1、高考理科数学模拟试题精编(十)(考试用时：120 分钟 试卷满分：150 分)注意事项：1作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。2非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
2、)1已知集合 A(x，y)|yx1,0x1，集合 B(x，y)|y2x,0x 10 ，则集合 AB ( )A1,2 Bx|0 x1 C(1,2) D2设 i 是虚数单位，复数(a1i) 22a1 为纯虚数，则实数a 为( )A1 B1 C1 或1 D123若 sin( ) ，且 ，则 sin 2 的值为( )13 2A B C. D.429 229 229 4294已知 A(1,2)，B(2,4)，C(2,1) ，D(3,2) ，则向量 在向量CD 上的投影为( )AB A. B. C. D.55 255 22 2235设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与
3、C 交于 A，B 两点， |AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为( )A. B. C2 D33 26某国际会议结束后，中、美、俄等 21 国领导人合影留念，他们站成两排，前排 11 人，后排 10 人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )AA 种 BA 种 CA A A 种 18 20 23 318 10DA A 种2 187M dx，N 0cos xdx，由程序框图输出 S10 1x 1 2的值为( )Aln 2 B0C. D128如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱后得到的几何体的
4、三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为( )A. 1 B. 33 33 13C. D. 133 339已知平面向量 a(2cos 2x，sin 2x)，b(cos 2x，2sin 2x)，f( x)ab，要得到 ysin 2x cos 2x 的图象，只需要将 yf (x)的图象3( )A向左平行移动 个单位 B向右平行移动 个单位6 6C向左平行移动 个单位 D向右平行移动 个单位12 1210在线段 AB 上任取一点 C，若 AC2ABBC，则点 C 是线段 AB 的“ 黄金分割点 ”，以 AC、BC 为邻边组成的矩形称为“黄金矩形” 现在线段 AB 上任取一点 C，若以 AC、
5、BC 为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为( )A3 B. 2 C. 1 D35 5 3 711如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD为正方形，E ，F 分别为 PA，PD 的中点，在此几何体中，给出下面 4 个结论：直线 BE 与直线 CF 异面；直线 BE 与直线 AF 异面；直线 EF平面 PBC； 平面 BCE平面 PAD.其中正确的有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个12已知正三角形 ABC 的顶点 A，B 在抛物线 y24x 上，另一个顶点 C(4,0)，则这样的正三角形有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个第卷二、填空题(本大题共
6、 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13已知圆 C：x 2y 22x4y10 与直线 l：xay10相交所得弦 AB 的长为 4，则 a_.14一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c(a、b、c (0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其他得分情况)，则 ab 的最大值为_15如图，小明同学在山顶 A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在 A 处测得公路上 B，C 两点的俯角分别为 30，45，且BAC135.若山高 AD100 m，汽车从 B 点到 C 点历时 14 s，则这辆汽车的速
7、度约为_m/s(精确到0.1)参考数据： 1.414 ， 2.236.2 516已知函数 f(x) ，下列关于函数 f(x)的研究：yf (x)的1|x| 1值域为 R.y f(x) 在(0，)上单调递减yf (x)的图象关于 y轴对称y f(x) 的图象与直线 yax(a 0)至少有一个交点其中，结论正确的序号是_三、解答题(共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答)(一) 必考题：共 60 分17(本小题满分 12 分)已知数列a n为等差数列，其中a2a 38，a 53a 2.(1)求数列
