1、湖南省岳阳一中 2015 届高三年级第三次月考试卷数学理【试卷综述】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。注 重 双 基 和 数 学 思 想 数学 方 法 的 复 习 ， 注 重 运 算 能 力 思 维 能 力 的 培 养 。 在考查学生基础知识的同时，考查学生的能力。【题文】一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.【题文】1. 设复数 ， ，若 ，则 ( )1
2、iz2i()zxR12zxA B C D【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算L4【答案】 【解析】B 解析： 12ii2izxxA因为 ,所以 ，故选 B.12Rz0,x【思路点拨】先利用两个复数代数形式的乘法法则求出 ，由于它为实数，可得12z，由此求得 x 的值0x【题文】2. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A. B. C. D.3yln()yxexy2yx【知识点】利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质B12 B4【答案】 【解析】D 解析 ：由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项 单调递增3yx（无极值） ，而 D 选项既为奇函数又存在极值故选 D.【思
3、路点拨】根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论【题文】3. 在 中, ,则 等于( )ABC15,0,6abAcosBA. B. C. D.2363【知识点】正弦定理C8【答案】 【解析】D 解析 ：由正弦定理有 ,1503sin,sin6iBabAB为锐角, 所以 = .故选 D.BcosB63【思路点拨】由正弦定理可求得 ，再由 ，可得 为锐角，运算求得结3siBab果【题文】4. 已知 为等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 ，则下列各式一定为定值的na 9=12是（ ）A. B. C. D. 38a10357a27a【知识点】等差数列的性质；等差数列的前 n 项和D2【答案】 【解析
4、】C 解析： 定值， ,故选 C.9198S=23357543【思路点拨】利用等差数列的前 n 项和 ，得到 为定值，再利用等差数列的性19a质即可【题文】5 . 已知 ，命题 ，则( )()3sifxx:0,02pxfxA 是假命题; p:0,()2pfB 是假命题; 00:,()xfxC 是真命题; p:,()2pfD. 是真命题; 00:,()xfx【知识点】命题的真假的判断；命题的否定.A2【答案】 【解析】D 解析： 恒成立,则 在()3cos0fx()3sinfxx上单调递减 , ,则 恒成立,所以 是真命题,0,2(0)f0fp,故选 D.00:,()pxfx【思路点拨】先对原函
5、数求导，再利用单调性判断可知 是真命题,然后再写出其否定命p题即可。【题文】6. 设等比数列 的前 项和为 ,若 则 =（ ）nanS63,96SA. 2 B. C. D.37383【知识点】等比数列的性质D3【答案】 【解析】B 解析： ,3363 2SqS,366933612473SqqS故选 B.【思路点拨】根据等比数列的性质得到 成等比列出关系式，又n2n32nSS， ， 表示出 S3，代入到列出的关系式中即可求出 的值63,S 96【题文】7. 函数 是 ( ) 44sincoyxA最小正周期为 ，值域为 的函数 22,1B最小正周期为 ，值域为 的函数4,C最小正周期为 ，值域为
6、的函数 21,D最小正周期为 ,值域为 的函数4,【知识点】三角函数的周期；三角函数的值域.C3【答案】 【解析】C 解析：，最小正周期为244223cos4sincosincosincxyxxx,因为 ,所以 ,即值域为 ,故选 C.2T113o4112【思路点拨】先把原函数化简整理，再利用周期公式求解即可，然后求出值域。【题文】8. 如图，面积为 8 的平行四边形 对角线 ， 与 交于点 ，,OABCOACBE某指数函数 ，经过点 ，则 （ ）0,1xya且 ,EaA. B. C. D.23【知识点】指数函数的图像与性质B6【答案】 【解析】A 解析：设点 ，则点 坐标为 ，又,tEaB2
