1、变分法模型,在数学分析中，大家已经学会了如何确定某一函数的极值问题，看到了其应用的广泛性。在许多工程实际问题中，我们还常常需要求另一类特殊的量即函数的函数的极值问题。通常将函数的函数称为泛函。,1 变分法简介,变分法是研究泛函极值问题的数学方法。本节就变分法的基础知识作简要介绍，需要深入了解的读者可阅读有关专著。,变分法的基本概念,泛函极值的必要条件欧拉方程,条件极值 哈密尔顿（Hamilton）函数,经讨论（略）可知作辅助泛函,其中,均为常数。,( 15）,写出其欧拉方程组求出其解即可。,2 最速降线问题,分析与建模,评注,历史上，伯努利解决最速降线问题是从一个似乎不相干的光学问题开始的，借
2、助于史奈尔折射定律、能量守恒原理及几何关系（即光学、力学和微积分等知识）得到了前面的（24）式。我们也称（24）式为最速降线的数学模型：微分方程模型。 比较两个模型的的建模过程，我们可以看到，伯努利对最速降线问题的解法非常奇妙，表现出了惊人的想象能力，可以说是一项水平极高的的艺术工作，而变分法则提供了一种处理这类问题的通用分析方法。,3 机器设备的保养和更新优化模型,问题与背景 在各类企业中，每天都有大量的机器设备不停地运转。为保证其正常工作，需要经常进行保养和维修。在各类化工企业中就更是如此，各种设备运行的连续监测，小到阀门的更换，大到停产检修，不仅直接关系到企业的经济效益，同时也关系到国家
3、财产和人民生命的安全问题，这显然是一个既十分重大又非常复杂的系统工程问题。 这里仅考虑如下的简单情形：当机器设备经过长期使用，失去保养价值时，及时更换新的机器设备，而换下来的旧设备转卖做他用。即如何确定机器设备的最优保养费用和转卖时间（或称寿命期，设在寿命期内，机器设备一直投入运转），从而使机器设备的经济效益最高。,假设与建模,模型求解,数值例子,4 生产与贮存的控制,问题与背景 一个集生产、销售于一体的公司，希望生产率和贮存量都尽量稳定在预先设定的水平上。如果销售量可以准确地预测，公司需要制订一个根据贮存量控制生产率的策略。,假设与建模,模型求解,习 题,参考文献,叶其孝. 大学生数学建模竞
4、赛辅导教材（二）.长沙：湖南教育出版社， 1997姜启源. 数学模型 . 北京：高等教育出版社，1993任善强. 数学模型 . 重庆：重庆大学出版社，1998（美）G.F.赛蒙斯 . 微分方程 . 北京：人民教育出版社，1981E.A.本德 . 数学模型引论 . 北京：科学普及出版社，1982,湛安琦 . 科技工程中的数学模型 . 北京：中国铁道出版社，1988李心灿 . 高等数学应用205例 . 北京：高等教育出版社，1997陈义华 . 数学模型 . 重庆：重庆大学出版社，1995林珍 . 变分法与最优控制 . 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1987彭旭麟 . 变分法及其应用 . 武汉：华中工学院出版社，1983,
