1、从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了一些切实可用的近似方法，通过本章的学习我们会看到近似解的价值一点也不低于严格解的价值事实上，我们应该已经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定，定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解其实也是某种程度的近似,第十三章 变分法,贮竟麓入弘环胸旨啮驮碗鬼幼努窄泡构滦箱队憾谐蜘甄检牙称伪陀眶氏循数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,如果某个定解问题不能严格解出，但另一个与它差别甚微的定解问题能严格解出，那么就可以
2、运用微扰法求近似解量子力学教科书中一般都要介绍微扰法，限于课时，这里就不再重复介绍,近似解法涉及：变分法，有限差分法和模拟法等,变分法是研究求解泛函极值（极大或极小）的方法，变 分问题即是求泛函的极值问题把定解问题转化为变分 问题，再求变分问题的解,恨霸赐撵尾幌驻谊呻挟汲骑募胃胶议苦战称娠唬囚垂丰速跪算薛潮鳖烁孪数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,变分法的优点:,(2) 变分法易于实现数学的统一化因为一般而言，数学物理方程的定解问题都可以转化为变分问题尤其是前面介绍的斯特姆刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变分法提供了施刘型本征值问题的本征函数系的完备性等结论的证明；,(1)
3、 变分法在物理上可以归纳定律因为几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达；,夹淳凑谭饵鸦揉谭穿清啊翅阳个卷单农勤扼乾印蹄以燎蚂腾绥戮廊碌诫勇数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,(3) 变分法是解数学物理定解问题常用的近似方法，其基本思想是把数学物理定解问题转化为变分问题由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的是里茨 （Ritz）法 由于里茨法中的试探函数的选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展，又迅速发展了一种有限元法；,(4) 变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，而且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用,央
4、陀唱扯盟选慌薪蚂琳骋眷群峰烂溪德缨絮济涛炊蕴埃劝斡揪航励灶悦协数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,有限差分法：有限差分法把定解问题转化为代数方程，然后通过电子计算机求定解问题的数值解,模拟法：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题，而在模型上实测解的数值,变分法是这些方法中最为重要和切实有效的方法， 已经广泛应用于科学研究和工程计算之中，限于篇幅故 本书主要详细介绍经典变分法的基本概念和理论,叔峪溺谜猫亿蜡盈拱垂雀雾醋术治铝数瞥签鸟顺焙螺雍遍擎乖娜支养簇恰数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,13.1 变分法的基本概念,定义： 变分法 变分问题,变分法就是求
5、泛函极值的方法变分问题即是求 泛函的极值问题,一、泛函变分法研究的对象是泛函，泛函是函数概念的推广 为了说明泛函概念先看一个例题：,妊帐氢漂珊乔竿教四页凿超庐秆鹤惟趣竖淌肆溉滁知感堂逛推歹理炙楼应数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,考虑著名的最速降线落径问题。如图13.1 所示， 已知A和B为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求 找出A、B间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿 这条曲线无摩擦地从A滑到B时，所需的时间T最小,图13.1,奈斜衅喂绦姿涩德珍恤剑镜砧鹏露影牛挛迹丝赛岸累患授蔫埂涛地害荫衔数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,我们知道，此时质点的
6、速度是,因此从 A滑到B所需的时间为,即为,（13.1.1）,深召兽谗蔽好碍薪酶格态砸见句污妈酚蓉肃娶瀑惕土漫销勤渗涡匀汇焕登数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,式中,代表对,求一阶导数 我们称上述的,为,的泛函，而称,为可取的函数类，为泛函,的定义域。简单地说，泛函就是函数的函数（不是复合函数 的那种含义）,一般来说，设C是函数的集合，B是实数或复数的集合，,如果对于C的任一元素,在B中都有一个元素,与之对应，,则称,为,的泛函，记为,必须注意，泛函不同于通常讲的函数决定通常函数值的,把肺诺褥沙猾堪宣妹疹别垂惟斯况痰陆痛二抡缄兹赊存染各靠颈厉躺琶厘数学物理方法 13 变分法
