1、第三节 等比数列及其前n项和,基础梳理,从第二项起，每一项与它的前一项的比,等于同一常数,公比,q,a1qn,amqn-m,a,G,b成等比数列,等比中项,akal=aman,na1,a1+a1q+a1qn,6. 等比数列前n项和的性质 等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n（均不为0时）仍成等比数列.,基础达标,1. (教材改编题)在等比数列an中，a1=1,a5=9,则a3=( ) A. 3B. -3 C. 3或-3 D.,解析：a23=a1a5=9,且a1,a3,a5同号，a3=3.故选A.,2. 已知an是等比数列,a2=2,a5= ,则公比q=( ) A.
2、 - B. -2 C. 2 D.,解析:q3= q= .故选D.,3. (2011济南山师附中模拟)在等比数列an中，a8a10=6,a4+a14=5,则 等于( )A. B. C. 或 D. - 或-,解析：由题知，a8a10=a4a14=6,且a4+a14=5,解得a4=2,a14=3,或a4=3,a14=2,或 ，故选C.,4. 在等比数列an中，前n项和为Sn,若S3=7, S6=63,则公比q的值是( ) A. 2 B. -2 C. 3 D. -3,解析：4a1,2a2,a3成等差数列，4a2=4a1+a3,即4q=4+q2,解得q=2,S4= =15.,经典例题,题型一 等比数列的
3、基本运算,【例1】(2010浙江)设Sn为等比数列an的前n项和,8a2+a5=0,则 =( ) A. -11 B. -8 C. 5 D. 11,解：设公比为q, 8a2+a5=0,8a2+a2q3=0,q=-2, -11,故选A.,变式1-1,设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3=a4-2, 3S2=a3-2,则公比q=( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6,解析：两式相减得,3a3=a4-a3,a4=4a3,q= =4.,题型二 等比数列的判定,【例2】(2010上海改编)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,nN*.证明：an-1是等比数列.,证明：当n=
4、1时，a1=-14; 当n2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1,所以an-1= (an-1-1), 又因为a1-1=-150,所以数列an-1是等比数列.,证明：bn=an-2n,即an=bn+2n, an=3an-1-4n+6, bn+2n=3bn-1+2(n-1)-4n+6, 即bn=3bn-1. 又b1=a1-2=-10, 数列bn是以-1为首项，3为公比的等比数列,变式2-1,数列an满足a1=1,an=3an-1-4n+6(n2,nN*).设bn=an-2n,求证：数列bn是等比数列.,题型三 等比数列的性质,【例3】(1)(2010全国)已知各项均为正数的等比数列a
5、n，a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( ) A. 5 B. 7 C. 6 D. 4 (2)在等比数列an中，S4=1,S8=3,则a17+a18+a19+a20=( ) A. 14 B. 16 C. 18 D. 20,分析:(1)利用等比数列的性质求解；（2）运用等比中项求解.,解：(1)由等比数列的性质知a1a2a3=(a1a3)a2=a32=5, a7a8a9=(a7a9)a8=a38=10, 所以a2a8= , 所以a4a5a6=(a4a6)a5=a35=( )3=( )3=5 ,故选A. （2）因为S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等
6、比数列，而S4=1,S8-S4=2,所以a17+a18+a19+a20=S424=124=16,故选B.,变式3-1,在等比数列an中，a1=1,公比|q|1.若am=a1a2a3a4a5,则m=( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12,解析：am=a1a2a3a4a5=a53=(a1q2)5=q10=a11,故选C.,变式3-2,(2011潍坊模拟)已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a25,a2=2,则a1等于( ) A. 1 B. C. - D. 2,题型四 等差、等比数列的综合问题,【例4】已知正数数列an的前n项和为Sn，且有Sn= (an+1)2.求证：数列an
7、是等差数列.,分析:要证明an为等差数列，只需证明n2时an-an-1为定值.,证明：由Sn= (an+1)2, 当n=1时，a1= (a1+1)2,a1=1； 当n2时，Sn-1= (an-1+1)2, an=Sn-Sn-1= (a2n-a2n-1+2an-2an-1), 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0. an0,an-an-1-2=0,即an-an-1=2. 数列an是a1=1,d=2的等差数列.,链接高考,1.(2010广东)已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为 ,则S5=( ) A. 35 B. 33 C. 31 D
8、. 29,知识准备：1. 知道等比数列通项公式、前n项和公式； 2. 会用等差中项.,解析:a2a3=a1qa1q2=2a1a4=2, a4+2a4q3=2 2+4q3= q= ,a1=故S5= =32-1=31.故选C.,2.(2010北京)已知数列an为等比数列，且a3=-6，a6=0. (1)求an的通项公式. 若等比数列bn满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求bn的前n项和公式.,知识准备：1. 会用等差数列通项公式； 2.会用等比数列前n项和公式；,解：（1）设等差数列an的公差为d.因为a3=-6,a6=0,所以 解得所以an=-10+(n-1)2=2n-12. (2)设等比数列bn的公比为q, 因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8, 所以-8q=-24,即q=3. 所以bn的前n项和公式为,
