1、河南省八校 2015 届高三上学期第一次联考数学理试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 专题： 计算题分析： 首先把复数 的分子分母都乘以分母的共轭复数，化为 1i，进而可判断出所对应的点位于的象限解答： 解： = = =1i复数 对应的点是（1，1） ，位于第四象限故选 D点评： 本题考查了复数的除法运算及其几何意义，熟练掌握以上有关知识是解决问题的关键
2、2若 sin2t= cosxdx，其中 t（0，） ，则 t=（ ）AB C D 考点： 定积分 专题： 导数的综合应用分析： 将已知中等式中的定积分化简求值，化为关于 t 的三角函数方程解之解答： 解：因为 cosxdx=sinx =0，所以 sin2t=0，因为 t（0，） ，所以 2t=，所以 t= ；故选 B点评： 本题考查了定积分的计算以及三角函数求值，属于基础题3在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N（2， 2） （ 0） ，若 在（0，2）内取值的概率为 0.4，则 在（0，+）内取值的概率为（ ）A 0.2 B 0.4 C 0.8 D 0.9考点： 正态分布曲线的特点及曲线所
3、表示的意义 专题： 计算题；概率与统计分析： 根据 服从正态分布 N（2， 2） ，得到曲线的对称轴是直线 x=2，根据所给的 在（0，2）内取值的概率为 0.4，根据正态曲线的对称性知在（0，+）内取值的概率解答： 解： 服从正态分布 N（2， 2）曲线的对称轴是直线 x=2， 在（0，2）内取值的概率为 0.4，根据正态曲线的性质知在（0，+）内取值的概率为 0.4+0.5=0.9故选 D点评： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题.4设 p：f（x）=x 32x2mx+1 在（ ，+）上单调递增；q：m ，则 p 是 q 的（ ）A充要条件
4、 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 以上都不对考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 简易逻辑分析： 根据 f（x）=x 32x2mx+1 在（ ，+）上单调递增，可得 f（x）=3x24xm，3x 24xm0 在 R 上恒成立，求出 m 的范围，再根据充分必要条件可判断答案解答： 解：f（x）=x 32x2mx+1 在（ ，+ ）上单调递增，f（x）=3x 24xm，即 3x24xm0 在 R 上恒成立，所以=16+12m 0，即 m ，p： f（x）=x 32x2mx+1 在（ ，+ ）上单调递增；q：m根据充分必要条件的定义可判断：p 是 q 的必要不充分条件，故选
5、；C点评： 本题考查了充分必要条件的判断方法，结合导数判断求解，难度适中，有点综合性5将函数 y= cosx+sinx（x R）的图象向左平移 m（m0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则 m 的最小值是（ ）AB C D考点： 函数 y=Asin（x+ ）的图象变换 专题： 三角函数的图像与性质分析： 利用两角和的正弦化简原函数，然后利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得 m 的最小值解答： 解：设 y=f（x）= cosx+sinx（x R） ，化简得 f（x）=2（ cosx+ sinx）=2sin（x+ ） ，图象向左平移 m（m0）个单位
6、长度得到 y=2sin（x+m ）+ =2sin（x+m+ ） ，所得的图象关于原点对称，m+ =k（k Z） ，则 m 的最小正值为 故选：D点评： 本题考查了三角函数的图象平移，考查了两角和的正弦公式，考查了三角函数的性质，是基础题6 x、y 满足约束条件 ，若 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a的值为（ ）A或1 B 2 或 C 2 或 1 D 2 或 1考点： 简单线性规划 专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线 y=ax+z 斜率的变化，从而求出 a 的取值解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 A
7、BC） 由 z=yax 得 y=ax+z，即直线的截距最大，z 也最大若 a=0，此时 y=z，此时，目标函数只在 A 处取得最大值，不满足条件，若 a0，目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a0，要使 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则直线 y=ax+z 与直线 2xy+2=0 平行，此时 a=2，若 a0，目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a0，要使 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则直线 y=ax+z 与直线 x+y2=0，平行，此时 a=1，综上 a=1 或 a=2，故选：D点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的