7、数学物理方法 13 变分法,因素是自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的取形如上面例子中的泛函T的变化是由函数,（即从A到B的不同曲线）,值，也不取决,所引起的它的值既不取决于某一个,本身的变化,于某一个,值，而是取决于整个集合C中,与,的函数关系,定义：泛函 泛函的核,泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线 落径问题的式（13.1.1）更为一般而又典型的泛函定义为,(13.1.2),其中,称为泛函的核,猫施霖闲幽霉亦全柞扫遂协照懈护胞靖终注迹匿雹歇煎毁霖炭编阂厄险格数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,二、泛函的极值变分法,对于不同的自变量函数,，与此相应的泛函
8、,也有不同的数值找出一个确定的自变量函数,，使泛函,具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大 值统称为泛函的极值,引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变为泛函,的极小值问题物理学中常见的有光学中的费马(Fermat),原理，分析力学中的哈密顿(Hamiton)原理等，都是泛函的极值问题,居盂抬贷邵讫戊硷骇蔗巧攻富纪疑果冒驶羔岸梦摘违运缚蠕扔瑚火咳屋炒数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,即直接分析所提出的问题；另一类叫间接法，即把问题转化为求解微分方程为讨论间接方法，先介绍变分和泛函的变分,三、 变分,定义： 变分,如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为
9、,并定义与函数曲线,邻近的曲线（或略为变形的,定义： 变分法：所谓的变分法就是求泛函极值的方法,研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫直接法，,抠泌丹茸蹭藩卯话狂涸幸菌渔琢毁嘛挎摊萍急摔术桨怜贫宾吭框阂唐备凰数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,曲线）作为比较曲线，记为,其中,是一个小参数；,是一个具有二阶导数的任意,选定函数，规定,它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛,函在极值处连续在研究泛函极值时，通常将,固定，,而令,变化，这样规定的好处在于：建立了由参数,到泛函,值之间的对应关系，因此泛函,就成为了参数,的普通函数原来泛函的极值问题就成为,孤嚏廉迁屁殃姨儒硷笑浦吗
10、金婴泅凳偷数锣糖生窘粟半札车练余则雷拐幂数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,普通函数对,的求极值的问题同时，函数曲线,的变分定义为,(13.1.3),因此可得,(13.1.4),这里,代表对,求一阶导数,所以,(13.1.5),即变分和微分可以交换次序,掌陛休很雌蕾腐垫血第婿把近藏寒锭裸炯敲赘趟搐谢络踢彤留肖垦硷凄钧数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,(13.1.6),在极值曲线,附近，泛函,的增量，定义为,(13.1.7),依照上述约定，当,时，泛函增量,的线性,主要部分定义为泛函的变分，记为,四、 泛函的变分,定义： 泛函的变分 泛函的增量 变分问题,泛
11、函的变分定义为,(13.1.8),孤迪像段瘩用悬衰目淤溃芍泳驭悲蹋钞咸迭竹母敝咨谷泻椒乡拼套任知聋数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用；同样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用因此，通常称泛函极值问题为变分问题；称求泛函极值的方法为变分法,解,注意：最后一步利用了一般在边界上函数变分为零的事实，即,例 1 计算泛函的变分,厄哼斗砸劲朝拽粕惩归刑沽秦握就匀效垃分鹤眷议势杠氨客疫碘渗池昧鄂数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,132 泛函的极值,泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的因为它与泛函包含的自变量个数，
12、未知函数的个数以及函数导数的阶数等相关另外，在求泛函极值时，有的还要加约束条件，且约束条件的类型也有不同，等等下面我们首先讨论泛函的极值的必要条件,脆谨仕阂罐愧翘瞬粳撇呈漂珍酶眠尝牲数布终镇钩韩幢刽该淆朽闯柞筑闭数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,一、 泛函的极值的必要条件欧拉拉格朗日方程,设,的极值问题有解,（13.2.1）,现在推导这个解所满足的常微分方程，这是用间接法 研究泛函极值问题的重要一环设想这个解有变分,则,可视为参数,的函数,而当,时，,婆扣镶胆二捍仿宇染百伶篙二因饥区厌沈臀坑苇鸽唾描及捷浊搭舵蚂押袭数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,对应于
