边值问题

1、基础数学专业优秀论文 四阶微分方程 Neumann 边值问题关键词：四阶微分方程 变号解 Neumann 边值问题 不动点指数 临界群 存在性摘要：在这篇文章中，我们主要研究四阶微分方程 Neumann 边值问题：两个变号解的存在性.论文分三章：第一章为引言；在第二章中，我们介绍了一些预备知识，证明了一些引理，并且用拓扑度理论，变分方法和无穷维 Morse 理论得出了方程(1.1)至少有一个正解，一个变号解，进一步用临界群计算出了第一个变号解的不动点指数，这个结果用传统的临界点理论和不动点指数理论是无法得到的；在第三章中，我们应用第二章的。

2、微分方程数值解 实验七 学号 班级 姓名 指导教师 实验题目 打靶法求边值问题 评 分 实验要求： （1） 掌握打靶法求边值问题 问题： 用打靶法求如下边值问题 2、实验内容：（求解过程，包括简单的分析，求解程序代码，所得结果） 程序代码： （1）先猜测初值，调用T7函数龙格库塔算法计算出该初值下的边界值，与题中的边界值相减，计算差值，既F(s)=yb-y(b). function y=f(。

3、基础数学专业优秀论文 四阶 m 点边值问题的多解关键词：非线性微分方程 不动点指数 四阶 m 点边值问题 非线性泛函分析摘要：近年来，在数学，化学，物理学，生物学，医学，经济学，工程学，控制理论等许多科学领域中出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的过程当中，逐渐形成了现代分析学中一个非常重要的分支-非线性泛函分析它主要包括半序方法，拓扑方法和变分方法等内容，为当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具，尤其是在处理应用学科中提出的各种非线性微分方程问题中发挥着不可替代的作用1912 。

4、学 生 实 验 报 告实验课程名称 偏微分方程数值解 开课实验室 数统学院 学 院 数统 年级 2013 专业班 信计 2 班 学 生 姓 名 学 号 开 课 时 间 2015 至 2016 学年第 2 学期总 成 绩教师签名数学与统计学院制开课学院、实验室： 数统学院 实验时间 ： 2016 年 月 日实验项目类型实验项目名 称 两点边值问题的有限差分法 验证 演示 综合 设计 其他指导教师 曾芳 成 绩 是一实验目的通过该实验，要求学生掌握求解两点问题的有限差分法，并能通过计算机语言编程实现。二实验内容考虑如下的初值问题：(1), ,duxduxLuprqxfabx(2), ab其中 ， ，。

5、1课程名称： 数值代数课程设计 指导教师： 刘兰冬 班级：姓名：学号：实验项目名称：二阶常微分方程边值问题实验目的及要求：二阶常微分方程边值问题，311022)(,(uxxdu（该问题真解为： ）步长 h 自己选定，利用差分法求出近似解，利2x)(用 MATLAB 函数画出比较图形。2实验原理：一、微分方程：微分方程是现代数学中一个很重要的分支，从早期的微积分时代起，这个学科就成为了理论研究和实践应用的一个重要领域。在微分方程理论中，定解条件通常有两种提法：一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态，相应的定解条件称为初值问题；另一种是。

6、基础数学专业优秀论文 四阶奇异边值问题的正解关键词：常微分方程 奇异边值问题 正解 不动点理论 存在性摘要：近 40 年来，由于常微分方程奇异边值问题在自然科学和工程技术中应用越来越广泛，受到了国内外学者的普遍关注，不断产生新的研究成果，对自然科学的发展和工程技术的应用奠定了很好的基础。正解的存在性和多解性是微分方程奇异边值问题研究的重要课题。本文用上下解方法和不动点理论讨论了三类微分方程在不同控制条件下正解的存在性。 本文共分四章： 第一章为绪论，阐述常微分奇异边值问题的研究背景。 第二章主要用不动点定理。

7、1实验八边值问题的求解在 2011 年全国大学生数学建模邀请赛的 A 题的数学模型可归结为如下常微分方程组的边值问题:(1).cos)(d,sind,copaskyx,0cs其中 ， ， 是参数.0apc11,0边值条件是(2)0)(,)(,0)(,)(,)( ckyx从物理意义上考虑，可分成以下 3 种情况来讨论:1 当梁不与地面接触时，要去掉(2)中最后一个边值条件. 并且 c=1，p=1 ，四个边值条件就惟一确定了解, 记 ， .)1(0yh)(0.2 当梁仅与地面是线接触时，去掉(2)中最后一个边值条件. 并且 c=1，这时存在一个临界值 ， ，使得当 时，四个边值条件惟一确定了1p1),1p解，当 从 1 单调减到 。

