1、云南省玉溪一中 2015 届高三上学期第二次月考数学（理）试题一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若 为虚数单位，则 等于 ii1A. B. C.1 D.12.已知集合 ， ，且 都是全集 的子集，则97|xM29|xyNNM,U右图中阴影部分表示的集合是 A. B. 23|x16|xC. D.| |3.从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者，其中至少有 1 名女生的选法共有A36 种 B30 种 C42 种 D60 种4.双曲线 的渐近线方程为2145xyA B C D52x5yx25yx5一平面截球
2、得到直径为 cm的圆面，球心到这个平面的距离是 2cm，则该球的体积是A12 cm3 B. 36 cm3 C 64cm3 D 108cm36.在等比数列 中， ， ，则na1513a52A B C 或 D 或3997.右图是一容量为 的样本的重量的频率分布直方图，10则由图可估计样本重量的中位数为 A B C D1.512.58. 函数 图象的一条对称轴方程可以为2cos()yxA B C D 4x334xxO 5 10 15 20频 率组 距重量0.060.1i=1s=0p=0WHILE i2013 p=i*（i+1）s=s+1/pi=i+1WEND PRINT s END9右边程序运行后，
3、输出的结果为 A B C D2012013201342014510.已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为的正方形，则这个几何体的体积不可能是A. B. C. D.2141311.已知圆 ： ，平面区域 ： .若圆心 ，且C)()(22byax 07yxC圆 与 轴相切，则 的最大值为2A. B. C. D.49379512.在实数集 中定义一种运算“ ”， ， 为唯一确定的实数，且具有性质：RRba,（1）对任意 ， ； a0（2）对任意 ， ,b(0)关于函数 的性质，有如下说法：函数 的最小值为 ；函数1()xfe)(xf3为偶函数； 函数 的单调递增区间为 xf )(f(,其中所有正确
4、说法的个数为( )A B C D0123第卷二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.在平面直角坐标系中，若直线 (s 为参数)和直线 (t 为参yxl12:1 12:yaxl数)平行，则常数 的值为_ . a14已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 nnS1634a1S15. ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点RmA0myxB03myx，则 的最大值是 ),(yxP|PB16.已知 ，正实数 满足 ，且 ，若 在区间|log|2xfn,)(nff)(xf上的最大值为 2，则 =_nm,2m3、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. (本小题满分 10
5、分) 设函数 .()12fxxa（1）当 时，求函数 的定义域；5a()f（2）若函数 的定义域为 ，试求 的取值范围.()fxRa18. (本小题满分 12 分) 已知 ABC的角 、所对的边分别是 abc、，设向量， ， （1，1） .),bamcos,(inp（1）若 /,求角 B 的大小； （2）若 ， 边长 ，角 ,3C求 AB的面积4p2c19.（本小题满分 12 分）在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的的奖品；其余 6 张没有奖.某顾客从此 10 张券中任抽 2 张，求：（1）该顾客中
6、奖的概率；（2）该顾客获得奖品总价值 （元）的概率分布和期望 E( ).20.（本小题满分 12 分）如图,在四棱柱 中，侧棱 底面 ，1DCBA1ABCD， ， ， , ， （ ,DCAB/1kAB34k56)0(k(1)求证: 平面1(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ,求 的值;1C76k21.（本小题满分 12 分）已知定点 及椭圆 ,过点 的动直线与椭圆相)0,1(C532yxC交于 两点.BA,（1）若线段 中点的横坐标是 ，求直线 的方程；2AB（2）在 轴上是否存在点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存xM M在，请说明理由.22.（本小题满分 12 分）已知函数
7、 ， ，23)(16)(xaxgxahln)(。)()(xhgxf（1）当 时，讨论函数 的单调性Ra()fx（2）是否存在实数 ，对任意的 ，且 ，都有12,(0,)12x21()fxfa恒成立，若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由.a玉溪一中高 2015 届高三上学期第二次月测答案1A C A B B D C D C D B C二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13._4_ 14 44 15. 5 16._ _254、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. (本小题满分 10 分) 设函数 .()12fxxa（1）当 时，求函数 的定义域；5a()f（2
