 提出一个难题 设在垂直平面内有任意两点 一个质点受地心引力的作用 自较高点下滑至较低点 不计摩擦 问沿着什么曲线下滑 时间最短 这。

15、结构分析是有限单元法最早、也是最广泛应用的领 域。 前面以弹性力学平面问题为例，阐释了有限单元法的 基本内容。这样的介绍具有直观性，但缺乏系统性和深刻 性。为加深对有限单元法的理解，本章将系统而深入地阐述 有限单元法的基本原理，,内容包括： (1)介绍定解问题的微分方程提法； (2)根据微分方程的等效积分形式，推导虚位移原理及势能变分原理，从而建立定解问题的泛函变分提法； (3)基于势能变分原理推导位移有限单元法的普遍公式，并对 位移有限元解的性质和收敛性作简要说明；,4.1微分方程提法在物理或工程问题中，位移、应力。

16、 -336- 第十八章 动态优化模型 动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题， 这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。 1 变分法简介 变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果， 然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。 1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函 设 S 为一函数集合， 若对于每一个函数 Stx )。

17、,1变分法简介 2 产品价格最佳调整 3 生产设备最大经济效益,变分法建模,1 变分法简介,一、变分法的基本概念 1.容许函数集 满足条件 (1) 在 上逐段连续可导;(2)满足边界条件的一切函数 构成容许函数集. 2. 适合不等式 的容许 函数集,称为函数 的 邻域. 3.泛函的概念设S为一个容许函数集,若对于每一个函数 都有一个实数J与之对应,则称定义在S 上的泛函,记为.,例如,函数的定积分 是一个泛函.,4.泛函的连续性如果对于任意给定的正数 ,存在正数 ,当时,能使 ,则称泛函 在 处是k阶接近的连续泛函.,5.泛函的变分设 在 处的增量记为 ,如果泛函 在 处。

18、第九章 变分法真实的位移除了满足位移边界条件外，根据它们求得的应力还应满足应力边界条件和平衡微分方程。求解微分方程的边值问题，只有在简单的情况下，才能得到解析解。多数情况下，只能采用数值计算的方法。,基于能量原理的变分法为数值计算提供了理论基础。其中基于最小势能原理的里滋方法等可用于数值计算。,第一节 变形能与最小势能原理 第二节 位移变分法里滋方法 第三节 伽辽金方法 第四节 应力变分法,设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为u,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用。

19、变分法模型,在数学分析中，大家已经学会了如何确定某一函数的极值问题，看到了其应用的广泛性。在许多工程实际问题中，我们还常常需要求另一类特殊的量即函数的函数的极值问题。通常将函数的函数称为泛函。,1 变分法简介,变分法是研究泛函极值问题的数学方法。本节就变分法的基础知识作简要介绍，需要深入了解的读者可阅读有关专著。,变分法的基本概念,泛函极值的必要条件欧拉方程,条件极值 哈密尔顿（Hamilton）函数,经讨论（略）可知作辅助泛函,其中,均为常数。,( 15）,写出其欧拉方程组求出其解即可。,2 最速降线问题,分析与建模,评注,。