1、1,第6章 静态场边值问题的解,本节内容6.1 边值问题的类型6.2 唯一性定理,边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程,2,6.1 边值问题的类型,已知场域边界面S 上的位函数值，即,第一类边值问题（或狄里赫利问题）,已知场域边界面S 上的位函数的法向导数值，即,已知场域一部分边界面S1 上的位函数值，而另一部分边界面S2 上则已知位函数的法向导数值，即,第三类边值问题（或混合边值问题）,第二类边值问题（或纽曼问题）,3,自然边界条件 （无界空间）,周期边界条件,衔接条件,不同媒质分界面上的边界条件，如,4,例：,（第一类边值问题）,（第三类边值问题）,例：,5,
2、在场域V 的边界面S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有唯一值。,6.2 唯一性定理,唯一性定理的重要意义,给出了静态场边值问题具有唯一解的条件,为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据,为求解结果的正确性提供了判据,唯一性定理的表述,6,唯一性定理的证明,反证法：假设解不唯一，则有两个位函数 和 在场域V内满足同样的方程，即,且在边界面S 上有,令 ，则在场域V内,且在边界面S 上满足同样的边界条件。,或,或,7,由格林第一恒等式,可得到,对于第一类边界条件：,对于第二类边界条件：若 和 取同一点Q为参考点 ，则,对于第三类边界条件：,8,本节内容6.3.1 镜像法的
3、基本原理6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像6.3.5 导体球面的镜像6.3.6 导体圆柱面的镜像,6.3 镜像法,9,当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,1. 问题的提出,几个实例,6.3.1 镜像法的基本原理,接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。,非均匀感应电荷,等效电荷,10,接地导体球附近有一个点电荷，如图。,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,
4、接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电荷为线电荷。,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。,问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？,11,2. 镜像法的原理,用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，在保持边界条件不变的情况下，将边界面移去，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。,12,3. 镜像法的理论基础 解的唯一性定理,在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根
5、据唯一性定理，只要找出的解答满足在同一给定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是唯一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。,13,像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素” 。,4. 镜像法应用的关键点,5. 确定镜像电荷的两条原则,等效求解的“有效场域”。,镜像电荷的确定,像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。,像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域 的边界条件来确定。,14,1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像,满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。,6.3.2 接地导体平面的镜像,镜
6、像电荷,电位函数,因 z = 0 时，,15,上半空间( z0 ）的电位函数,导体平面上的感应电荷密度为,导体平面上的总感应电荷为,16,2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像,镜像线电荷：,满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。,电位函数,当z = 0 时，,17,例6-7 一水平架设的双线传输线，距地面的高度为h，两线间的距 离为d，导线的半径为a，如图所示。求双线传输线单位长度的 电容。设da,ha。,解：把地面作为无限大导体平面，电位为0，因为a(d,h)，所 以可近似把 及 看作是分别处在传输线轴线上，采用镜像法 求解。镜像电荷的分布如图所示。地面上部空间任一点P的电位 就等于这四
7、个线电荷所产生的电位之和，即,导线1的电位,18,19,20,3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于(d1, d2 )处。,显然，q1 对平面 2 以及 q2 对平面 1 均不能满足边界条件。,对于平面1，有镜像电荷q1=q，位于(d1, d2 ),对于平面2，有镜像电荷q2=q，位于( d1, d2 ),只有在(d1, d2 )处再设置一 镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能 得到满足。,电位函数,21,例6.3.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？,解：移动电荷q时，外力需要
