1、 -336- 第十八章 动态优化模型 动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题， 这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。 1 变分法简介 变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果， 然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。 1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函 设 S 为一函数集合， 若对于每一个函数 Stx )( 有一个实数 J 与之对应， 则称 J 是对应在 S 上的泛
2、函，记作 )( txJ 。 S 称为 J 的容许函数集。 通俗地说，泛函就是“函数的函数” 。 例如对于 xy 平面上过定点 ),(11yxA 和 ),(22yxB 的每一条光滑曲线 )(xy ， 绕 x轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线 )(xy 的泛函 )( xyJ 。由微积分知识不难写出 dxxyxyxyJxx)(1)(2)(212+= （ 1） 容许函数集可表示为 )( ,)(,)(|)(2211211yxyyxyxxCxyxyS = （ 2） 最简单的一类泛函表为 =21),()(ttdtxxtFtxJ ps=vpa(p,6) dp=diff(p);s=-p+100*dp+100
3、;c=1/2*s2+2*s+40; J=int(s*p-c,0,52);J=vpa(J,8) 习 题 十 八 1. 求自原点（ 0,0）到直线 01=+ yx 的最速降线。 2. 求概率密度函数 )(x ，使得信息量 += dxxxJ )(ln)( 取最大值，且满足等周条件 1)( =+dxx ，22)( =+dxxx （常数） 。 3. 在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从-349- 经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？ 4渔场中的鱼的数量由鱼的自然增长和捕捞量决定。设鱼的自然增长服从 logistic模型，而单位时间的捕捞量是当时鱼的总数的一个确定的函数。设 1t 鱼的价格为 p ，捕捞 1t 鱼的费用是鱼总数的一个已知函数，鱼越多费用越省。试建立数学模型求使渔场长期效益最好的捕捞策略。