8、基本方法注意要对 a 进行分类讨论7若x表示不超过 x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为（ ）A 4 B 5 C 7 D 9考点： 程序框图 专题： 算法和程序框图分析： 根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的 S 的值解答： 解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，n=0，S=0+ =0，0 4，否；n=1，S=0+ =1，14，否；n=2，S=1+ =2，24，否；n=3，S=2+ =3，34，否；n=4，S=3+ =5，44，否；n=5，S=5+ =7，54，是；输出 S=7故选：C 点评： 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运
9、行过程，从而得出该程序运行后的结果是什么8等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1+a2=10，a 3+a4=26，则过点 P（n，a n）和Q（n+1，a n+1） （nN *）的直线的一个方向向量是（ ）A （ ，2） B （1，2） C （ ， 4） D （2， ）考点： 等差数列的前 n 项和 专题： 等差数列与等比数列分析： 设等差数列a n的公差为 d，则由题意可得 2a1+d=10，2a 1+5d=26，解得a1=3，d=4，由此求出过点 P（n，a n）和 Q（n+1，a n+1） （nN *）的直线的斜率，从而求得直线的一个方向向量解答： 解：设等差数列a n的公差为
10、d，则由题意可得 2a1+d=10，2a 1+5d=26，解得a1=3，d=4故过点 P（n，a n）和 Q（n+1，a n+1） （nN *）的直线的斜率等于 d= =4，故过点 P（n，a n）和 Q（n+1，a n+1） （nN *）的直线的一个方向向量应和向量（1，4）平行，故选：A点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，直线的斜率的求法，直线的方向向量，属于基础题9在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sin = ，a=b=3，点 P 是边 AB上的一个三等分点，则 + =（ ）A 0 B 6 C 9 D 12考点： 平面向量数量积的运算；余弦定理 专题： 平面
11、向量及应用分析： 过点 C 作 COAB，垂足为 O如图所示， 由 sin = ，可得= ，CO ，AO=OB= 分别取点 P 靠近点 B，A 的三等分点可得 P利用向量的三角形法则、坐标运算、数量积运算即可得出解答： 解：过点 C 作 COAB，垂足为 O如图所示， sin = ， = = CO= AO=OB= = 取点 P 靠近点 B 的三等分点则 P + = =2 =6同理取点 P 靠近点 A 的三等分点答案也是 6 + =6故选：B点评： 本题考查了向量的三角形法则、坐标运算、数量积运算、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10一个几何体的三视图如图所示，其中正
12、视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）AB C D考点： 由三视图求面积、体积 专题： 图表型分析： 由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心 O 在高线 PD 上，且是等边三角形 PAC 的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案解答： 解：由已知中正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面 PAC 垂直于底面，高为 ，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图则这个几何体的外接球的球心 O 在高线 PD 上，且是等边三角形 PAC 的中心，这个几何体的外接球的半径 R=
13、 PD= 则这个几何体的外接球的表面积为 S=4R2=4（ ） 2=故选 A点评： 本题考查的知识点是由三视图求面积、体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何体的几何特征是解答本题的关键11已知 y=f（x）为 R 上的可导函数，当 x0 时， ，则关于 x 的函数 的零点个数为（ ）A 1 B 2 C 0 D 0 或 2考点： 根的存在性及根的个数判断 专题： 函数的性质及应用分析： 由题意可得，x 0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的当x0 时，利用导数的知识可得 xg（x）在（0，+）上是递增函数，xg（x）1 恒成立，可得 xg（x）在（0，+）上无零