8、克服电场力做功，而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至无穷远时电场力所做的功。,由镜像法，感应电荷可以用像电荷 替代。当电荷q 移至x时，像电荷 应位于x，则像电荷产生的电场强度,22,6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像,特点：在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。,问题：如图 1 所示，介电常数分别为 和 的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质 1 中有一个点电荷q ，距分界平面为h，求空间各点的电位 。,分析方法：计算电介质 1 中的电位时，用位于介质 2 中的镜像
9、电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图2所示。,23,介质1中的电位为,计算电介质 2 中的电位时，用位于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图 3 所示。介质2中的电位为,24,可得到,说明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为,利用电位满足的边界条件,25,特点：在直线电流I 产生的磁场作用下，磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。,问题：如图1所示，磁导率分别为 和 的两种均匀磁介质的分界面是无限
10、大平面，在磁介质1中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相距为h。,分析方法：在计算磁介质1中的磁场时，用置于介质2中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图2所示。,6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像,26,因为电流沿 y 轴方向流动，所以矢量磁位只有y 分量，则磁介质1和磁介质2中任一点的矢量磁位分别为,在计算磁介质2中的磁场时，用置于介质1中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图3所示。,27,相应的磁场可由 求得。,可得到,故,利用矢量磁位满足的边界条件,28,6.3.5 导体
11、球面的镜像,1. 点电荷对接地导体球面的镜像,球面上的感应电荷可用镜像电荷 q来等效。 q 应位于导体球内（显然 不影响原方程），且在点电荷q与球 心的连线上，距球心为d。则有,如图所示，点电荷q 位于半径 为a 的接地导体球外，距球心为d 。,方法：利用导体球面上电位为零确定 和 q。,问题：,29,令ra，由球面上电位为零， 即 0，得,此式应在整个球面上都成立。,为了确定 和 ，可在球面上取过 的直径的两端点，对于这两端点的电位式为,30,由以上两方程解得,31,可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。,球外的电位函数为,导体球面上的总感应电荷为,球面上的感应电荷面密度为,
12、32,点电荷对接地空心导体球壳的镜像,如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为b，点电荷q 位于球壳内，与球心相距为d ( d a )。,由于球壳接地，感应电荷分布在球壳的内表面上。镜像电荷q 应位于导体球壳外，且在点电荷q与球心的连线的延长线上。,| q|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）,与点荷位于接地导体球外同样的分析，可得到,33,球壳内的电位,感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为,导体球面的内表面上的总感应电荷为,可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。,34,2 . 点电荷对不接地导体球的镜像
13、,先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q的感应电荷分布，则,导体球不接地时的特点：,导体球面是电位不为零的等位面；,球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应电荷为零。,采用叠加原理来确定镜像电荷,点电荷q 位于一个半径为a 的不接地导体球外，距球心为d 。,35,然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 可用一个位于球心的镜像电荷q“来替代，即,球外任意点的电位为,36,6.3.6 导体圆柱面的镜像,问题：如图 1 所示，一根电荷线密度为 的无限长线电荷位于半径为a 的 无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线
14、的距离为d 。,特点：在导体圆柱面上有感应电荷， 圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共 同产生。,分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与 轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。,1. 线电荷对接地导体圆柱面的镜像,37,由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即,所以有,设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为 ，则由 和 共同产生的电位函数,由于上式对任意的 都成立，因此，将上式对 求导，可以得到,38,导体圆柱面外的电位函数：,由 时，,故,导体圆柱面上的感应电荷面密度为,导体圆柱面上单位长度的感应电荷为,导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。,39,2. 两平行圆柱导体的电轴,特点
