1、学业分层测评(十五)(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1设 e1，e 2 是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )Ae 1e 2 和 e1e 2B3e 1 4e2 和 6e18e 2Ce 1 2e2 和 2e1e 2De 1 和 e1e 2【解析】 B 中，6e 18e 22(3 e14e 2)，(6e 1 8e2) (3e14e 2)，3e 14e 2 和 6e18e 2 不能作为基底【答案】 B2如图 238，向量 ab 等于( )图 238A4e 12e 2B2e 14e 2Ce 1 3e2D3e 1e 2【解析】 不妨令 a ，b ，CA CB 则
2、ab ，CA CB BA 由平行四边形法则可知e 13e 2.BA 【答案】 C3.如图 239，已知 E，F 分别是矩形 ABCD 的边 BC，CD 的中点，EF 与 AC 交于点G，若 a， b，用 a， b 表示 ( )AB AD AG 图 239A a b B a b14 14 13 13C a b D a b34 14 34 34【解析】 易知 ， .CF 12CD CE 12CB 设 ， 则由平行四边形法则可得 ( )2 2 ，由于CG CA CG CB CD CE CF E，G， F 三点共线 ，则 22 1，即 ，从而 ，14 CG 14CA 从而 (ab) AG 34AC 3
3、4【答案】 D4若 D 点在三角形 ABC 的边 BC 上，且 4 r s ，则 3rs 的值为( )CD DB AB AC A B C D165 125 85 45【解析】 4 r s ，CD DB AB AC ( )r s ，CD 45CB 45AB AC AB AC r ，s ，45 453rs .125 45 85【答案】 C5如要 e1，e 2 是平面 内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是( )A若实数 1， 2，使 1e1 2e20，则 1 20B空间任一向量 a 可以表示为 a 1e1 2e2，其中 1， 2RC对实数 1， 2， 1e1 2e2 不一定在平面 内D对平面
4、中的任一向量 a，使 a 1e1 2e2 的实数 1， 2 有无数对【解析】 选项 B 错误，这样的 a 只能与 e1，e 2 在同一平面内，不能是空间任一向量；选项 C 错误，在平面 内任一向量都可表示为 1e1 2e2 的形式，故 1e1 2e2 一定在平面 内；选项 D 错误，这样的 1， 2 是唯一的，而不是有无数对【答案】 A二、填空题6已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 ab 与(b3a) 共线，则 _.【解析】 由题意可以设 ab 1(b3a)3 1a 1b，因为 a 与 b 不共线，所以有Error!解得Error!【答案】 137如图 2310，在平面内有三个向量
5、， ， ，| | |1， 与 的夹角为OA OB OC OA OB OA OB 120， 与 的夹角为 30，| |5 ，设 m n (m，nR )，则OC OA OC 3 OC OA OB mn_.图 2310【解析】 作以 OC 为一条对角线的平行四边形 OPCQ，则COQOCP90，在 RtQOC 中，2OQQC ， | |5 .OC 3则| | 5，| |10，所以| |10，又| | |1，所以OQ QC OP OA OB 10 ， 5 ，所以 10 5 ，所以 mn10515.OP OA OQ OB OC OP OQ OA OB 【答案】 15三、解答题8在ABC 中，AB ，BC
6、1，AC 2，D 是 AC 的中点求：3(1) 与 夹角的大小；AD BD (2) 与 夹角的大小DC BD 【解】 (1)如图所示，在ABC 中，AB ，BC1，AC2，3AB 2BC 2 ( )212 2 AC2，3ABC 为直角三角形tan A ，A 30.BCAB 13 33又D 为 AC 的中点，ABDA30 ， .AD DC 在ABD 中，BDA 180AABD18030 30120， 与 的夹AD BD 角为 120.(2) ， 与 的夹角也为 120.AD DC DC BD 9.如图 2311 所示，ABCD 中，E，F 分别是 BC，DC 的中点，BF 与 DE 交于点 G，
7、设 a， b.AB AD 图 2311(1)用 a，b 表示 ；DE (2)试用向量方法证明：A，G ，C 三点共线【解】 (1) DE AE AD AB BE AD a bba b.12 12(2)证明：连接 AC，BD 交于 O，则 .CO 12CA E，F 分别是 BC，DC 的中点，G 是CBD 的重心， ，GO 13CO 13 ( 12)AC 16AC 又 C 为公共点，A，G，C 三点共线能力提升1已知 O 是平面上一定点， A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP (0， ) ，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( )OA (AB |AB |AC |AC |)A外
8、心 B内心 C重心 D垂心【解析】 为 上的单位向量，AB |AB | AB 为 上的单位向量，则 的方向为BAC 的角平分线 的方向又AC |AC | AC AB |AB |AC |AC | AD 0， )， 的方向与 的方向相同(AB |AB |AC |AC |)AB |AB |AC |AC |而 ，OP OA (AB |AB |AC |AC |)点 P 在 上移动，AD 点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心【答案】 B2如图 2312，在ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且AN2NC，AM 与 BN 交于点 P，求 APPM 的值. 【导学号：70512031】图 2312【解】 设 e 1， e 2，BM CN 则 3e 2e 1， 2e 1e 2.AM AC CM BN BC CN A，P，M 和 B，P，N 分别共线，存在实数 ， ，使 e 13 e2，AP AM 2e 1e 2，BP BN (2) e1(3) e2.BA BP AP 又 2e 13e 2，BA BC CA Error!解得Error! ，即 APPM41.AP 45AM