8、 an的通项公式；(2)数列 bn中 , b11，b 22，从数列a n中取出第 bn项记为cn，若 cn是等比数列，求b n的前 n 项和18(本小题满分 12 分)某地高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制各等级划分标准：85 分及以上，记为 A 等级；分数在70,85)内，记为 B 等级；分数在60,70)内，记为 C 等级；60 分以下，记为 D 等级同时认定等级为 A，B ，C 的学生成绩为合格，等级为 D 的学生成绩为不合格已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在50,100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取 50 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照50
9、,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100分组作出甲校样本的频率分布直方图( 如图 1 所示) ，乙校的样本中等级为 C，D 的所有数据的茎叶图(如图 2 所示 )(1)求图 1 中 x 的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；(2)在选取的样本中，从甲、乙两校 C 等级的学生中随机抽取 3名学生进行调研，用 X 表示所抽取的 3 名学生中甲校的学生人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望19(本小题满分 12 分)如图 1，已知在梯形 ABCD 中，AB CD，E ，F 分别为底 AB，CD 上的点，且EF AB， EFEB FC2，EA FD，沿 EF 将平面 A
10、EFD 折12 12起至平面 AEFD平面 EBCF，如图 2 所示(1)求证：平面 ABD平面 BDF；(2)若二面角 BADF 的大小为 60，求 EA 的长度20(本小题满分 12 分)已知椭圆 C： 1( ab0)的左x2a2 y2b2焦点为 F1( ，0)， e .622(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，设 R(x0，y 0)是椭圆 C 上一动点，由原点 O向圆( xx 0)2(yy 0)24 引两条切线，分别交椭圆于点P，Q ，若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k 2，求证：k 1k2 为定值；(3)在(2)的条件下，试问| OP|2| OQ|2 是否为定值？若是，
11、求出该值；若不是，请说明理由21已知函数 f(x)ln xx 2f .(12)x 22(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)证明： f(x)2e x.(12x2 x 1)(二) 选考题：共 10 分请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程以直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位已知曲线 C1 的参数方程为：Error!( 为参数) ，将曲线 C1 上每一点的纵坐标变为原来的 倍(横坐标不变) ，12得到曲线 C2，直线 l 的极坐标方程： cos 2sin m
12、 03(1)求曲线 C2 的参数方程；(2)若曲线 C2 上的点到直线 l 的最大距离为 2 ，求 m 的值723(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|2x3| |2 x1|.(1)求不等式 f(x)5 的解集；(2)若关于 x 的不等式 f(x)| m1|的解集非空，求实数 m 的取值范围高考理科数学模拟试题精编(十)1解析：选 C.根据题意可得， Error!，解得Error!，满足题意0x1，所以集合 AB(1,2) 故选 C.2解析：选 A.(a1i) 22a1( a21) 2(a1)i.(a1i)22a1 是纯虚数，Error!解得 a1，故选 A.3解析
13、：选 A.因为 sin( )sin ， ，所以 cos 13 2 ，所以 sin 22sin cos 2 ，故选223 13 ( 223) 429A.4解析：选 A. (1,2)， (1,1) ，向量 在向量AB CD CD 上的投影为 ，故选 A.AB AB CD |AB | 15 555解析：选 A.设双曲线 C 的标准方程为 1( a0，b0)，由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂x2a2 y2b2直，因此直线 l 的方程为 xc 或 xc ，代入 1 中得x2a2 y2b2y2b 2 ，y ，故| AB| ，依题意(c2a2 1) b4a2 b2a 2b2a4a， 2， e ，选
14、A.2b2a b2a2 1 (ba)2 1 2 36解析：选 D.中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有 A22 种站法；其他 18 国领导人可以任意站，因此有 A1818 种站法根据分步计数原理，共有A22A1818 种站法故选 D.7解析：选 A.M 10 dxln(x1) 10ln 2ln 1ln 2.1x 1N 0cos xdxsin x 0sin sin 01，ln 21，2 2 2MN， SMln 2.8解析：选 A.由三视图知圆柱与正三棱柱的各侧面相切，设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 V 圆柱 r2h.正三棱柱底面三角形的高为 3r，边长