8、微分方程边值问题的数值方法本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。二阶常微分方程为* MERGEFORMAT (1.1)(,),yfxyaxb当 关于 为线性时，即 ，此时* (,)fxy, ()()pyqrxMERGEFORMAT (1.1)变成线性微分方程* MERGEFORMAT ()(),ypxqyrxab(1.2)对于方程* MERGEFORMAT (1.1) 或* MERGEFORMAT (1.2)，其边界条件有以下 3 类：第一类边界条件为* MERGEFORMAT (1.3)(),()yayb当 或者 时称为齐次的，否则称为非齐次的。0第二类边界条件为* MERGEFORMAT (1.4)(),()yayb当 或者 时称为齐次的，否则称为非齐次的。0第三类边界。

9、常微分方程边值问题数值解法 - 正文用某种离散化数值步骤求出常微分方程边值问题在离散点上的近似解的方法。各种实际问题导出不同类型的边值问题。较简单的有二阶常微分方程两点边值问题：求函数 y=y(x)，x【,b 】，使它满足微分方程 和边值条件 式中 、g 1、g 2 为已知函数； 与 b 为两个给定的端点。较一般地有一阶常微分方程组两点边值问题:求 N 个函数 使其满足微分方程组 和边值条件 式中诸 n、g i是已知函数;r 为给定的自然数。有些问题因求解区间是无穷区间而被称作奇异边值问题，相应的边界条件变为对解在无穷远处渐近行为的限制,。

10、,4.1 边值问题的唯一性定理,一、边值问题,边值问题是指存在边界面的电磁问题。,根据给定边界条件对边值问题分类：,第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。,第二类边值问题：已知函数在边界面上的法向导数。,第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界面上的函数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。,二、唯一性定理,唯一性定理内容：在场域V的各边界面S上给定电位 或 。

11、第三章边值问题的变分形式 1 二次函数的极值 2 两点边值问题 3 二阶椭圆型边值问题,第三章边值问题的变分形式,1 二次函数的极值,定理1.1 设矩阵A对称正定，则下列两个问题等价：,2 两点边值问题,u,x,x,l,A,B,0,广义导数概念,广义导数概念,引理2.1 （变分法基本引理）,例子2,其示意图，曲线的峰无限高，但无限窄，但曲线下的面积为1。为偶函数。 这种函数的提出首先是物理的要求，如质点概念，有质量，体积为零，所以密度为无穷，但密度对体积的积分却是一个有限值，即质量。可以用这种函数描述质点密度。,t,Sobolev空间,例子1,两个基本性。

12、第三章 静电场的边值问题,主 要 内 容电位微分方程，镜像法，分离变量法。,1. 电位微分方程2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法4. 圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法,1,1. 电位微分方程,已知电位 与电场强度 E 的关系为,对上式两边取散度，得,对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E 的散度为,那么，电位满足的微分方程式为,泊松方程,2,拉普拉斯方程,对于无源区， ，上式变为,已知分布在V 中的电荷 在无限大的自由空间产生的电位为,上式为泊松方程在自由空间的特解。,利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解。

13、第一章，边值问题的变分形式1.1 二次函数的极值定理 1.1 设矩阵 A 对称正定，则下列两个问题等价：（1）求 使0nxR0()mi()nxRJJ其中1(),)(,.2Ab（2）求下列方程组的解：x1.2 两点边值问题1. 弦的平衡用 表示在荷载 force 作用下弦的平衡位置。Balance position of string 根()u()fx据力的平衡条件， 满足微分方程()u（2）,0Tfxl其边值条件为（4）(0),(),uul其中 为弦的张力。tensionT另一方面，由力学的“极小位能原理” ，弦的平衡位置 是在满足（4）的一*()ux切可能位置中，使位置能量取得最小者。应变能为 strain2 01();lWTudx内外力 所。

14、1,第6章 静态场边值问题的解,本节内容6.1 边值问题的类型6.2 唯一性定理,边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程,2,6.1 边值问题的类型,已知场域边界面S 上的位函数值，即,第一类边值问题（或狄里赫利问题）,已知场域边界面S 上的位函数的法向导数值，即,已知场域一部分边界面S1 上的位函数值，而另一部分边界面S2 上则已知位函数的法向导数值，即,第三类边值问题（或混合边值问题）,第二类边值问题（或纽曼问题）,3,自然边界条件 （无界空间）,周期边界条件,衔接条件,不同媒质分界面上的边界条件，如,4,例：。