8、）若函数 的定义域为 ，试求 的取值范围.()fxRa解：（1）当 时， ， 由()125fx1250x得 或 或 ，解得 或120x280x4即函数 的定义域为()f14x或（2）由题可知 恒成立，即 恒成立，而120xa12ax，所以 ，即 的取值范围为1()x,118. (本小题满分 12 分) 已知 ABC的角 、所对的边分别是 abc、，设向量， ， （1，1） .),bamcos,(inp（1）若 /,求角 B 的大小； （2）若 ， 边长 ，角 ,3C求 AB的面积4p2c解：（1） /mn osinabsiciRABRo,t1.0,4B（2）由 得4pmba由余弦定理可知： 2
9、cos3a22()3baba于是 ab =4 所以 1inABCS.20.（本小题满分 12 分）在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的的奖品；其余 6 张没有奖.某顾客从此 10 张券中任抽 2 张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得奖品总价值 （元）的概率分布和期望 E( ).解: （1）P=1- =1- = .即该顾客中奖的概率为 . 2106C453232(2) 的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.且 P（ =0）= = ，2106C3P（ =10）= = ，21065
10、P（ =20）= = ，2103CP（ =50）= = .21065P（ =60）= = .2103C故 的概率分布为：0 10 20 50 60P 31521521从而期望 E( )=0 +10 +20 +50 +60 =16. 521.（本小题满分 12 分）如图,在四棱柱 中，1DCBA侧棱 底面 ， ， ， 1ABCDDCAB/1，kB3, ， （ ,4k56)0(k(1)求证: 平面 1(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ,求 的值 ;1ACB76k解:()取 中点 ,连接 DE, /Q3k四边形 为平行四边形 且 4在 中, BCV,5CBk22E,即 ,又 ,所以90ED/A
11、QDA平面 , 平面 1QBCBC,又 , 1I平面 A()以 为原点 , 的方向为 轴的正方向建立如图所示的空间直角D1,CDurr,xyz坐标系 , , , (40)k(60)k(43)Bk1(4,0)A所以 , , ,Ar1Ar,ur设平面 的法向量 ,则由 1BC()nxyz10CnABr得 取 ,得 4603kxyz2(3,6)k设 与平面 所成角为 ,则 1A1BC11,sin|co,|Anurr,解得 .故所求 的值为 1 2673kkk21.（本小题满分 12 分）已知定点 及椭圆 ,过点 的动直线与椭圆相)0,(C532yxC交于 两点.BA,（1）若线段 中点的横坐标是 ，
12、求直线 的方程；21AB（2）在 轴上是否存在点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存xM M在，请说明理由.解 ：（1）依题意，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y=k(x+1),将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5,消去 y 整理得(3k 2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.设 A（x 1,y1）,B(x 2,y2),则 .136,0)5)(421kx由线段 AB 中点的横坐标是- ，得 =- =- ,解得 k= ，适合.221x13k23所以直线 AB 的方程为 x- y+1=0,或 x+ y+1=0.3(2)假设在 x 轴上存在点 M（m，0） ，使 为
13、常数.AMB（）当直线 AB 与 x 轴不垂直时，由（1）知x1+x2=- ,x1x2= . 36k35k所以 =（x 1-m）(x 2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)MAB=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.将代入，整理得 = +m2AMB35)6(km= +m2=m2+2m- - .1334)(22km1)(42注意到 是与 k 无关的常数，从而有 6m+14=0，m=- 37，此时 = .MAB MAB94（）当直线 AB 与 x 轴垂直时，此时点 A，B 的坐标分别为、 ，当 m=- 时，亦有 = .32,132,13
14、7M94综上，在 x 轴上存在定点 M ，使 为常数.0,22.（本小题满分 12 分）已知函数 ， ，23)(16)(xaxgxahln)(。)()(xhgxf（1）当 时，讨论函数 的单调性Ra()fx（2）是否存在实数 ，对任意的 ，且 ，都有12,(0,)12x21()fxfa恒成立，若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由.a解：（1） f（x ）的定义域为（0 ，+ )x)(2)(当 a0 时，f（x）在（0，2）上是减函数，在在 上是增函数。),2(当-2a0 时，f（x）在（0，-a）上是增函数；在（-a，2）是是减函数；在上是增函数。),2(当 a=-2 时，f（x）在（0， + 上是增函数。)当 a-2 时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，-a）上是减函数；在 上),(a是增函数。 （2 ） ，且 ，都有 恒成立，12,(0,)x12x21()fxfa不妨设 0x 1x 2，要使 ，即 f（x 2）+ax 2f（x 1）+ax 1。12()f令 g（x）=f（x）+ax= ，则 g（x）在（0，+ 为增函数。aaxln)又 xa)()(2 由题意 在（0，+ 上恒成立，得 a 不存在xg)