7、,ta2tta ，平行四边形 的面积 ，又平行四边形 的面2taOABC4tACOABC积为 8, ,故选 A.,2,a【思路点拨】首先设点设点 ，则点 坐标为 ，又 ；然后tEaB2,ta2ttat根据平行四边形的面积是 8，求出 t 的值，代入求出 a 的值即可【题文】9. 已知 ,且 成等比数列，则 的最小值是1xy1ln,4xyxyA. 1 B. C. D. ee2【知识点】等比数列的性质D3【答案】 【解析】C 解析：因为 成等比数列 ,则1ln,4xy1ln,4xy由 ,则 所以 当且仅当1xyln0,l,xyl2时取等号,所以 , 的最小值是 ,故选 C.lne2即 exye【思
8、路点拨】依题意 成等比数列，可得 ，再利用对数的运算法1ln4xy1ln4y则结合基本不等式，即可求出 xy 的最小值【题文】10. 已知函数 ，若对于任意 ，都有 成立，e()1xmf,abcR()()fabfc则实数 m 的取值范围是( )A. B. C. D.1,20,21,2【知识点】函数的单调性.B3【答案】 【解析】A 解析：由题意可得 对 恒成立()()fabfc,abR因为 1()xxemfe所以当 时函数 在 R 上是减函数,函数的值域为1()f 1,m故 (1)()2,2fabc当 时函数 在 R 上是增函数,函数的值域为1m()fx,1m故 (2)()2,1,2,fabc
9、m由(1)(2) 知 ,故选 A.【思路点拨】先把原函数分离常数，结合 对 恒成立，然后对()()fabfc,abRm 分类讨论即可。【题文】二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分【题文】11. 已知集合 ,则实数 的取值范R|,|12,AxaBxAB且 a围是 .【知识点】补集、并集的运算.A1【答案】 【解析】 解析： ，且 ，可得 ，故答2aR12x或R2a案为 。【思路点拨】先根据已知条件求出 B 的补集，再根据 可求结果。RAB【题文】12. 数列 中， ，则 .na11+2,Nnna5a【知识点】数列的递推式.D1【答案】 【解析】 解析： ，故答案为 。32
10、34521,3aa31【思路点拨】由数列的递推式依次计算即可。【题文】13. 已知 ，则 = .1tan,0,43sin【知识点】两角和的正切公式.C5【答案】 【解析】 解析： ，又51ta11tantan4332，则 0,sin5【思路点拨】先由 解出 ,最后可得结果。1ta,0,43tan【题文】14. 平面向量 满足 ， ，则向量 与,be1,2,ebab的夹角为 e【知识点】平面向量的数量积的运算；向量的夹角；向量的模.F2 F3【答案】 【解析】 解析 ： ，231,2aeb1abe，又 ， ，所以cos,abeab，1,02所以向量 与 的夹角为 ，故答案为 。e323【思路点拨
11、】先根据已知条件结合向量的夹角公式计算出 ，再求夹角1cos,2abe即可。【题文】15. 设函数 的图象与函数 的图象有三个不同的交点，axf1xg则 的范围是 .a【知识点】函数的图象B8【答案】 【解析】 解析：当 时.图象如下图一, 当 时.图象如下图二,10a0a据图知 的图象有三个不同交点,则满足()fxg 1a【思路点拨】讨论 a 的取值范围，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论【题文】三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.【题文】16. （本小题满分 12 分）在正项等比数列 中， 公比 ，且满足 ， .na0,1q32
12、a132435a（1 ）求数列 的通项公式；（2）设 ，数列 的前 n 项和为 ，当 取最大值时，求nnb2logbnSnS21的值.【知识点】数列的求和；等比数列的通项公式D3 D4【答案】 【解析】 （1） ;（2）4na-=76或解析： ，5233，2442a是正项等比数列，n，542，3.21,0,qq.nnna4132（2） ,27,2)(,lognSSbnnn 12S，且为递减数列1n数 列 是 公 差 为 首 项 为 3的 等 差 数 列当 当 取最大值时，,76,0,7或Sn nSS21 76或n【思路点拨】 （1）利用等比数列的性质和通项公式即可得出；（2 ）利用等差数列的前