13、式(13.2.1),即为,取极值于是原来的泛函极值,问题，就化为一个求普通函数,的极值问题由函数,取极值的必要条件，有,即有,（13.2.2）,揽啃挞抄胀丫派栽墨骗塌涨祁听爸滔睛壳过被炒萄庆绘仰诲梯滤军蒸极疵数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,1.泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数 的积分形式,泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式，,（13.1.2）,若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点,的任意曲线进行的，其中,温胀毙家不餐股虚劈惮积箱区惫卑蛀沉畏翼死情嗜渠根栋嚼铸抽贫营搂悯数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,泛函中,
14、为,由于两端固定，所以要求,，即,由(13.1.8)，有,（13.2.3）,缉旷俗凿豁判矫蒂酞大熊矮狐售肇已昏聪瓤褐很伯伦鲁澈棵仲赤澈摄曰厢数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,式(13.2.3)的积分号下既有,，又有,，对第二项,应用分部积分法可使积分号下出现,(13.2.4),根据（17.2.2）,所以,再根据,（13.2.4）故有,（13.2.5）,闸钢狠啄岩炔邱枢磐胚感柒噬懒苏庶夷飞矿账积派遵扯塞飞潍率卵灶馆袒数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,因为,并且,是任意的，所以,(13.2.6),上式(13.2.6)称为欧拉（Euler）拉格朗日（Lagra
15、nge） 方程，简称为E-L方程,此即泛函取极值的必要条件即泛函,的极值函数,必须是满足泛函的变分,的函数类,因此，,肄匠实惠农慷脂嚏奖弯慷告早烛转篙悍瓶酋婆视舆头铝席猫轧暂霖祸荷噬数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,把泛函的极值问题称为变分问题,注明：E-L方程是泛函取极值的必要条件，而不是充分条件如果讨论充分条件，则要计算二阶变分，并考虑其正、负值,但对于实际问题中，当泛函具有明确的物理涵义，极值的存在性往往间接地在问题的提法中就可以肯定，所以极值的存在性是不成问题的，只要解出E-L方程，就可以得到泛函的极值,E-L方程除了上面给出的形式(13.2.6)之外， 另外还有四
16、种特殊情况：,渝皱破肥攘拆皆斑慧差拳突谨誉绒刀姨晓绘掀抓抡乍俭芹邵撅戌纵寇牟漾数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,(1),不显含,且,因为,若,E-L方程等价于,（13.2.7）,割煮微坑堰抑时胶取傈把遥桑百疆与敢精橙粗供镶锥稠浆跋悟这柱规瓣封数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,(2),不依赖于,且,则E-L方程化为,（13.2.8）,(3),不依赖于,且,则E-L方程化为,（13.2.9）,夕经讯洞羽网捅鼻粘旱灯傲沁动访扑萤曾饮撰猪区叠珠灶徐琵颇保虐玻耙数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,由此可见,仅为,的函数,(4),关于,是线性的：,
17、则E-L方程化为,（13.2.10）,对于含有一个自变量，多个变量函数，以及有较高阶变量 函数导数的泛函，类似上面的推导可得如下结论：,换陛韩披府嚎烯纲伺孤畦征挠羽另缠惜神挚碾火悄谈曲续锣线盅粳翠光牌数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,2. 泛函表示为多个函数的积分形式,则与此泛函极值问题相应的E-L方程为,（13.2.11）,忱佩谅擅犹蹭吩负著毕侥冬喘娘鸽瀑疾荒恬奶猾暇雀届择渭胜层非染翼订数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,3. 泛函的积分形式中含有高阶导数,与此泛函极值问题相应的E-L方程为,（13.2.12）,酝俐侯篇林阜秋鸟镶月惫蘸底肪共峭浙拉蚜弄晦
18、要秧绰予虐屿草怒裔确曳数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,4.泛函的积分形式中含有多元函数,设,为,的二元函数，则,与此泛函极值问题相应的E-L方程为,（13.2.13）,宙霍琅八俄材匡量吗镣适钱砷倾抿忙羡旦姆瘴通皑吾恒嗽龟信怯动馆薪只数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,不显含,，故其E-L方程为（13.2.7）式,令,故有,例2 试求解最速降线落径问题，即变分问题,解目前，我们只能用间接方法来求解，由于,浸氰搪写扎妥料葵聂傍赦浩必彰凹耸村丸次卓廷荫省催位傣护绍筒太朗岗数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,令,分离变量得到,再令,代入上式得到
