1、2017 届湖南省长沙市长郡中学高三摸底测试数学（理）试题 理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）2|30Ax|ln(2)BxyxABA B C D(1,3)(,1,)(1,)2.已知 （ 是虚数单位） ，则 等于（ ）2016izizA-1 B1 C0 D i3.设变量 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）,xy201xy1yxsA B C D31,41,2,2,24.等比数列 中， ，函数 ，则na18,4a128()()fxaxa（ ）(0)fA
2、 B C D62912155.已知函数 的最小正周期为 ，且其图像向左平移()sin)(0,|)2fx个单位后得到函数 的图象，则函数 的图象（ ）3cosgx()fxA关于直线 对称 B关于直线 对称12x51C关于点 对称 D关于点 对称(,0)(,0)26.已知边长为 的菱形 中， ，沿对角线 折成二面角3AC6BD为 的四面体 ，则四面体的外接球的表面积为（ ）AB12BA B C D5627287.执行如图所示的程序框图，若输出 的值为 8，则判断框内可填入的条件是（ ）kA B C D1?2S3?4S25?4S137?20S8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A
3、B C D13653439.已知 ，若221(4)axed，则 的值为（ 06 201612() ()xbbxR 201612bb）A0 B-1 C1 D e10.一个不透明的袋子装有 4 个完全相同的小球，球上分别标有数字为 0,1,2,2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局） ，则在甲获胜的条件下，乙摸 1 号球的概率为（ ）A B C D51695211.已知直线 与曲线 相交于 ，且曲线 在 处80xy32:yxp,ABC,AB的切线平行，则实数 的值为（ ）pA4 B4 或-3 C-3 或-1 D-312.数列 满足 ， 且
4、，则na13*1(1)nnaN12nnSaa的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ）nSA B C D0,120,121,20,2第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 ，则二项式 的展开式中 的系数为 .03sinmxd(23)mabc21mabc14.已知等差数列 的前 项和 满足 ，数列 的前 2016 项的nanS350,S21n和为 .15.已知 是 的中线， ，ADBC(,)ADBCR，则 的最小值是 .012,2|16.已知函数 ，若对任意的 ， ，恒有1()3()lnfxmx(4,5)m12,3x成立，则实数 的取值范围是
5、.12(lnl|)|affa三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）已知 中， ， ， .ABC(01)D3cos5C2cs10AD（1 ）若 ，求 的大小；5,7AB（2 ）若 ，求 的面积.1018. （本小题满分 12 分）长郡中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间（分钟）0,1),20),3)0,4),50),6)总人数203644504010将学生日均课外体育运动时
6、间在 上的学生评价为“课外体育达标”.40,6)（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面 列联表，并通过计算判断是否能在犯错2误的概率不超过 0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男女 20110合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取 3 名学生，记被抽取的 3 名学生中的“课外体育达标”学生人数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差.X参考公式： ，其中 .22()(nadbcknabcd参考数据： 20()PKk0100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246
7、.6357.87910.82819. （本小题满分 12 分）在四棱锥 中，设底面 是边长为 1 的正方形， 面 .PABCDABCPABCD（1）求证： ；（2）过 且与直线 垂直的平面与 交于点 ，当三棱锥 的体积最大时，PE求二面角 的大小.E20. （本小题满分 12 分）已知点 为圆 的圆心， 是圆上的动点，点 在圆的半径 上，且有C2(1)8xyPQCP点 和 上的点 ，满足 ， .(,0)APM0QA2AM（1）当点 在圆上运动时，求点 的轨迹方程；（2）若斜率为 的直线 与圆 相切，直线 与（1 ）中所求点 的轨迹交于不同kl21xylQ的两点 ， ， 是坐标原点，且 时，求
8、的取值范围.FHO3445OFHk21. （本小题满分 12 分）已知函数 .ln()(0)1xfa（1）当 时，求 的单调性；0,f（2）若 ，且方程 有两个不相等的实数根 ，求证：2()(hxx()hxm12,x.1请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，四边形 外接于圆， 是圆周角 的角平分线，过点 的切线与ABCDABADC延长线交于点 ， 交 于点 .EF（1）求证： ；/（2）若 是圆的直径， ，求 的长.4,1E23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程以直角
9、坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐标Ox P为 ，点 的极坐标为 ，若直线 过点 ，且倾斜角为 ，圆 以 为圆心，(1,2)M(3,)2lP6CM3 为半径.（1）求直线 的参数方程和圆 的极坐标方程；lC（2）设直线 与圆 相交于 两点，求 .,AB|PB24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲（1）设函数 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，5()|,2fxxaRx()fxaR求实数 的最大值；a（2）已知正数 满足 ，求 的最小值.,xyz31yz21xyz高三摸底考试理数参考答案一、选择题CBDCC DABBD BA二、填空题13. -
10、6480 14. 15. 1 16. 20164337,)6三、解答题17.（1）由余弦定理可知， 2 3cos25497425ABCABC（2）依题意， ， ，2sin127in1cos10ADCAC所以 .114sin75222ABCSC18.（1） 0(6309)6.0.3553K所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.（2）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为 0.25，将频率视为概率， ，X1(3,)4B ， .E139()46DX19.（1）四边形 是正方形， ， 平面 ，ABCDBACPABCD由此推出 ，P又 ， 平面 ，而
11、平面 ，所以推出 .BP（2）设 ，三棱锥 的底面积为定值，求得它的高 ，PAxEBCD2xh当 ，即 时， 最大值为 ，三棱锥 的体积达到最大值为2h24EBCD.1324以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，则ABxADyPz，令 ， ，(1,0)(,)(0,1)(,2)BCP(,)ExPC，得 ， ，EP34,4E设 是平面 的一个法向量， ， ，(,)nxyzBD(1,0)BD132(,)4BE则 ，得 .0BE(1,2)n又 是平面 的一个法向量，(,2)APBC ，二面角 为 .cos,nED420.（1）由题意知： 中线段 的垂直平分线，所以MQAP|
12、2|CPCC所以点 的轨迹是以点 为焦点，焦距为 2，长轴为 的椭圆，,21bac故点 的轨迹方程是 .Q21xy（2）设直线 ，:lkb12(,)(,)FHxy直线 与圆 相切l21xy22|11bkk联立2ykxb22()40x2222164()(18(1)80kbk， ，122kx21x221211()()OFHykxbx 2 22 22()44(1)1kbkkk 所以 22311453kk或 为所求.|332k21 （ 1） ，设 ，则 ， 21ln()xf()1lngxx 1()gx当 时， ， ， ，0,x0g00f 在 上单调递增.()f1（2 ） ， ，22ln()hxax()2lnhxxa ， 在 上单调递增，()30,当 时， ， ，0x()0x(1)ha必存在 ，使得 ，即 ，, 2ln30 在 上单调递减，在 上单调递增，()hx(,)又 ， ，设 ，则 ， 20a1)0ha0()hx0(,1)x 在 上单调递减，在 上单调递增，()x,)(,)x
