1、云南省玉溪一中 2015 届高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题，椭圆，参数方程等；【题文】一、选择题：本大题共 12 小题，共 60 分。每小题给出的四个选项只有一项符合题目要求。【题文】1、设全集 5,4321U,集合
2、 2,1A, 5,3B,则 BACU)(（ ）A 3,5 B C 4 D 1,234 【知识点】集合及其运算 A1【答案解析】C 3,4,5则 2，3，4，5故选 C.UA()U【思路点拨】先求出 3,4,5再求结果。C【题文】2、在复平面内，复数 1i的共轭复数的对应点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【知识点】复数的基本概念与运算 L4【答案解析】D =-i(i-1)=i+1 的共轭复数为 1-i 所以对应的在第四象限故选 D。i【思路点拨】先化简再求共轭复数，确定结果。【题文】3、设变量 x、 y满足约束条件 632xy，则目标函数 yxz2的最小值为（ ）A 2B
3、3C 4D 9 【知识点】简单的线性规划问题 E5【答案解析】C 由约束条件 632xy得如图所示的阴影区域，由目标函数可得：y=-2x+z，显然当平行直线过点 A（2，0）时，z 取得最小值为 4；故选C【思路点拨】先画出约束条件 632xy的可行域，平移目标函数，找出目标函数2x+y 的最小值【题文】4、要得到函数 2sin()y的图象，只要将函数 2sinyx的图象（ ）A向左平移 6个单位 B 向右平移 6个单位 C向左平移 1个单位 D向右平移 12个单位【知识点】函数 的图象与性质 C4sin()yAx【答案解析】C 因为 y=2sin2x 向左平移 12个单位个单位后得到 y=2
4、sin2(x+ )=2sin(2x+12),故选 C.6【思路点拨】根据图像平移的性质求出解析式。【题文】5、若圆 2490xy与 y轴的两个交点 ,AB都在双曲线上，且 ,AB两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（ ）A2197yB. 2197C. 2168xyD. 2186yx【知识点】双曲线及其几何性质 H6【答案解析】A 解方程组 ，得 或 ，2490xy3xy0圆 x2+y2-4x-9=0 与 y 轴的两个交点 A，B 都在某双曲线上，且 A，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，A（0 ，-3），B（0，3），a=3，2c=18，b 2=（ ） 2-32=72，18
5、双曲线方程为2197yx故答案为 A.【思路点拨】由已知条件推导出 A（0，-3） ，B（0，3） ，从而得到 a=3，2c=18，由此能求出双曲线方程【题文】6、已知 2sin3，则 cos(2)( )A 53 B.19 C. D. 5【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2【答案解析】B cos( -2 )=-cos2 =2 -1=- 故选 B。2sin19【思路点拨】根据诱导公式及二倍角公式求得。【题文】7、阅读右边程序框图，为使输出的数据为 31，则判断框中应填入的条件为（ ）A. i B. 6i C. 5i D. 4i【知识点】算法与程序框图 L1【答案解析】D 程序在运行
6、过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环循环前1 1 第一圈 3 2 是第二圈 7 3 是第三圈 15 4 是第四圈 31 5 否所以当 i4时输出的数据为 31，故选 D【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求 S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案【题文】8、设 0.90.42,8,log17abc，则正确的是（ ）A. bc B. C. ab D. ac【知识点】指数对数 B6 B7【答案解析】B 由 ， ，0.91.8240.41.2.8，则 cab，故选 B。222log17l6【思路点
7、拨】利用指数函数对数函数的性质比较大小。【题文】9、一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为（ ）A 2 B 32 C1 D 1【知识点】空间几何体的三视图和直观图 G2【答案解析】A 由已知三视图我们可得：棱锥以俯视图为底面，以主视图高为高，故h=1，S 底面 = （1+2 ）1= ，故 V= S 底面 h= ，故答案为：A 123212【思路点拨】根据已知三视图，我们结合棱锥的结构特征易判断出几何体为四锥锥，结合三视图中标识的数据,我们易求出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案【题文】10、已知抛物线 20ypx与双曲线 210,xyab有相同的焦点 F，点 A 是两曲线
8、的一个交点，且 AF x 轴，则双曲线的离心率为 ( )A 2 B 1 C 1 D 1 2 5 3 2【知识点】双曲线及其几何性质 H6【答案解析】D 画出示意图： 由双曲线得 AF= ，2ba由抛物线也可求得 AF=p=2c，两者相等得到 2c= ，又 c2=a2+b2即可求得双2ba曲线的离心率 +1故选 D【思路点拨】根据题意:由双曲线得 AF 的值，由抛物线也可求得 AF 的值，两者相等得到关于双曲线的离心率的等式，即可求得双曲线的离心率【题文】11、已知函数 131)(2xbaxf ，若 a是从 23，三个数中任取的一个数， b是从 012，三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点