15、为 2 r，则 V 正三棱柱 2 r3rh3 r2h，所312 3 3以该几何体的体积 V(3 )r 2h，则该几何体的体积与挖去的圆3柱的体积的比值为 1.33 r2hr2h 339解析：选 D.由题意得：f(x)ab2cos 4x2sin 4x2(cos 2xsin 2x)(cos2xsin 2x)2cos 2x2sin，(2x 2)而 ysin 2x cos 2x2sin 2sin ，故只3 (2x 3) 2(x 12) 2需将 yf (x)的图象向右平移 个单位即可1210解析：选 A.不妨记 AB1，则由 AC2ABBC 得 AC，从而 BC ，于是“黄金矩形”的面积为 2.现在线5
16、 12 3 52 5段 AB 上任取一点 C，设 ACx，则 BC1x，由 x(1x) 25得 0x 或 x1，故所求概率为 P 13 52 5 12 3 523 .5 12 511.解析：选 B.将几何体的展开图还原为几何体(如图)，因为 E，F 分别为 PA，PD 的中点，所以 EFADBC，即直线 BE 与 CF 共面， 错；因为 B平面 PAD，E平面PAD，EAF，所以 BE 与 AF 是异面直线，正确；因为EFADBC，EF平面 PBC，BC平面 PBC，所以 EF平面PBC，正确；平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直，错故选 B.12解析：选 D.设 A(x1，y 1)，B
17、(x2，y 2)，则由|AC| BC|得(x14) 2y 21( x24) 2y 22，即(x 1x 2)(x1x 28)y 21y 220，又y214x 1，y 224x 2，代入上式，得 (x1x 2)(x1x 24)0 ，由得 x1x 2 或 x1x 24，若 x1x 2，则|y 1|y 2|，显然 A，B 关于抛物线的对称轴(x 轴) 对称，考虑到ABC 是正三角形， AC 与 x 轴所成的角为 30，不妨设直线 AC：y (x4)，联立直线与抛物线的方33程，得Error!x 220x160x102 ，21即这样的点 A 有 2 个，对应的等边三角形也有 2 个，分别是A 1B1C
18、和A 2B2C，如图所示若 x1x 2，则 x1x 24，取 AB 的中点 D(x0，y 0)(设 y00)，则有 x0 2，D(2，y 0)，又当 x2 时，x1 x22y24x8， y02 ，再由 y21y 224x 1 4x2 得(y 1y 2)(y1y 2)24( x1x 2)， ， 直线 AB：yy 0 (x2) ，y1 y2x1 x2 4y1 y2 2y0 2y0即 2xy 0y4y 20，联立直线与抛物线方程，得Error!y 22y 0y2y 2080，方程 y2 2y0y2y 2080 的判别式 ( 2 y0)24(2 y208)324y 20，而 y02 ，0，该方程2有
19、2 个不相等的实数根，即其对应的点 A(点 B)有 2 个，其对应的等边三角形有 2 个，分别是ABC 和 ABC .综上，可知符合要求的正三角形有 4 个故选 D.13解析：圆 C：x 2y 22x4y10 可化为( x1) 2( y2)24，圆心 C(1,2)，半径 r2，依题意知弦长 |AB|4，因此直线 l经过圆心 C(1,2)，故 12a10，解得 a1.答案：114解析：设投篮得分为随机变量 X，则 X 的分布列为X 3 2 0P a b cE(X)3a2b22 ，所以 ab ，当且仅当3a2b163a2b 即 a ，b 时，等号成立13 12答案：1615解析：因为小明在 A 处
20、测得公路上 B，C 两点的俯角分别为 30，45，所以BAD60，CAD45. 设这辆汽车的速度为 v m/s，则 BC14v ，在 RtADB 中，AB 200.ADcosBAD ADcos 60在 RtADC 中，AC 100 .ADcosCAD 100cos 45 2在 ABC 中，由余弦定理，得BC2 AC2 AB22AC ABcosBAC，所以(14 v)2(100 )22200 22100 200cos 135，所以 v 22.6，所以这250107辆汽车的速度约为 22.6 m/s.答案：22.616.解析：函数 f(x) Error! ，其图象如图所示，1|x| 1由图象可知
21、f(x)的值域为 (，1)(0， ) ，故错；在(0,1) 和(1，)上单调递减，在 (0，) 上不是单调的，故错；f(x) 的图象关于 y 轴对称，故正确；由于在每个象限都有图象，所以与过原点的直线 yax(a0) 至少有一个交点，故正确答案：17解：(1)设等差数列a n的公差为 d，依题意有Error!，(2 分)解得 a11，d2，从而a n的通项公式为 an2n 1，nN *.(4分)(2)c1 ab1 a11，c 2ab 2a 23，从而等比数列c n的公比为3，因此 cn13 n1 3 n1 .(7 分)另一方面，c nab n2b n1，所以 2bn13 n1 ，因此 bn.(
22、9 分)3n 1 12记b n的前 n 项和为 Sn，则 Sn 1 31 3n 1 n2.(12 分)3n 2n 1418解：(1)由题意，可知10x0.012100.056100.018100.010101，x0.004.(2 分 )甲学校的合格率为 (1100.004)100%0.96100%96%，(3 分)乙学校的合格率为 100%0.96100%96%.(4 分)(1 250)甲、乙两校的合格率均为 96%.(5 分)(2)样本中甲校 C 等级的学生人数为 0.01210506，乙校 C等级的学生人数为 4.(6 分)随机抽取 3 名学生中甲校学生人数 X 的可能取值为 0,1,2,
