1、2017 届山西省康杰中学高三下学期模拟（四）考试数学（理）试题【满分 150 分，考试时间为 120 分钟】一、选择题（51260 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1. 已知集合 RxyxA),4ln(2， ZxB,2，则 AB=A )2,0( B 0 C 1,0 D ,102. 复数 iz1（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是A ),3( B )3,1( C ),3( D )4,2(3. 设 a=sin33，b=cos55，c=tan35，则Aa bc B bca Ccb a Dcab4. 已知等比数列
2、n的公比为 q，前 n 项和为 nS，若 an0，q1，a 3+a5=20，a 2a6=20，则 5SA. 30 B. 31 C. 62 D. 635. 设 yxz，其中实数 yx,满足 ky02，若 z的最大值为 6，则 z的最小值为A. 3 B. 2 C. 1 D. 06. 函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在-, 的图像大致为7.如图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图，P 表示估计结果，则输出的 P 的近似值为A 81 B 41 C 21 D 438. 过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 30的直线 l 与抛物线交于 P，Q 两点，分别过 P，Q 两
3、点作PP1,QQ1 垂直于抛物线的准线于 P1，Q 1，若|PQ|=2，则四边形 PP1Q1Q 的面积是A1 B2 C3 D49. 如图是一个四面体的三视图，则该四面体的体积为A 3 B 41 C 61 D 8310. 已知函数 )0(cossin)(xxf 的零点构成一个公差为 2的等差数列，把函数 的图像沿 轴向左平移 6个单位，得到函数 )(xg的图像，关于函数 )(xg，下列说法正确的是A. 在 2,4上是增函数 B. 其图像关于直线 4x对称C. 函数 )(xg是奇函数 D. 在区间 32,6上的值域为 1,211. 已知一个半球内有一个内接直三棱柱 1CBA，底面 ABC 在半球的
4、大圆面上，AA 1=4，BC=43， 120BAC，则半球的表面积为A64 B72 C80 D9612. 过曲线 )0,(:21bayx的左焦点 1F作曲线 22:ayxC的切线，设切点为 M，延长MF1交曲线 C3：y 2=2px（p0）于点 N，其中 31,有一个共同的焦点，若 NF1,则曲线 1C的离心率为A. 5 B. 15 C. 5 D. 252、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中横线上）13. 已知向量 a，b 满足|a|=1 ，| b|=2，|a+b|= 则 a 与 b 的夹角大小为_.14. 在 9)432(yx的展开式中，不含 x 的各项
5、系数之和为_.15. 函数 1,21)(2xxf为，若函数 2)()(xfg的零点个数为_.正(主)视图 侧(左)视图俯视图16. ABC中， ,所对应的边分别为 cba,，且边 BC上的高为 4a，则 bc的取值范围为 .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，数列b n是等比数列，满足 a1=3，b 1=1，b 2+S2=10，a 5-2b2=a3.（1）求数列a n和b n的通项公式；（2）令 为Scn,2，设数列c n的前 项和 nT，求 T2n18.（本小题满分 12 分）如图所示，已知四棱锥 ABCDP
6、中，底面 AB为菱形，ABCDP平 面， 60,E，F 分别是线段 BC,PC 的中点（1）证明： E （2）若 H为 上的动点， H与平面 所成最大角的正切值为3，求二面角 AF的余弦值.19. （本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,，8) 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821()ix821()iw81()iixy81()iiwy46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 1
7、08.8表中 iixw， 81i（1）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2yx.根据( )的结果回答下列问题：年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1，v 1）,（u 2，v 2） ， （u n，v n）,其回归直线 uv的斜率和截距的最小二乘估计分别为： niiiiiu12)(
8、， 。20. （本小题满分 12 分）已知圆 E： 16)3(2yx，点 )0,3(F，P 是圆 E 上任意一点，线段 PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点 Q.（1）求动点 Q 的轨迹 的方程 .（2）设直线 l与（1）中轨迹 相交于 A,B 两点，直线 OA，l，OB 的斜率分别为 21,k(其中 0)，OAB的面积为 S，以 OA,OB 为直径的圆的面积分别为 21,S,若 21,k恰好构成等比数列，求：S21的取值范围.21.（本小题满分 12 分）已知函数 ,ln)(xaf若曲线 )(xf在点 )(,ef处的切线与直线 02eyx垂直（其中 e为自然对数的底数）（1）若函数 )(f
9、在 )1,m上存在极值，求实数 m的取值范围.（2）求证：当 x时， 1)(2(xexef请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，圆 C的参数方程为 )(sinco1为yx.以 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆 C 的极坐标方程（2）直线 l的极坐标方程是 3)sin(2，射线 3:M与圆 C 的交点为 P,，与直线 l的交点为 Q，求线段 P的长.23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f(x)|x 2| x5|（1）解不等式：
10、f(x )1（2）若函数 f(x)的最大值为 m，且 abc =m，a，b，c 均为正实数，求 的最大值.a c b 1数学理（四）答案解析 1.C【解析】：A= 2|04|2xx，B= Zxx,40| ，AB=0，12.A【解析】： iiz3)1(，复数 z 所对应点的坐标是（ 3，1）3.C【解析】：b=cos55=sin35，c=tan35= 5cosn sin35cba4.B【解析】： 645362a， 1,0qn 53 2053 16453a,1qa， S 5=315. A【解析】：作出可行域如图：直线 x+y=6 过点 A（k ，k）时，z =x+y 取最大，k=3 ，z=x+y