15、把待解的问题转化为标准边值问题 因为边值问题可以多解，所以需要为期望解指定一个初始猜测解。该猜测解网（Mesh）包括区间a, b内的一组网点（Mesh points）和网点上的解S(x) 根据原微分方程构造残差函数 利用原微分方程和边界条件，借助迭代不断产生新的S(x)，使残差不断减小，从而获得满足精度要求的解,Matlab求解边值问题方法：bvp4c函数,solinit=bvpinit(x,v,parameters)生成bvp4c调用指令所必须的“解猜测网”sol=bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options,p1,p2,)给出微分方程边值问题的近似解sxint=deval(sol，xint)计算微分方程积分区。

16、微分方程边值问题的数值方法本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。二阶常微分方程为* MERGEFORMAT (1.1)(,),yfxyaxb当 关于 为线性时，即 ，此时* (,)fxy, ()()pyqrxMERGEFORMAT (1.1)变成线性微分方程* MERGEFORMAT ()(),ypxqyrxab(1.2)对于方程* MERGEFORMAT (1.1) 或* MERGEFORMAT (1.2)，其边界条件有以下 3 类：第一类边界条件为* MERGEFORMAT (1.3)(),()yayb当 或者 时称为齐次的，否则称为非齐次的。0第二类边界条件为* MERGEFORMAT (1.4)(),()yayb当 或者 时称为齐次的，否则称为非齐次的。0第三类边界。

17、1 静电场的边值问题1镜象法的理论依据是（ ）。基本方法是在所求场域的外部放置镜像电荷以等效的取代边界表面的（ ）。2根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界，则选直角坐标；圆柱面选圆柱坐标系；球面选球坐标。以便以简单的形式表达边界条件。将电位函数表示成三个一维函数的乘积，将拉普拉斯方程变为三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足条件的特解，称为（ ）3将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布（或束缚电荷分布）用等效的点电荷或线电荷（在场区域外的某一位置处）替代并保证边界条件不变。原电荷与等效。

18、第四章静态场中的边值问题,解边界值问题的方法：1、理论计算方法 解析法 近似计算法数值计算法图解法2、场的实验研究方法： 直接测量法 电模拟法,4.1 问题的分类,一、分布型问题 (1) 已知场源分布，求解电场或磁场。 (2) 已知电场（或电位）、磁场分布，反推场源。 二、边值型问题 边值型问题究竟是什么？ 边值型问题都有哪些类型？ 怎样保证边值型问题有且仅有惟一解？（惟一性定理 ）,静态场边值型问题：已知场量（或其位函数）在场域边界上的值（含法向导数），求解场域内部任一点的场量。 定解条件=泛定方程+边界条件+初始条件。 衔接。

19、第五章 静态场边值问题的解,静态场问题有两种类型：一类是分布型问题，已知场源分布，求场中各点场强或电位，或已知场分布，求场源分布；一类是边值型问题，已知场中不同媒质分界面上的位函数或其法向导数，求场内位函数的分布。一般都可用泊松方程或拉氏方程来描述，并通过给定一定的边界条件来求解。,求解静态场的边值问题实际就是求解给定边界条件二阶微分方程最常用、最简单的方法是直接积分法。,5.1 何谓静态场边值问题？,当静态场问题是二唯或三唯的时，直接积分基本不可能，需要寻求其他的方法或是间接的方法。,这样又产生一个问题。

20、第6章 变分法与边值问题,通过求解一个相应的泛函的极小函数而得到偏微分方程边值问题的解，这种理论和方法通常叫作偏微分方程中的变分原理，简称变分方法。本章通过求解一类边值问题和特征值问题简单介绍该方法的理论及其应用。,第6章 变分法与边值问题,6.1 边值问题与算子方程 6.1.1 薄膜的横振动与最小位能原理考虑张在平面有界区域 上的均匀薄膜在垂直于平面的外力作用下的微小横振动，薄膜的边缘固定在 上。利用微元分析法可得薄膜的总位能为其中，T 表示张力，F(x,y) 表示外力面密度，u(x,y) 表示薄膜在点 (x,y) 出垂直于平面方向的。