15、：由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。,分析方法：将导体表面上的电荷用线密度分别为 、且相距为2b 的两根无限长带电细线来等效替代，如图 2所示。,问题：如图1所示，两平行导体圆柱的半径均为a，两导体轴线间距为2h，单位长度分别带电荷 和 。,40,通常将带电细线所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。,由,利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定b 。,思考：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？,导体圆柱外任一点的电位为,41,6.4 分离变量法,本节内容6.4.1 分离变量法解题的基本原理6.4
16、.2 直角坐标系中的分离变量法6.4.3 圆柱坐标系中的分离变量法6.4.4 球坐标系中的分离变量法,42,将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。,分离变量法是求解边值问题的一种经典方法,分离变量法的理论依据是唯一性定理,分离变量法解题的基本思路：,6.4.1 分离变量法解题的基本原理,43,在直角坐标系中，若位函数与z 无关，则拉普拉斯方程为,6.4.2 直角坐标系中的分离变量法,将 (x, y) 表示为两个一维函数 X(
17、x )和Y( y )的乘积，即,将其代入拉普拉斯方程，得,再除以 X( x ) Y( y ) ，有,44,若取k2 ，则有,当,当,45,将所有可能的 (x, y)线性叠加起来，则得到位函数的通解，即,若取k2 ，同理可得到,通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。,46,例6.4.1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。,解：位函数满足的方程和边界条件为,因 (0 , y)0、 (a , y)0，故位函数的通解应取为,47,确定待定系数,48,将U0 在（0, a）上按 展开为傅里叶级数，即,其中
18、,49,由,故得到,50,6.4.3 圆柱坐标系中的分离变量法,令其解为,代入方程，可得到,由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程,在圆柱坐标系中，若位函数与z 无关，则拉普拉斯方程为,通常 (, )随变量 的变化是以 2 为周期的周期函数。因此，分离常数 k 应为整数，即k n ( n0, 1, 2, ) 。,51,当n = 0时,考虑到以上各种情况，电位微分方程的解可取下列一般形式,当n 0时,52,解 选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱轴线，电场强度的方向与x 轴一致，即,当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与
19、z 无关。解的形式可取前述一般形式，但应满足下列两个边界条件：,例 6.4.2 均匀外电场 中，有一半径为 a、介电常数为的无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图所示。试求介质圆柱内、外的电位函数和电场强度。,53, 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即, 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为,那么，根据应满足的边界条件即可求得系数 C1、D1 应为,此式表明，无限远处电位函数仅为cos 的函数，可见系数 ，且 。因此电位函数为,54,代入前式，求得柱外电位分布函数为,则圆柱外电场强度为,圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如图所示。,圆柱表面的电荷分布,55,6
20、.4.4 球坐标系中的分离变量法,电位微分方程在球坐标系中的展开式为,令,代入上式，得,与前同理， 的解应为,且,56,上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与 r 无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令,式中n 为整数。这是尤拉方程，其通解为,且,令 ，则上式变为,上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数 与第二类连带勒让德函数 之和，这里 m n 。,即,57,根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时， 因此，当场存在的区域包括 或 时， ，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令,因此，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合,若静电场与变量 无
21、关，则 m = 0 。那么 称为勒让德多项式。此时，电位微分方程的通解为,58,例 6.4.3 设半径为a、介电常数为 的介质球放在无限大的真空中，受到其中均匀电场 E0 的作用，如 图所示。试求介质球内的电场强度。,解 取球坐标系，令 E0 的方向与 z 轴一致，即 。显然，此时场分布以z 轴为旋转对称，因此与 无关。这样，球内、外的电位分布函数可取为,则球内、外电位分别为,59,球内外电位函数应该满足下列边界条件：, 无限远处电场未受影响，因此电位应为, 球内电位与球外电位在球面上应该连续，即, 根据边界上电位移的法向分量的连续性，可知内、外电位的法向导数在球面上应满足, 球心电位 应为有限值；,60,考虑到边界条件，系数 Dn 应为零，即,为了满足边界条件，除了A1 以外的系数 An 0，且 ，即,再考虑到边界条件，得,为了进一步满足边界条件，得,式中,61,由于上两式对于所有的 值均应满足，因此等式两边对应的各项系数应该相等。由此获知各系数分别为,代入前式，求得球内、外电位分别为,62,值得注意的是球内的电场分布。已知 ，求得球内的电场为,可见，球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强低于均匀外场。球内、外的电场线如图所示。,如果在无限大的介电常数为 的均匀介质中存在球形气泡，那么当外加均匀电场时，气泡内的电场强度应为,那么，泡内的场强高于泡外的场强。,
