1、11 正弦定理和余弦定理11.1 正弦定理1掌握正弦定理及基本应用(重点)2会判断三角形的形状(难点)3能根据正弦定理确定三角形解的个数(难点、易错点)基础初探教材整理 1 正弦定理阅读教材 P2 P3 探究下面第 5 行，完成下列问题判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)正弦定理适用于任意三角形( )(2)在ABC 中，等式 bsin Aasin B 总能成立( )(3)在ABC 中，若 A30，a2，b2 ，则 B60.( )3【解析】 (1).正弦定理适用于任意三角形(2).由正弦定理知 ，即 bsin Aasin B.asin A bsin B(3).由正弦定理可知 ，即 ，所以
2、sin B ，则asin A bsin B 2sin 30 23sin B 32B60 或 120，又因为 ba，所以 BA，故 B60或 120.【答案】 (1) (2) (3)教材整理 2 解三角形阅读教材 P3“思考”上面倒数第二行 P4 例 2，完成下列问题1一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素2已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形1在ABC 中，若 A60，B45，BC3 ，则 AC_. 2【解析】 由正弦定理得： ，32sin 60 ACsin 45所以 AC 2 .32sin 45sin 60 3【答案】 2 32在ABC
3、中，若 a3，b ，A ，则 C_.33【解析】 由正弦定理得： ，3sin 3 3sin B所以 sin B .12又 ab，所以 AB，所以 B ，6所以 C .(3 6) 2【答案】 23在ABC 中，A45，c2，则 AC 边上的高等于_【解析】 AC 边上的高为 ABsin Acsin A2sin 45 .2【答案】 2小组合作型已知两角及一边解三角形(1)在ABC 中，c ，A75，B60，则 b 等于( )3A. B.322 322C. D.32 62(2)在ABC 中，已知 BC12，A60，B45，则 AC_. 【精彩点拨】 (1)可先由角 A，B 求出角 C，然后利用正弦定
4、理求 b.(2)直接利用正弦定理求解【自主解答】 (1)因为 A75，B60，所以 C18075 6045.因为 c ，根据正弦定理 ，3bsin B csin C得 b .csin Bsin C33222 322(2)由正弦定理知： ，ACsin B BCsin A则 ，ACsin 45 12sin 60解得 AC4 .6【答案】 (1)A (2)4 6已知两角及一边的三角形解题方法：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边再练一题1在
5、ABC 中，AB ，A75，B45，则 AC_.6【解析】 C180 754560，由正弦定理得 ，即ABsin C ACsin B ，解得 AC2.6sin 60 ACsin 45【答案】 2已知两边及一边的对角解三角形(1) 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知A ，a1，b ，则 B_.6 3(2)在ABC 中，已知 a2 ，b6，A30，求 B，C 和 c.3【精彩点拨】 (1)由正弦定理的特点，直接求解注意三角形解的个数问题(2)先利用正弦定理求角 B，再利用内角和定理求解，由正弦定理求边 c.【自主解答】 (1)由正弦定理，得 .把 A ，a1，b 代入，
6、asin A bsin B 6 3解得 sin B .因为 ba，所以 BA，结合题意可知 B 或 .32 3 23【答案】 或3 23(2)由正弦定理得 sin B ，又 a2 ，b6，aa，C A，A ，4B ，b 1.512 csin Bsin C6sin 512sin 3 3探究共研型正弦定理的主要功能探究 1 已知ABC 的外接圆 O 的直径长为 2R，试借助ABC 的外接圆推导出正弦定理【提示】 如图，连接 BO 并延长交圆 O 于点 D，连接 CD，则BCD90 ，BAC BDC，在 RtBCD 中，BC BDsinBDC，所以a2Rsin A ，即 2R，同理 2R， 2R，a
7、sin A bsin B csin C所以 2R.asin A bsin B csin C探究 2 由 2R， 2R， 2R 可以得到哪些变形形式？这些asin A bsin B csin C变形形式有什么功能？【提示】 由 2R， 2R， 2R 可以得到的变形： sin Aasin A bsin B csin C，a 2Rsin A；sin B ，b2R sin B；sin C ，c2R sin C，由这些变形a2R b2R c2R形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化在ABC 中，若 sin A2sin Bcos C，且 sin2Asin 2Bsin 2C，试判断ABC 的形状【精彩点
8、拨】 解决本题的关键是利用 sin A ，sin B ，sin Ca2R b2R把 sin2Asin 2Bsin 2C 转化为三角形三边的关系，从而判定出角 A，然后再c2R利用 sin A2sin Bcos C 求解【自主解答】 法一：根据正弦定理，得 ，asin A bsin B csin Csin 2Asin 2Bsin 2C，a 2b 2c 2，A 是直角，BC90，2sin Bcos C2sin Bcos(90B)2sin 2Bsin A1，sin B .220sin B，则有( )Aab Da，b 的大小无法判定【解析】 因为 ，所以 .asin A bsin B ab sin A
9、sin B因为在ABC 中，sin A0，sin B0 ，所以 1，所以 ab.ab sin Asin B【答案】 C2.在ABC 中，若 c2acos B，则ABC 的形状为 ( )A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D不等边三角形【解析】 由正弦定理知 c2Rsin C，a2Rsin A，故 sin C2sin Acos Bsin(AB)sin Acos B cos Asin B，所以 sin Acos Bcos Asin B，即 sin(AB )0，所以 AB.故ABC 为等腰三角形【答案】 B3在ABC 中，AB ，A45，B60，则 BC_.3【解析】 利用正弦定理 ，BCsin A ABsin C而 C 180(A B)75，故 BC 3 .ABsin Asin C 3sin 45sin 75 3【答案】 3 34在ABC 中，a15，b10，A60，则 cos B_.【解析】 由正弦定理 ，得 ，asin A bsin B 15sin 60 10sin Bsin B ，b a，B A.33故角 B 为锐角，cos B .1 sin2B1 ( 33)2 63【答案】 63
