1、2018 届广东省珠海一中等六校高三第一次联考数学理第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 10Ax， e1xB，则 ABRI（ ）A , B , C 0, D 0,12欧拉公式 cosinixex（ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥” ，根据欧拉公式可知， 2ie表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知 1ar， b，
2、且 abr，则 r为（ ）A 2 B 3 C2 D 24执行如图所示的程序框图，输出的 S值为（ ）A2 B4 C8 D165函数2lnxy的图象大致是（ ）A B C D6下列选项中，说法正确的是（ ）A若 0ab，则 lnabB向量 1,mr， ,21r（ mR）垂直的充要条件是 1mC命题“ *N， 3nn”的否定是“ *nN， 132nn”D已知函数 fx在区间 ,ab上的图象是连续不断的，则命题“若 0fab，则 fx在区间,ab内至少有一个零点”的逆命题为假命题7已知 m， n为异面直线， ， 为平面， m， n.直线 l满足 m， ln， l，l，则（ ）A ，且 l B ，且
3、lC 与 相交，且交线垂直于 l D 与 相交，且交线平行于 l8若 x， y满足1203xy则 3zxy的最大值为（ ）A 13 B C1 D29某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司 2015 年全年投入研发奖金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过 200 万元的年份是（ ） （参考数据： lg1.20.5， lg1.30， lg2.30）A2018 年 B2019 年 C2020 年 D2021 年10已知函数 cosinfxx，下列结论中错误的是（ ）A y的图象关于点 ,0中心对称 B yfx的图象关于
4、2x对称C fx的最大值为 32 D fx既是奇函数，又是周期函数11数列 na满足 1，且 1nna（ *N） ，则 122017aaL等于（ ）A 40328 B 40327 C 40285 D 403612已知函数 2,1logxf，则函数 32Fxffx的零点个数是（ ）A4 B5 C6 D7第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13若 02nxd，则 1nx的二项展开式中 2x的系数为 14已知直线 ya与圆 C： 20yay交于两点 A， B，且 C为等边三角形，则圆 C的面积为 15若曲线 xe上点 P处的切线平行于直线 21x，则点
5、P的坐标是 16一台仪器每启动一次都随机地出现一个 5 位的二进制数 12345Aa，其中 A的各位数字中，1a， k（ 2,345）出现 0 的概率为 3，出现 1 的概率为 .若启动一次出现的数字为0A则称这次试验成功，若成功一次得 2 分，失败一次得 分，则 100 次重复试验的总得分 X的方差为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17在 BC， 3， 2（1）若 A，求 的长（2）若点 D在边 上， ADC， EA， 为垂足， 62ED，求角 A的值.18如图，已知四棱锥 EABCD的底面为菱形，且 60ABC， 2EC， 2AB
6、E（1）求证：平面 平面 .（2）求二面角 的余弦值.19某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：（参考公式和计算结果： 12niixyb， aybx，4219ii，421945iixy）（1）16 号旧井位置线性分布，借助前 5 组数据求得回归直线方程为 6.xa，求 的值，并估计y的预报值.（2）现准备勘探新井 71,2，若通过 1，3，5
7、，7 号并计算出的 b， 的值（ ， 精确到 0.01）相比于（1）中的 b， a，值之差不超过 10%，则使用位置最接近的已有旧井 61,y，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（3）设出油量与勘探深度的比值 k不低于 20 的勘探井称为优质井，那么在原有 6 口井中任意勘探 4 口井，求勘探优质井数 X的分布列与数学期望.20已知椭圆 C：21xyab（ 0a）经过点 21,P，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）动直线 l： 103mxny（ m， nR）交椭圆 C于 A、 B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T，使得以 AB为直径的圆恒