9、的概率为（ ）A. 3 B. C.95 D. 97 【知识点】导数的应用 B12【答案解析】A 求导数可得 f（x）=x 2+2ax+b2，要满足题意需 x2+2ax+b2=0 有两不等实根，即=4（a 2-b2）0 ，即 ab，又 a，b 的取法共 33=9 种，其中满足 ab 的有（1 ，0），（2，0），（2 ，1），（3，0），（3，1），（3 ，2）共6 种，故所求的概率为 P= 故选 D693【思路点拨】由极值的知识结合二次函数可得 ab，由分步计数原理可得总的方法种数，列举可得满足题意的事件个数，由概率公式可得【题文】12、已知命题 p：函数 2()1(0)fx在 (,1内恰有一
10、个零点；命题 q：函数 2ayx在 (0,)上是减函数.若 p且 q为真命题,则实数 a的取值范围是( ). A. 1 B. 1a C. 2 D. 或 2a【知识点】命题及其关系 A2 【答案解析】B 由题意，命题 p： 得 a1180(0)()af命题 q：2-a0，得 a2 ， q：a2 故由 p 且q 为真命题，得 1a2，故选 C【思路点拨】先求出命题 p，q 为真命题时，a 的范围，即可求出 p 且q 为真命题时，即可求实数 a 的取值范围第卷（ 非选择题 90 分 ）【题文】二、填空题：本大题共 4 小题，共 20 分。题文】13、若数列 na的前 n 项和 21nS，则 na 。
11、【知识点】数列的概念与简单表示法 D1【答案解析】 当 n 2 时， =2n-1,当 n=1 时 = =221,na1nnas1as所以 ,21n【思路点拨】根据数列的求和公式求出 。na【题文】14、正三角形 ABC中， 3,D是边 BC上的点，且满足 =2BD，则 = .【知识点】平面向量的数量积及应用 F3【答案解析】 由于正三角形 ABC 中，AB=3，D 是边 BC 上的点，且满足 =2BCD，74则点 D 为线段 BC 的中点，故有 AD=ABsinB=3 = ，且BAD= ，326则 AB=ABADcosBAD=3 = ，故答案为： 327474【思路点拨】由条件利用两个向量的加
12、减法的法则，以及其几何意义，求得 AD 和BAD的值，可得 D=ABADcosBAD 的值【题文】15、若函数 ()|31|fxax有最小值，则实数 a的取值范围为 。【知识点】函数的单调性与最值 B3【答案解析】-3，3 f（ x）=|3x-1|+ax+3= 函数 f（x）有最小值的1(3)2,34,xa充要条件为 ，即-3a3，故实数 a 的取值范围是-3 ，3故答案为：-3，3 30a【思路点拨】化简函数 f（x）的解析式 f（x）=|3x-1|+ax+3= ，f（x）有最小值的充要条件为 ，由此求得实数1(3)2,34,a 30aa 的取值范围【题文】16、一个几何体的三视图如图所示，
13、则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为 【知识点】空间几何体的三视图和直观图 G2【答案解析】 由三视图知，几何体是一个组合体，3是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是 1 的正方形，四棱锥的高是 ，斜高为 ，23这个几何体的表面积为 8 1 =213根据几何体和球的对称性知，几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是 ，2外接球的表面积是 4（ ）2=2 则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为2= 故答案为： 233【思路点拨】几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是 1 的正方形，四棱锥的高是 ，根据求和几何体的对称性得到几何体
14、的2外接球的直径是 ，求出表面积及球的表面积即可得出比值2【题文】三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。【题文】17、 （本小题满分 10分）选修 4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的 x轴的正半轴重合直线的参数方程是3541xty（为参数） ，曲线 C的极坐标方程为 2sin()4（）求曲线 C的直角坐标方程；（）设直线与曲线 相交于 M， N两点，求 ， N两点间的距离【知识点】选修 4-4 参数与参数方程 N3【答案解析】 （1）x 2+y2-x-y=0（） 415（1）将曲线 C 的极坐标方程化为 =2 sin（+ ）=cos+
15、sin2两边都乘以 ，得 2=cos+sin 因为 x=cos，y=sin， 2=x2+y 2代入上式，得方求曲线 C 的直角坐标方程为： x2+y2-x-y=0（2）直线 l 的参数方程是3154xty（t 为参数），消去参数 t 得普通方程：4x-3y+1=0，将圆 C 的极坐标方程化为普通方程为： x2+y2-x-y=0，所以（ ， ）为圆心，半径等于 所以，圆心 C 到直线 l 的距离 d=1214325所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为：|MN|=2 即 M、N 两点间的距离为219()0415【思路点拨】 （1）利用直角坐标与极坐标间的关系，将曲线 C 的极坐标方程：=2 sin