13、 n 项和公式、二次函数的单调性即可得出【题文】17 （本小题满分 12 分）在 中，内角 所对的边分别是 . 已知 ， ，ABC, ,abc3a6cosA.2（1 ）求 b的值；（2）求 的面积.AB【知识点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用C7 C8【答案】 【解析】 （1） ；（2） 3b=解析：（1）因 ，故 . 20A2263sin1cos1A分因 ，故 . 4 分2BA6sinicos23BA由正弦定理 ，得 . 6 分siniabsin23aB（2） cossin2BA. 8 分iniiCBsicosinAB. 10 分3613则 的面积为 . 12 分ABC132sin32a
14、bC【思路点拨】 （1）ABC 中，利用同角三角函数的基本关系求出 sinA，再由正弦定理求出b （2）利用公式求得 cosB,sinC 的值，再利用三角形面积公式即可。【题文】18 （本小题满分 12 分）设约束条件 所确定的平面区域为 .021()yxtt D（1）记平面区域 的面积为 Sf(t )，试求 f(t)的表达式D（2）设向量 ， 在平面区域 （含边界）上，,2,ab,Qxy，当面积 取到最大值时，用OQmn()R表示 ，并求 的最大值.yx,33n【知识点】简单的线性规划.E5【答案】 【解析】 （1）f(t) t2t ;（2） 12 7解析：（1）由约束条件所确定的平面区域是
15、五边形 ABCEP，如图所示，其面积 S f(t) SOPD S AOBS ECD，而 SOPD 121.12SOAB t2，S ECD (1t) 2，12 12所以 Sf(t) 1 t2 (1t) 2t 2t .12 12 12（2 ）由 得 所以OQmanb,xymn23xmnxymnySf(t) t2t ， 则当 时面积 取到最大值. 点 坐标为12 0t12tSE1,2由线性规划知识，直线 经过可行域中点 时 取到最大值 ，所以zxy31,2xy7的最大值也为3mn72【思路点拨】(1)先由线性约束条件画出平面区域，进而求出面积即可；（2）由已知条件可用 x,y 表示出 ，由线性规划知
16、识，直线 经过可行域中点 时3n2zxy31,2E取到最大值 ，所以 的最大值也为 。2xy72m7【题文】19. （本小题满分 13 分）已知 11)(11)( xxgxxf 及（1 ）求 的最小值和 的最大值；f()（2 ）若 ，问是否存在满足下列条件的正数 t，使得1,12xctbxa对于任意的正数 都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出 的取值范围；,c t若不存在，请说明理由.【知识点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域B1 B3【答案】 【解析】 （1） , （2）存在 满足题设条件. 23(23,)t解析：（1） （2 分）1()()(1)fxgxx由于 ，2
17、,.2x当 时 等 号 成 立 又 ，当 x=1 时等号成立. （4 分）13x故 即 x=1 时， f(x)的最小值 .123.x23（6 分）又 .()1,()23fxgxf故 时，g(x)的最大值 .（8 分）（2 ） ，21axc若能构成三角形，只需21()xtxt对 恒成立.（10 分）11txxtRmaxin()gtf由（1）知 （11 分）i()(1)2323ft（12 分）max()23gt综上，存在 满足题设条件. （13 分）(,)t【思路点拨】 （1）先考虑 ，再说明函数 与 在（-12x+ 1yx=+1yx+，1上均为减函数，在1，+）上均为增函数，从而求出函数的最小值（2）利用构成三角形的条件，转化为恒成立问题利用（1）的结论可确定【题文】20. （本小题满分 13 分）若数列 的前 项和为 ，对任意正整数 都有 . nanSn612nnSa（1）求数列 的通项公式；（2 ）令 ，求数列 的前 项和11224()loglnnnnbaAnbnT【知识点】数列的求和；对数的运算性质；数列与不等式的综合B7 D4 D5