8、过点 T.若存在，求出点 T的坐标；若不存在，请说明理由.21设函数 2ln1fxax有两个极值点 1x、 2，且 12x（1）求 a的取值范围，并讨论 f的单调性；（2）证明： 2l4fx四、解答题（二选一，多选者以前一题的分数记入总分） 22在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 cos,2inxaty（ 为参数， 0a） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l的极坐标方程为 s24.（1）设 P是曲线 上的一个动点，当 2a时，求点 P到直线 l的距离的最小值；（2）若曲线 C上的所有点均在直线 l的右下方，求 的取值范围.23已知 21fxx.（1）将
9、的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象.（2）若 ab，对 a， 0,b， 143fxab恒成立，求 x的取值范围.六校第一次联考理科数学参考答案一、选择题1-5:ABBCD 6-10:DDDBC 11、12：AA二、填空题13180 14 6 15 ln2, 16 308729三、解答题17解：（1）设 ABx，则由余弦定理有： 22cosACBACB即 223cos60解得： 1x所以 AB（2）因为 62ED，所以 6sin2iEDACA.在 C中，由正弦定理可得： iiB，因为 2B，所以 6sin2sin0A.所以 cosA，所以 4.18 （1）证明：取 B的中点 O，连接 E，
10、 C2E， E为等腰直角三角形 OA， 1又 C， 60， AB是等边三角形. 3， 2， 22OC EO E平面 BD，又 E平面 ，平面 平面 ABCD（2）解：以 AB的中点 O为坐标原点， B所在直线为 y轴， OE所在直线为 z轴，如图建系则 0,1， 3,0C， 3,20D， ,1ur， 1Eur， Cur设平面 D的法向量为 ,nxy，则 0Enr，即 302xy，解得：30xy， 3,01nr同理求得平面 EAC的一个法向量为 3,1mur27cos,mnur，所以二面角 AECD的余弦值为 27.19解：（1）因为 5x， 0y.回归直线必过样本中心点 ,，则 506.17.
11、5aybx.故回归直线方程为 6.17.yx，当 时， 24，即 y的预报值为 24.（2）因为 4x， .25，4219ii，42195iixy，所以21421iiiiyxb 246.5.839，6.5831.ayx，即 .b， 1.9a， 6.5b， 17.a.%b， a，均不超过 10%，因此使用位置最接近的已有旧井 ,24.（3）由题意，1，3，5，6 这 4 口井是优质井，2，4 这两口井是非优质井，所以勘察优质井数 X的可能取值为 2，3，4，2465CP， 124685CP，40261X.28134553EX20解：（1）椭圆 C：21xyab（ 0a）的两焦点与短轴的一个端点的
12、连线构成等腰直角三角形， 2ab，21xy又椭圆经过点 ,2P，代入可得 1b. 2a，故所求椭圆方程为2xy.（2）首先求出动直线过 10,3点.当 L与 x轴平行时，以 AB为直径的圆的方程：22143xy当 与 y轴平行时，以 为直径的圆的方程： 2由22143xy解得 01xy即两圆相切于点 0,，因此，所求的点 T如果存在，只能是 0,1，事实上，点 0,1T就是所求的点.证明如下：当直线 L垂直于 x轴时，以 AB为直径的圆过点 ,当直线 不垂直于 轴，可设直线 L： 13ykx由 213ykx消去 y得： 218960k记点 1,Axy、 2,Bxy，则12896kx又因为 1,
13、Tur， 2,1Txyur所以 1221TABxyur 21243xkx21124639kk26808k所以 TAB，即以 为直径的圆恒过点 ,1T所以在坐标平面上存在一个定点 ,满足条件.21解：（1） 221axafx（ 1x）令 2gx，其对称轴为 1由题意知 1、 2是方程 0gx的两个均大于 的不相等的实根，其充要条件为48a，得 12a当 1,x时， 0fx， fx在 1,内为增函数；当 2时， ， 在 2内为减函数；当 ,x时， fx， fx在 ,内为增函数；（2）由（1）知 0ga， 210，由 2xx得 x， 22ln1f22ln1x设 lhxx（ x） ，则 lx当 1,0
14、2x时， 0hx， hx在 1,02单调递增；当 ,时， ， 在 ,单调递减 .所以，当 1,02x时， 1ln24hx故 2ln4fh.22解：（1）由 cos24，得 cosin2，化成直角坐标方程，得 xy，即直线 l的方程为 40xy.依题意，设 2cos,inPt，则点 P到直线 l的距离i42ttd2cos42cos4t t当 4tk，即 3tk， Z时， min2d，故点 P到直线 l的距离的最小值为 2.（2）因为曲线 C上的所有点均在直线 l的右下方，所以对 tR，有 cosin40att恒成立，即 24a（其中 2a）恒成立，所以 ，又 0，所以 .故 的取值范围为 ,23.23解：（1）由已知，得 2,13,2xfx函数 fx的图象如图所示.（2）因为 a， 0,b，且 1ab，