16、（+ ）化成直角坐标方程：x 2+y2-x-y=0，问题得以解决；24（2）先将直线 l 的参数方程化成普通方程：4x-3y+1=0，由（1）得曲线 C 是以（ ， 12）为圆心，半径等于 的圆，结合点到直线的距离公式及圆的几何性质，可求得 M、N2两点间的距离【题文】18、 （本小题满分 12 分）在ABC 中，角 CBA,的对应边分别是 cba,满足 22abc.（I）求角 的大小；（ II）已知等差数列 n的公差不为零，若 1os1A，且842,a成等比数列,求数列 14na的前 项和 nS.【知识点】数列求和 D4【答案解析】 （）A= （ ）3（） 22abc， = = ，cosA=
17、 ，A（0，），A= 22bcab123（）设a n的公差为 d，a 1cosA=1，且 a2，a 4，a 8 成等比数列，a 1= =2，且 a42=a2a8，cos（a 1+3d） 2=（a 1+d）（a 1+7d），且 d0，解得 d=2，a n=2n， = ，14n()nS n=（1- ）+（ - ）+（ - ）+ （ ）=1- = 2341n1n【思路点拨】 （）由已知条件推导出 = = ，所以 cosA= ，由此能求22bcab2出 A= 3（）由已知条件推导出（a 1+3d） 2=（a 1+d）（a 1+7d），且 d0，由此能求出 an=2n，从而得以 ，进而能求出 的前 n
18、项和 Sn14()nn14n【题文】19、 （本小题满分 12 分）已知三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AC=BC,点 D 是 AB 的中点 ()求证：BC 1平面 CA1D；()若底面 ABC 为边长为 2 的正三角形，BB 1= 3 ，求三棱锥 B1-A1DC 的体积【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系 G5 G6【答案解析】()略()1()连接 AC1交 A1C 于点 E，连接 DE因为四边形 AA1C1C 是矩形，则 E 为 AC1的中点，又 D 是 AB 的中点，DEBC 1，又 DE面 CA1D，BC 1面 CA1D，BC 1面 CA1（2）AC=BC，D 是
19、 AB 的中点，ABCD，又 AA1面 ABC，CD 面 ABC，AA 1CD，AA 1AB=A ， CD面 AA1B1B， CD 面 CA1D， 平面 CA1D平面 AA1B1B()解： 11ADCV ,可证 CD面 ABB1B， AD B CC1A1B1AD B CC1A1B1所以高就是 CD= 3 ，BD=1，BB 1= 3，所以 A1D=B1D=A1B1=2, 13ABDS , 1CABDV【思路点拨】利用线线平行证明线面平行，利用等体积法求出高再求体积。【题文】20、 （本小题满分 12 分）高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答
20、如下问题：（）求分数在50,60)的频率及全班人数；（）若要从分数在80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在90,100之间的概率【知识点】用样本估计总体 I2【答案解析】 （）25（）0.6（）分数在50,60)的频率为 0.008100.08，由茎叶图知：分数在50,60)之间的频数为 2，所以全班人数为 25.20.08（）将80,90)之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4，90,100之间的 2 个分数编号为 5,6，在80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(
21、2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共 15 个。其中，至少有一个在90,100之间的基本事件有 9 个，故至少有一份分数在90,100之间的概率是 0.6.915【思路点拨】根据频率分布直方图比例关系求出全班人数，列出基本事件求出概率。【题文】21、 （本小题满分 12 分）已知在平面直角坐标系 xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 (3,0)F,右顶茎 叶5 6 86 2 3 3 5 6 8 97 1 2 2 3 4 5 6 7 8 98 9 5 8点为 (2,0)D,设点 1,2A。（）求该椭圆的标准方程；（）若
22、 P是椭圆上的动点，求线段 PA中点 M的轨迹方程；（）过原点 O的直线交椭圆于点 ,BC，求 面积的最大值 【知识点】椭圆及其几何性质 H5【答案解析】 （） 142yx（） 1)4()2(2yx（） 2（）由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3,则半短轴 b=1.又椭圆的焦点在 x 轴上, 椭圆的标准方程为 142yx（）设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x 0,y0),由02xy得 x0=2x1，y0=2y 21由,点 P 在椭圆上,得 1)2(4)12(yx, 线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 )(2.（）当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此ABC 的面积 SABC =1.当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入 142yx,解得 B( 142k, 2k),C( 142k, 2k),则 2kBC,又点 A 到直线 BC 的距离 d= 2k,ABC 的面积 SABC = 241kdB于是 SABC = 141422k由 142k1,得 SABC ,其中,当 k= 时,等号成立.S ABC 的最大值是 . 【思路点拨】根据椭圆中的 a,b,c,关系求出方程，利用直线和椭圆的关系求出最值。