23、3.(7分)P(X0) ，P(X1) ，P(X2)C34C310 130 C16C24C310 310 ，P( X3) .C26C14C310 12 C36C310 16X 的分布列为X 0 1 2 3P 130 310 12 16(11 分 )数学期望 E(X)0 1 2 3 .(12 分)130 310 12 16 9519解：(1)证明：由题意知 EA 綊 FD，EB 綊 FC，所以12 12ABCD，即 A，B，C ，D 四点共面(2 分)由 EFEB FC2，EFAB，得 FB BC212 EF2 EB2，则 BCFB，又翻折后平面 AEFD平面 EBCF，平面 AEFD2平面 EB
24、CFEF，DF EF，所以 DF平面 EBCF，因而 BCDF，又 DFFBF，所以 BC平面 BDF，由于 BC平面 BCD，则平面 BCD平面 BDF，又平面 ABD 即平面 BCD，所以平面 ABD平面 BDF.(6 分)(2)以 F 为坐标原点，FE，FC ，FD 所在的直线分别为x，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系则 F(0,0,0)，B(2,2,0) ，设 EAt(t0)，则 A(2,0，t )，D(0,0,2t)， (0,2，t)， (2,0，t )(8 分)AB AD 设平面 ABD 的法向量为 m(x，y，z)，则Error!即Error!取 xt，则 yt ，z2
25、，所以 m(t，t,2)为平面 ABD 的一个法向量(10 分)又平面 FAD 的一个法向量为 n(0,1,0) ，则|cosm，n | ，所以 t ，即 EA 的长度为 .(12 分)|mn|m|n| t2t2 41 12 2 220. 解：(1)由题意得，c ，e ，解得 a2 ，622 3b2a 2c 2 1266 ，(1 分)椭圆 C 的方程为 1.(3 分)x212 y26(2)证明：由已知，直线 OP：yk 1x，OQ ： yk 2x，且与圆 R相切， 2 ，化简得(x 204)k 21 2x0y0k1y 2040，同|k1x0 y0|1 k21理，可得(x 204) k22 2x
26、0y0k2y 2040， (5 分)k1，k 2 是方程 (x204)k 22x 0y0ky 204 0 的两个不相等的实数根，x 2040，0，k 1k2 .(7 分)y20 4x20 4点 R(x0， y0)在椭圆 C 上， 1，即x2012 y206y206 x20， k1k2 .(8 分)12 2 12x20x20 4 12(3)|OP|2|OQ| 2 是定值 18.(9 分)设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立得Error!，解得Error!，x 21y 21 ，同理，可得121 k211 2k21x22y 22 .(10 分)121 k221 2k22由 k1k2 ，
27、得12|OP|2|OQ |2x 21y 21x 22y 22 121 k211 2k21 121 k221 2k22 18.121 k211 2k21121 ( 12k1)21 2( 12k1)2 18 36k211 2k21综上：|OP |2|OQ| 218.(12 分)21解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f( x) 2x f ，则 f 21 f ，解得 f 2，所以1x 12 (12) (12) 12 (12) (12)f(x)ln xx 2x2 ，此时，f(x) 2x1 ，(21x 2x2 x 1x分)由 f (x)0 得 0x1，f(x)0 得 x1，所以函数 f(x)的单
28、调增区间为(0,1)，单调减区间为(1 ，) (4 分)(2)证明：不等式 f(x)2e x等价于 f(x)(12x2 x 1) ，(5 分)2ex12x2 x 1由(1)f(x) 在(0，)上的最大值为 f(x)maxf(1)2，所以 f(x)2 ，(6 分)令 g(x)e x (x0)，所以 g(x)(12x2 x 1)e xx1 ，( g(x)e x1，所以，当 x0 时，( g(x)0，所以 g(x) 在(0 ，)上单调递增，所以 g(x)g(0)0，所以 g(x)在 (0，)上单调递增，所以 g(x)g(0)0，即 ex0，(10 分)(12x2 x 1)因为 x0，所以 1， 2f
29、( x)(11 分)ex12x2 x 12ex12x2 x 1所以，x0 时， f(x)2e x，(12 分)(12x2 x 1)22解：(1)设曲线 C1 上一点 P(x1，y 1)与曲线 C2 上一点 Q(x，y) ，由题知：Error!，(2 分)所以Error!( 为参数)(4 分)(2)由题知可得：直线 l 的直角坐标方程为： x2ym0.(53分)设曲线 C2 上一点 B(2cos ，sin )到直线 l 的距离为 d，则 d ，(7 分)|23cos 2sin m|7 |4sin( 3) m|7当 m0 时，d max 2 ，解得：m10，当 m0 时，4 m7 7dmax 2 ，解得：m10，综上所述：m10.(10 分)4 m7 723解：(1)原不等式为：|2 x3| |2x1|5，当 x 时，32原不等式可转化为4x25，即 x ，(2 分)74 32当 x 时，原不等式可转化为 45 恒成立，32 12 x .(3 分)32 12当 x 时，原不等式可转化为 4x25，即 x ，(4 分)12 12 34原不等式的解集为 x| x (5 分)74 34(2)由已知函数f(x)Error!，作出图象如图，由图象可得函数yf (x)的最小值为 4，(8 分)|m1|4，解得 m5 或 m3.(10 分)