14、点同理可得 xg（x）在（，0 ）上也无零点，从而得出结论解答： 解：由于函数 ，可得 x0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点由于当 x0 时， ，当 x0 时， （x g（x） ） =（xf （x） ）=xf（x）+f（x）=x（ f（x）+ ）0，所以，在（0，+）上，函数 xg（x）单调递增函数又 xf（x）+1=1， 在（0，+ ）上，函数 xg（x）=xf（x）+11 恒成立，因此，在（0，+）上，函数 xg（x）=xf（x）+1 没有零点当 x0 时，由于（x g（ x） ）=（xf （x） ）=xf（x）+f
15、（x）=x（ f（x）+ ）0，故函数 xg（x ）在（ ，0）上是递减函数，函数 xg（x）=xf（x）+11 恒成立，故函数 xg（x ）在（ ，0）上无零点综上可得，函 在 R 上的零点个数为 0，故选 C点评： 本题考查了根的存在性及根的个数判断，导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论、转化的思想，属于中档题12已知函数 f（x）= ，若存在实数 x1，x 2，x 3，x 4，满足x1x 2x 3x 4，且 f（x 1）=f （x 2）=f（x 3）=f （x 4） ，则 的取值范围是（ ）A （0，12 ） B （4，16） C （9，21） D （15，25）考点： 分段函数的应
16、用 专题： 计算题；数形结合；函数的性质及应用分析： 画出函数 f（x）的图象，确定 x1x2=1，x 3+x4=12，2x 34，8x 410，由此可得的取值范围解答： 解：函数的图象如图所示，f（ x1）=f（x 2） ，log2x1=log2x2，log2x1x2=0，x1x2=1，f（ x3）=f（x 4） ，x3+x4=12，2x 3x 410 =x3x42（x 3+x4）+4=x 3x420，2 x3 4，8x 410 的取值范围是（0，12） 故选：A点评： 本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查
17、数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知双曲线 =1 的右焦点为（3，0） ，则该双曲线的离心率等于 考点： 双曲线的简单性质 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用双曲线 =1 的右焦点为（3，0） ，求出|a|，再利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率解答： 解：双曲线 =1 的右焦点为（3，0） ，a2+5=9，|a|=2，c=3，双曲线的离心率等于 故答案为： 点评： 本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定双曲线的几何量是关键14若（2x3） 5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x
18、5，则 a1+2a2+3a3+4a4+5a5 等于 10 考点： 二项式定理 专题： 计算题分析： 对已知等式求导数，对求导后的等式中的 x 赋值 1，求出 a1+2a2+3a3+4a4+5a5 的值解答： 解：对等式两边求导数得10（2x3） 4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4 令 x=1 得 10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5，故答案为 10点评： 本题考查复合函数的求导法则、考查赋值法求展开式的系数和常用的方法15已知函数 f（x）=e sinx+cosx sin2x（xR ） ，则函数 f（x）的最大值与最小值的差是 考点： 函数的最值及其几何意义 专题：
19、函数的性质及应用分析： 令 t=sinx+cosx= sin（x+ ） ，则 t ， ，且 sin2x=t21，利用导数法分析y=et （ t21）在 ， 上单调性，进而可得答案解答： 解：令 t=sinx+cosx= sin（x+ ） ，则 t ， ，且 sin2x=t21，则 y=f（x）=e t （t 21） ，y=ett0 在 t ， 时恒成立，故 y=et （t 21）在 ， 上为增函数，故函数 f（x）的最大值与最小值的差是 y| y| =（ ）（ ）= ，故答案为：点评： 本题主要考查函数求最值，常要借助函数的单调性，因为本题构成比较复杂，所以采用换元法简化函数的解析式16 （2014南充一模）下列说法：“xR，使 2x3” 的否定是 “xR，使 2x3”；函数 y=sin（ 2x+ ）sin（ 2x）的最小正周期是 ，命题“函数 f（x）在 x=x0 处有极值，则 f（x 0）=0”的否命题是真命题；f（x）是（，0）（0，+）上的奇函数，x0 时的解析式是 f（x）=2 x，则 x0时的解析式为 f（x）= 2x其中正确的说法是