11、过点 B 处取得最小值，B 点 在直线x+2y=0 上，B（6，3 ） ，z 的最小值为6+3=3 6. C【解析】：函数 f(x)=(1-cosx)sinx 是奇函数，所以图像关 于原点对称，且 xf cos)1sin)(2 ，所以 0)(f，曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线斜率为 0. 7.B【解析】：根据题意可知该程序框图是在区域 2),(yxxA内随机产生 2017 个点，其中在区域 2|),(yxB内的点的个数记为 M，计算并输出 017P的值。分别作出区域A，B ，其中区域 A 是边长为 4 的正方形，区域 B 是对角线长分别为 2 和 4 的菱形。根据几何概型概率计算公式可
12、得，输出的 P 的近似值为 16。8. A【解析】由题四边形 PP1Q1Q 为直角梯形，且|PP1|+|QQ1|=|PF|+|QF|PQ|2 ，|P 1Q1|PQ |sin301，所以四边形 PP1Q1Q 的面积为|)|(|21QP9.C【解析】由三视图可得四面体即图中三棱锥 CEFM ，BCEF ，BC平面 EFM 61BEMFEBEFMCVV。10.D【解析 】：函数 )sin(2)(xf，且周期为 2， .xxxgcos6)(sin)(，A. ,2,4为，g( x)单调递减。B. 4x时， 0)2cos()(xg，图像关于0,对称，直线 4x不是对称轴。C.g(x) 是偶函数。D. 34
13、,32,6为，21,cosx，g(x )的值域为 -2,111.D【解析 】由正弦定理 8sinBAC得底面 A B C 所在圆的半径为 4，所以半球的半径 24R，所以半球的表面积为 962R12.D【解析 】：解：设双曲线的右焦点为 F2，则 F2 的坐标为（c，0）因为曲线 C1 与 C3 有一个共同的焦点，所以 y2=4cx 。因为原点 O 为 F1F2 的中点，M 为 F1N 的中点，所以 OM 为NF 1F2 的中位线，所以 OMNF 2因为|OM|=a ，所以 |NF2|=2a 又 NF2NF 1，| F1F2|=2c 所以 | NF1|=2b ，过点 N 作抛物线准线的垂线，垂
14、足为 P，且|NP|=2a，根据 NPRt t，得 a， ac2，即 ac2得 e2-e-1=0， e= 21513. 3【解析】 322ba|ba| ， 1， 1cos|为，a 与 b 的夹角大小为 214. 1【 解析】令 x=0，y =1，可得不含 x 项的各项系数之和为 143915. 2【解析】由 2)()(fgx=0 得，12)(xf，作出 y=f(x)，12x的图象，由图象可知共有 2 个交点，故函数的零点个数为 216.2, 5【解析】： AbcaSABCsin14， Abcasin42由余弦定理： cbao22。 （1） ，当且仅当 a45时，等号成立（2）bcabcabcb
15、c 22222 .综上， 的取值范围为2, 5.17.解析（1 ）设数列a n的公差为 d，数列b n的公比为 q，则3250bS得 q234106，解得 2d3 分所以 an=3+2 (n-1)=2n+1，b n=2n-1 5 分（2 ） 由 a1=3，a n=2n+1，得 )(2)(1naSn则 为为nncn ,2)(117 分 n, 2c 8 分 3)14(241)(21 )2(53)() 1324212132 nn nnnnccT 12 分18.解析（1 ）证明：四边形 ABCD 是菱形，ABC=60，ABC 为正三角形E 为 BC 的中点，AE BC， 又BCAD，AEADPA平面
16、ABCD，AE 平面 ABCD，PAAEPA 平面 PAD，AD 平面 PAD，且 PAAD=A，AE平面 PAD，PD 平面 PAD，AEPD4 分（2 ）解：设 AB=2，H 为 PD 上任意一点，连接 AH，EH由（1）知 AE平面 PAD，则 EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角。在 Rt EAH 中， AE= 3，当 AH 最短即 AHPD 时，EHA 最大。此时 tanEHA= AHE，AH=1又AD=2 ， ADH=30 PA=ADtan30= 326 分由（1）知 AE，AD ，AP 两两互相垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，又E， F
17、分别为 BC，PC 的中点，A(0 ，0，0)，B( 3，-1 ，0)，C( 3，1 ，0)，D(0，2， 0)， P(0，0 ，32)，E( ，0 ，0)，F( 2， ， ) ),(AE， )3,1(AF，)0,3(BD设平面 AEF 的法向量 m zyx则 0AF，即 0321301zyx取 1z，则 m= ,BD AC，BDPA，PAAC=A，BD平面 AFC平面 AFC 的一个法向量为 )0,3(BDcos= 72111 分二面角 E-AF-C 为锐二面角，所求二面角的余弦值为12 分19.解析（1 ）由散点图可以判断，y=c+d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类
18、型2 分（2 ）令 xw，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于812()108.6iiiiid5638.10.cyw所以 y 关于 w 的线性回归方程为 wy68.10因此 关于 x的线性回归方程 x6 分（3 ） 由（2 ）知，当 49时，年销售量 y的预报值 .57498.10年利润 z的预报值 32.6.0657z9 分根据（2）的结果知，年利润 z的预报值 1.0.)86.10( xxz所以，当 .23x，即 462时， z取得最大值，故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大12 分20.解析（1 ）根据题意，|QP|=|QF| ，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4|EF|= 32故动点 Q 的轨迹 是以 E，F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆设其方程为 )0(12bayx，可知 a=2，c= = 3，则 b=13 分点 Q 的轨迹 的方程为 142yx4 分（2）依题意设直线 l 的方程为 y=kx+m，(k0)， A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)联立 42yxk，整理得 048)12m，0)1(62k， ,4221kx21)1(kx6 分 21,k构成等比数列， 21k= 21)(xm整理得 0)(21mx， 0482k，解得 m=0 或 412kA，O，B 三点不共线， m0，k0， 1，