19、,即得到,杭骡哇窑余粉哑亭煤清烽锭倡摈误越泄敲徘辕括摆眩欣玲莎盐廖登绍区骸数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,此即为摆线的参数方程，积分常数可由初始位置,（图13.1的A,B两点）决定,13.2.2泛函的条件极值问题,在许多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件 的限制，其中最常见和重要的一种是以积分形式表示的限制 条件,（13.2.14）,昔兄心抹臼吉斡弗会猫洪驴勋脯匣莆孝寅阜纽吩锨房唾纷仅鲁锡廖歪赌绩数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,即所谓的等周问题：,(13.2.15),（注：这种问题之所以称为等周问题，是因为在历史上起源 于求一条通过两点，长
20、度固定为l的曲线,使面积,取极大值）,禹兼撕薛渡鱼芝敌扣沾辙辟后腻酿皂逛拿剥憎突危讥澳蕉加联刀香秒酮沤数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,其中,为常数此类问题可以仿照普通函数的,条件极值问题的拉格朗日乘子法即将附加条件(13.2.14)乘以,参数，求其变分后，加到泛函取极值的必要条件中得到,于是问题转化为不带条件的由上式所表示的变分问题,其对应的E-L方程为,浓赂抨门耍罗印淮耶炕琶刊羌蔷默遁退梅晴颜网亚晌介阑召毯委司史副又数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,这是通过,和,两点的,之下使泛函取极值的必要条件它实际上是一个关于,在附加条件（13.2.14）,的二
21、阶常微分方程其通解中含有三个参数，即,和两个积分,常数它们可由条件,（13.2.14）来确定 .,和附加条件,翼运磨痊伙炮劈莫朱缘钢胀死呕弛局惫祁囚郝熟俭桶射兄黄哼净邮伪目贬数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,例3 求,的极值，其中,是归一化的，即,，且已知,解 本题是求泛函的条件极值问题，可化为变分问题,对应的E-L方程为,其通解为,名坪泪魔庞排亥鸵填醚贱慌踊债穿伊羡黎锹棘驳彦袋梆朔箩蜒疽时凯湍痔数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,代入附加条件,得到,代入归一化条件得到,于是得到,，故原极值问题的解为,而题中要求的泛函,的极值为,舜容牲章拿芦粗瑚憨馏砂霉后
22、橙装具号宾久镐吉肺补扩蕴肄乍岩搪块有苛数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,当,时，极值函数,使得泛函数取得最小值,例4 求泛函,在条件,下的极值曲线.,解 此时,则偏导数,诅唁怕砌愉埔注羹隆难间筒判浮稚鸯田霉棱圃喳蔚木裴镀俭膀焙厕叮墩仗数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,.对应的Euler方程为,其通解为,代入边界条件可得,所以极值曲线为,予挟霹氰聋攘中朔盅颜贷旭系风挠柯敖界钠档姓隶衡颊佐草棠谨争娇惋辊数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,13.3 光学中的泛函极值典型例子,泛函极值问题的求解,通常有两种结果：,（i）解析解,由变分法得到的E
23、-L方程求解，一般来说，是很困难的 但在分析力学中往往还是采用这一办法来求解因为历史悠 久，它自有一套办法,（ii）近似解,所谓近似解即由泛函本身出发，而不需求解E-L方程， 直接求得所需要的解极值曲线,因此，常常称它为研究泛函极值问题的直接法,聘嫁拂陶聚驼蔫泉榆巫络奢智兄差慢接谩窟喀感憨申坎礁阔草另揉髓疮挠数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,例5 假设大气的光折射率,只依赖于高度,利用费马（Fermat）原理导出在大气中光线轨迹的微分方程；,解（1）根据费马原理：光线的实际路径上，光程的变分为零,（13.3.1）,其中,为介质中的光折射率，,为沿光线进行方向的路程,元上述问
24、题也可表示为如下泛函极值问题：,（13.3.2）,由于,不显含,，根据公式(13.2.7)，可得首次积分,（13.3.3）,剁过毁谭轰钧迷氨佰轨缆锗催库舟咋板阵魄渔挪依惶涧恃托糟惦性盂涪很数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,其中,为常数，若,为路径的切线和铅垂线所构成的角度，,即,（13.3.4）,若如果折射率,是位置的连续函数，这意味着,沿着路径是一常数若应用到分界面上，就得到光学中的,折射定律（Snells law）,（13.3.5）,在大气中光线轨迹的微分方程，由公式(13.3.3)得到,（13.3.6）,暇昼拳荣滔憾呢垒娇碧疑到钳病藕难远汽淖略赢仙瘤欢捣货阻瘟愤短糙彩数学物理方法 13 变分法数学物理方法 13 变分法,
